工程矩陣?yán)碚?東南PPT課件

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1、1要 求1.重點是基本理論，基本方法；2.結(jié)合授課內(nèi)容，熟悉課本；3.通過例題，掌握相關(guān)概念和理論；4.通過練習(xí)題，熟悉相關(guān)理論、方法；5.及時復(fù)習(xí)、總結(jié)，鞏固所學(xué)內(nèi)容。第1頁/共348頁2本課程大致內(nèi)容第0章 復(fù)習(xí)與引深第1章 線性空間與線性變換第2章 內(nèi)積空間、等距變換第3章 矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形第4章 Hermite二次型第5章 范數(shù)及矩陣函數(shù)第6章 矩陣的廣義逆第2頁/共348頁3矩陣?yán)碚? 1kA，A計算是方陣設(shè).lim. 2kkA極限. 3的求解線性方程組bAx 第3頁/共348頁4第0章 復(fù)習(xí)與引深1.矩陣運算2.線性方程組3.向量組的極大無關(guān)組及秩4.矩陣的秩及等價標(biāo)準(zhǔn)形第4頁/共

2、348頁5矩陣的乘法中應(yīng)注意的問題1 存在非零零因子 例1 0101010n nN第5頁/共348頁62 不可交換.,00:22121交換的矩陣可求所有與互異其中設(shè)例AddddA:可以證明.,是數(shù)量矩陣則階方陣可交換與任意如果AnA第6頁/共348頁7由此導(dǎo)致的一些問題 乘法消去律不成立? ,CBACABAA必可推出滿足什么條件時，由當(dāng)對給定的矩陣一些代數(shù)恒等式對矩陣不再成立mmmmmmmmmmBABCBACBACABABA1122211,即相應(yīng)的二項式定理成立可交換時與當(dāng)?shù)?頁/共348頁8例311Aknn次冪：矩陣的計算下述解：kkkkkkkkkkkkkNCNICNICNICINIANIN

3、IA1122211)()()()()(可交換，與且kkkkkkkkkkkkNCNCNCNCIA1122211112211112211000000kkknk nkkkkkkkkkkkkCCCCCC 第8頁/共348頁9分塊矩陣的乘法規(guī)則設(shè) tnijnsijbBaA,qrqqrrpqppqqBBBBBBBBBBAAAAAAAAAA212222111211212222111211,在一定條件下，ABC 也可以寫成分塊矩陣將這兩個矩陣分塊：prpprrCCCCCCCCCC212222111211其中，1122ijijijiqqjCA BA BA B第9頁/共348頁10條件：上式有意義.的行的分法一致

4、的列的分法與BAqjiqjijiijBABABAC2211第10頁/共348頁11一些特殊的分塊形式1. nsijnsijbBaA,均按行進行分塊BA,)()()(BrArBAr第11頁/共348頁12（接上頁）不分塊按列分塊，BA. 2的列向量的線性組合，的列向量均是AAB.的相應(yīng)的各個列的元素且組合系數(shù)剛好是B)(),()(BrArABr tnijnsijbBaA,設(shè)第12頁/共348頁13（接上頁）按列分塊。視作一塊，將BA. 3.)()(,nBrArOAB則若第13頁/共348頁14（接上頁）將相關(guān)矩陣分成四塊。. 4第14頁/共348頁15非齊次線性方程組1. 線性方程組, bAx

5、TsnsijbbbbaA21,其中，bArAr)(有解2. .,)(nrrbArAr則有唯一解若3. ( ),.r Ar Abrnnr若則通解中含有個自由未知量第15頁/共348頁16齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,Ax nsijaA其中，對于齊次線性方程組1. 有非零解當(dāng)且僅當(dāng).)(nAr.,)(. 2個解向量則其基礎(chǔ)解系中含若rnnAr.,)(. 3其基礎(chǔ)解系個線性無關(guān)的解向量是則其任意若rnnAr第16頁/共348頁17Gauss消元法陣化成階梯形矩陣；用初等行變換將增廣矩確定自由未知量；用回代法找出通解。第17頁/共348頁1815543423323322154321543215432154

6、321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx：求下列線性方程組的解例500000022111000431100111111初等行變換增廣矩陣第18頁/共348頁19簡化階梯形矩陣第19頁/共348頁2015543423323322154321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx：求下列線性方程組的解例500000022111000431100111111初等行變換增廣矩陣0000002211100026140100540011初等行變換第20頁/共348頁21例605540423303322054321543215432154321xxxxxxxxxxxxx

7、xxxxxxx礎(chǔ)解系：求齊次線性方程組的基000001110003110011111初等行變換增廣矩陣0000022100014010040011初等行變換第21頁/共348頁22例61. ( )();2.HHHAsnbsr Ar A AA AxA b設(shè) 是矩陣， 是 維列向量。證明：線性方程組恒有解。第22頁/共348頁23向量組的極大無關(guān)組及秩12121212121212, ,rrrsiiisiiiiiissr 若向量組的部分組線性無關(guān)且中每個向量均可由線性表示則稱是向量組的一稱 是極大無關(guān)組向量組的秩。., 21向量均是其極大無關(guān)組個線性無關(guān)的，則其中任意的秩為量組若向rrs第23頁/共

8、348頁24例7第24頁/共348頁25矩陣的秩矩陣A的秩=A中非零子式的最高階數(shù) =A的行（列）向量組的秩有關(guān)矩陣的秩的不等式：);()()(. 1BrArBAr;)()(,. 3nBrArOBAtnns則若;)()()(. 4nBrArBArtnns);(),()(. 2BrArABr).()()(. 5BrArMrBOCAM，則設(shè)第25頁/共348頁26例8若A是可逆矩陣，證明r(AB)=r(B).第26頁/共348頁27例9設(shè)A是n階冪等矩陣，證明：( )()r Ar IAn第27頁/共348頁28矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形第28頁/共348頁29.10（矩陣的滿秩分解），使得矩陣及矩陣，證明存

9、在的秩為矩陣：假設(shè)例BCACnrBrsrAns（滿秩分解）第29頁/共348頁30例11：.34330222311013212101的滿秩分解求A00000020003633012101初等行變換解：A00000010001011010101初等行變換第30頁/共348頁31線性空間和線性變換第一章 第31頁/共348頁32第一節(jié) 線性空間的定義用F表示實數(shù)全體（R）或復(fù)數(shù)全體（C）.:數(shù)域?qū)嵒驈?fù)是是非空集合設(shè)定義）（，F(xiàn)V:上定義了兩種運算及在FV;,:的和稱為記這個元素為應(yīng)中有惟一的元素與之對在對加法VV.,的積與稱為記這個元素為應(yīng)中有惟一的元素與之對在對數(shù)乘k，kVFkV：第32頁/共3

10、48頁33如果滿足下述公理，則稱V是數(shù)域F上的線性空間，V中的元素稱為是向量。kkkFkVlklkFlkVkllFlVVVVVVVV)(,. 8;)( ,. 7;)()( ,. 6;1 ,. 5;,. 4;,. 3);()( ,. 2;,. 1對對對對使對使得元對對第33頁/共348頁34例1nFV . 1nnFV. 2. 3xFV . 4xFVnRFCV,. 5CFCV,. 6第34頁/共348頁35例1（續(xù)）CFRV,. 7通常運算,. 8RFRVRFRV,. 9kkFkVV,:;,:對對定義新的運算第35頁/共348頁36線性空間的性質(zhì)則上的線性空間是數(shù)域假設(shè),FV;. 1 中的零向量是

11、惟一的V;,. 2記為的負元素是惟一的對V;,:. 3則若加法消去律;),(,. 4xxxV記有惟一解向量方程對;) 1( ,),().(5特別地kk或0. 6kk第36頁/共348頁37第二節(jié) 基、維數(shù)和坐標(biāo)如： 在線性空間中可以定義線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)，向量組的極大線性無關(guān)組、秩等概念。，。kkkkkkVssssss是線性無關(guān)的，稱否則線性相關(guān)，量組則稱向使得不全為零的數(shù)若，定義：設(shè)212122112121,.第37頁/共348頁38一些重要結(jié)論.1, 2. 121個向量線性表示余可由其使線性相關(guān)則若sjsjs.,.,. 2212121的線性表示的方法是惟一而且線性表示可

12、由則線性相關(guān)但線性無關(guān)若sss第38頁/共348頁39一些重要結(jié)論（續(xù)）.,. 3212121線性相關(guān)則線性表示可由若tst，st.,. 1212121st，tst則線性無關(guān)且線性表示可由若推論.,. 22121tsst則線性無關(guān)且均等價與若推論第39頁/共348頁40例11000010000100001. 12221121122，E，E，E，EF中在2322213243,31,32. 2xxxxxx，xF中在123.,1,1VC FRi 124.,1,1VC FCi 第40頁/共348頁41定義（基，維數(shù)）.2.121212121的一組基是，則，稱線性表示，均可由）（線性無關(guān)；，）（滿足條件

13、，若VVVnnnnVV，Vndim)(或維記為的維數(shù)是稱第41頁/共348頁42注：.1,dim個向量線性相關(guān)中任意則命題：若nVnV.注：線性空間的基不一定存在如： ：V零空間0dim xFV dimxF第42頁/共348頁43例2. 1nFV . 222 FV. 3xFVn.,. 4RFCV.,. 5CFCV.,. 6RFRV第43頁/共348頁44定理1.,dim的基成個線性無關(guān)的向量均構(gòu)中任意則若VnVnV 23222132)(,3)(,321)(:,:3xxxfxxxfxxxfxF基下述三個向量構(gòu)成一組中在證明例第44頁/共348頁45定義（坐標(biāo)）：nnnxxxVV221121,且的

14、一組基是，設(shè),2121下的坐標(biāo)在基是則稱nnxxx).(,2121列向量下的坐標(biāo)在基是或nnxxx第45頁/共348頁46例4.)0 , 0 , 0(,),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (),(2121下的坐標(biāo)在基中nnneeexxx，F(xiàn)第46頁/共348頁47例5.1000010000100001 2221121122下的坐標(biāo)在基中，在，EE，EEdcbaAF第47頁/共348頁48注2.基的幾何意義1.線性空間的基是有序的。 第48頁/共348頁49定理2則及下的坐標(biāo)分別是在基假設(shè)., 2 , 1,21siXXV，ini;. 1X;. 222112211ssssXkXkXkX

15、kkk.,. 32121線性相關(guān)線性相關(guān)ssXXX極大無關(guān)組的計算第49頁/共348頁50例6232213)(,2)(,1)(:xxxfxxxfxxfxF關(guān)性中下述向量組的線性相判斷第50頁/共348頁51例74233,1221,3012,2211:22DCBAF關(guān)組中下述向量組的極大無求第51頁/共348頁52形式記號XxxxxxxXnnnnn),(),(,2121212121可形式地記成則下的坐標(biāo)，在基是若第52頁/共348頁53形式記號,2121線性表示可由若st使得矩陣我們可以找到一個于是,AtsAst),(),(2121第53頁/共348頁54形式記號的性質(zhì)Ast),(),(2121

16、若Btp),(),(2121)(,(),(2121ABsp則第54頁/共348頁55例8,21線性無關(guān)設(shè)nAnn),(),(2121.,:21是可逆矩陣線性無關(guān)證明An第55頁/共348頁56定義(過渡矩陣)且的基都是及設(shè),2121VnnAnn),(),(2121.,2121的過渡矩陣到基是從基則稱nnA.過渡矩陣一定是可逆的于是，第56頁/共348頁57過渡矩陣的性質(zhì)。AA，nnnn121212121,. 1的過渡矩陣是到基則從基的過渡矩陣是到基若從基.,. 2212121212121ABBA，nnnnnn的過渡矩陣是到基則從基的過渡矩陣是到基從基的過渡矩陣是到基若從基第57頁/共348頁5

17、8例9。，F(xiàn)的過渡矩陣到基從基求中在) 1 , 2 , 2(),2 , 1 , 2(),2 , 2 , 1 ()2 , 1 , 1 (),1 , 2 , 1 (),1 , 1 , 2(3213213第58頁/共348頁59定理3(坐標(biāo)變換公式),21XVn下的坐標(biāo)是在基設(shè)n,21在基,Y下的坐標(biāo)是的過到基而從基nn,2121則,A渡矩陣是,AYX 或XAY1第59頁/共348頁60例10在基求中在231)(,xxxfxF2232 ,2xxxxx.下的坐標(biāo)第60頁/共348頁61第三節(jié) 子空間, 交與和.,.,:VWVWFVWVWFV記子空間的是則稱上的線性空間的運算也構(gòu)成關(guān)于若的非空子集是上的

18、線性空間是數(shù)域設(shè)定義.:的子空間是例xFxFn.:中的運算應(yīng)當(dāng)相同的運算與注VW第61頁/共348頁62定理1.關(guān)于線性運算封閉的子空間是則設(shè)WVWVW .:的子空間本身均是及例VV312:( , , )|3251( , , )|3250RVx y zxyzVx y zxyz例中集合第62頁/共348頁63兩類重要的子空間1.|.s nnAFVFAVAx設(shè)稱 是齊次線性方程組的解空間)(.,.,|. 2212121121ssssiiiis，LWWFkkWV，。FV記是其生成元生成的子空間是由稱集合上的線性空間是設(shè)第63頁/共348頁64命題：;),(. 121WLWjs則若等價；與ssssLL

19、,),(),(. 221212121).,(),(dim),(,. 321212121ssssrL，。L故的基的極大無關(guān)組是第64頁/共348頁65例1.),()2 , 1 , 0 , 2(),1 , 1 , 1 , 1 (),2 , 1 , 3 , 2(),1 , 1 , 2 , 1 (,432143214的一組基及其維數(shù)求已知中在LWF第65頁/共348頁66例2.),(1111,1111,2112,1221,22的一組基求中在DCBALWDCBAF第66頁/共348頁67例3.,|22的一組基中子空間求FyxxyyxWF第67頁/共348頁68例4.,|:,12012222的一組基并求的

20、子空間是證明設(shè)WFXAAXFXWA第68頁/共348頁69定理2.,.1111,2112;22的一組基擴充成將已知例FBABA.的一組基成的子空間的基均可擴充有限維線性空間VV第69頁/共348頁70子空間的交與和.21V，VV假設(shè)212211212121|:使得且定義V，VVVVVVVVV.:32121的子空間是定理VV，VVV第70頁/共348頁71注：交與并的區(qū)別則若命題，LVLVts),(),(:212211),(212121tsLVV第71頁/共348頁72定理4（維數(shù)定理）21212121dimdimdim)dim(,VVVVVVVVV有假設(shè)第72頁/共348頁73例5.,|,|2

21、121212122的及維數(shù)及求子空間設(shè)VVVVVVFyxxyyxVFyxyyxxVF第73頁/共348頁74例6.,),(),()7 , 3 , 1, 1 (),1 , 0 , 1, 2(),1 , 1 , 1 , 1(),0 , 1 , 2 , 1 (212142122112121的基及維數(shù)的子空間求設(shè)VVVVFLVLV第74頁/共348頁75例7.|,|22121121,44132211111121214241的基及維數(shù)，求已知VVVVBxFxVAxFxVBA第75頁/共348頁76直和21212122112121.,.,.VVVV，VV，VVVVV記為是直和則稱使得惟一的若設(shè)定義第76頁

22、/共348頁77定理5:,21則下述條件是等價的設(shè)VVV;. 121直和VV ;. 2 的表示方式是唯一的 ;. 321VV;dimdim)dim(. 42121VVVV.,. 52121的基的基合在一起就是將VVVV第77頁/共348頁78例82121|,|VVFAAAVAAAVFnnTTnn證明的子空間已知第78頁/共348頁79例921212|,|., VVFxAxFxVAxFxVAAFAnnnnn證明且設(shè)第79頁/共348頁80多個子空間的直和sssiiiissVVVVVV，siV，VVVVVVV212112121., 2 , 1,.,.記為是直和則稱使得惟一的若設(shè)定義第80頁/共34

23、8頁81定理6;. 2 的表示方式是唯一的 ;. 3 jiijVVsiisiiVV11dimdim. 4.,. 52121的基的基合在一起就是將ssVVVVVV;. 121直和sVVV:,21則下述條件是等價的設(shè)VVVVs第81頁/共348頁82第82頁/共348頁83第四節(jié) 線性映射.),(,.:.下的原像在為稱下的像在為的稱則若設(shè)有映射定義fyx，fxyxfySxTSf第83頁/共348頁84。f，ffbabfaffxfySxTySfTSf是雙射則稱又是單射既是滿射若是單射則稱必能推得若由是滿射則稱使得若假設(shè)映射定義;, )()(;,)(,|)(.:.).,:(:1TSIfgIgfS，Tg

24、fTSf使得存在映射是可逆映射是雙射定理第84頁/共348頁85定義：。UVfyfxfyxfVyxxkfkxfFkVxUVfFUV的線性映射到是從則稱滿足條件若映射上的線性空間均是數(shù)域設(shè)).()()(,. 2);()(,. 1:.,).,(UVHomUV的線性映射全體記為到從上的線性變換。到自身的線性映射稱為VV第85頁/共348頁86例1.)(,:,. 1AxxfFxFFfFAnsnns定義為映射假設(shè)).( )(,)(:. 2xpxpfxFxpxFxFfnnn定義為映射第86頁/共348頁87例1.)(,:,. 3XAxfFXFFfFAnnnnnnnn定義為映射假設(shè)第87頁/共348頁88例

25、2性變換：考慮下列變換是否為線是一給定向量。上的線性空間，是數(shù)域假設(shè)VFV0 . 0)(,. 1xfVx. 0)(,. 2xxfVx第88頁/共348頁89注換：下述變換肯定是線性變;)(,:xOVxVVO.)(,:xxIVxVVI第89頁/共348頁90線性映射的性質(zhì)：;)(. 1:fUVf是線性映射。則：假設(shè)siiisiiissfkkfFkkkV112121);()(,. 2則若;)(),(),(,. 32121線性相關(guān)線性相關(guān)，則若UfffVss);(),(),()()(),(. 42121ssfffLVffRfLV的值域則若的核子空間。的子空間，稱為是fVxfVxffK )(|)()(

26、. 51第90頁/共348頁91例3定義為：其中：和維數(shù)：的值域及核子空間的基求線性映射:33xFxFff)( )(xpxpf第91頁/共348頁92例4ssnnsFxAxxfFFffFA,)(:.定義為：其中：和維數(shù)，的值域及核子空間的基求線性映射設(shè)).)(),(AKARf記為的值域及核子空間分別第92頁/共348頁93線性變換的運算,( ,),( ,),f fHom V UgHom U WkFkfffgf假設(shè)定義如下：它們都是線性變換。第93頁/共348頁94線性變換的運算的性質(zhì)：則：假設(shè)).,(,VVHomhgf);().(1ghfhfg;)(. 2fhfghgf;).(3ghfhhgf

27、證明：第94頁/共348頁95線性映射（變換）的矩陣：選定基偶：設(shè)).,(UVHomf ;,:21sVnU,:21Afffns),()(,),(),(2121若在選定基偶下的矩陣。是則稱fA且如,VU Afffss),()(,),(),(2121在所選基下的矩陣。是線性變換則稱fA第95頁/共348頁96例第96頁/共348頁97例5.,.,4323)(),(22211211222222下的矩陣在基求其中，定義為：EEEEfFdcbaXdcbacbacbbaXfFFHomf第97頁/共348頁98定理2.,)(,:;,:),(21212121AXfXVAUVUVHomfnsns下的坐標(biāo)是在基則

28、的坐標(biāo)是在矩陣是下的在基偶若第98頁/共348頁99定理3在選定基偶：設(shè)),(UVHomf ;,:21sVnU,:21。下的矩陣是A在新的基偶則fPss),(),(2121Qnn),(),(2121下的矩陣是APQB112,( , ),sfHom V VAf 特別是 若在基下的矩陣是則, 在新的基Pss),(),(2121下的矩陣是.1APPB第99頁/共348頁100例6。xxxpxxpxxxpxFxp，xpxp，fxFxFf下的矩陣在基求線性變換2322133321)(,1)(,31)()()( )(:第100頁/共348頁101定理4下，則在基設(shè)下的矩陣分別是的基在假設(shè)ssFkBAVVV

29、Homgf,),(,2121;. 1kAkf的矩陣是;. 2BAgf 的矩陣是;. 3ABfg的矩陣是。的矩陣是可逆，并且，矩陣可逆11. 4AfAf其實，對線性映射的矩陣有類似的性質(zhì)。第101頁/共348頁102第五節(jié) 線性映射的值域及核子空間).()()()(),(1fKfRfVffUVHomf和被記為常及核子空間的值域假設(shè)則假設(shè)定理).,(. 1UVHomf ;)(UfRf是滿射 .)(fKf是單射第102頁/共348頁103值域的計算即矩陣是下的在基偶若,:;,:),(2121AUVUVHomfnsAfffns),()(,),(),(2121)(),(),()(21sfffLVf于是)

30、.()(dimArfR從而，第103頁/共348頁104核子空間的計算.,)(,:;,:),(21212121AXfXVAUVUVHomfnsns下的坐標(biāo)是在基則的坐標(biāo)是在矩陣是下的在基偶若;)(AXfK因此，的基。是中的向量，則坐標(biāo)的為是以的基礎(chǔ)解系，是從而，若)(,2121fKVXAXXXXrnjjrn).()(dimArsfK特別，第104頁/共348頁105定理2（線性變換的維數(shù)定理）則假設(shè)).,(UVHomf VfKfRdim)(dim)(dim第105頁/共348頁106則設(shè)推論).,(,dim:VVHomfV是滿射是單射可逆fff注：對無限維空間，推論不成立。（反例）第106頁/

31、共348頁107例1的一組基及維數(shù)。及求對定義為：設(shè))()()(,),(2222fKfRaddccbbaXfdcbaXFFHomf第107頁/共348頁108定義（不變子空間）：的不變子空間。是則稱有若設(shè)fWWfWVWVVHomf,)(,.),(的不變子空間。均是則設(shè)例fFKfRVVHomf)(),().,(.第108頁/共348頁109為何要討論不變子空間？第109頁/共348頁110為何要討論不變子空間？第110頁/共348頁111例2.),(2OOOIVfffVVHomf似于的任意基下的矩陣均相在證明：且設(shè)第111頁/共348頁112線性空間的同構(gòu)第112頁/共348頁113第113頁/

32、共348頁114第114頁/共348頁115第115頁/共348頁116第二章內(nèi)積空間、等距變換第116頁/共348頁117第一節(jié) 基本概念本章的目的：將內(nèi)積推廣到抽象的線性空間約定：數(shù)域F指實數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C是酉空間。時稱是歐基里德空間，當(dāng)時稱當(dāng)。線性空間稱為內(nèi)積空間的內(nèi)積。定義了內(nèi)積的是則稱若上定義了一個二元函數(shù)在上的線性空間，是數(shù)域定義：假設(shè)VCFVRFkkFkVVVVFV ,. 4;,. 3;,. 2; 0,. 1, 第117頁/共348頁118例1.,. 1TnRV.,. 2AtrBBARVTnn.)()()(),(,. 3113dxxgxfxgxfxRV.,. 4HnCV第118頁

33、/共348頁119內(nèi)積的性質(zhì);,. 1;,. 2kk;,. 31111jisitjjisitjjjiilklk0,. 4V對任意第119頁/共348頁120度量矩陣的坐標(biāo)是的基，是設(shè)VVn,21jininjjiyx,11則,),(,),(2121TnTnyyyYxxxXYAXT下的度量矩陣。在基是稱其中，nnnjiVAA,),(21;,TAARF則若HAACF則若,第120頁/共348頁121向量的模（長度）的模（長度）定義為定義：設(shè),V,是單位向量。，則稱若1性質(zhì)：；且0, 0,. 1V;. 2kk.1,是單位向量則故若第121頁/共348頁122C-B不等式,V線性相關(guān)。，而且，等號成立第

34、122頁/共348頁123三角不等式,V間的距離定義為，定義：向量)( ，d：三角不等式的距離形式),(),(),(,dddV第123頁/共348頁124正交性是正交的。，的內(nèi)積為零，則稱，定義：若向量。記222，則勾股定理：若第124頁/共348頁125標(biāo)準(zhǔn)正交基 定義： 由兩兩正交的非零向量組成的向量組。正交向量組稱為 由兩兩正交的單位向量組成的向量組稱標(biāo)準(zhǔn)正交向量組為。 作為正交向量組的基稱為是。正交基 作為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的基稱為是。標(biāo)準(zhǔn)正交基第125頁/共348頁126標(biāo)準(zhǔn)正交基下的內(nèi)積XYYXVVHnn,2121則，的坐標(biāo)是下在的標(biāo)準(zhǔn)正交基，是設(shè)nCYX,第126頁/共348頁127

35、Schmidt正交化方法是線性無關(guān)的。設(shè)Vs,21正交化：:令11111111111132222333111122211,ssssssss單位化：siiii, 2 , 11第127頁/共348頁128例2121225VV假設(shè) 在基 ，下的度量矩陣是。求 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。第128頁/共348頁129例3311 ( ), ( )( ) ( ).VR xf x g xf x g x dxV在中定義內(nèi)積：求 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基第129頁/共348頁130酉矩陣.HnAA AI定義： 階復(fù)矩陣 稱為是，若酉矩陣HAAA1是酉矩陣命題：的標(biāo)準(zhǔn)正交基。的行（列）向量組是nCA第130頁/共348頁131定理

36、1,21的標(biāo)準(zhǔn)正交基是設(shè)VnUnn),(),(2121是酉矩陣。是標(biāo)準(zhǔn)正交基則，Un,21第131頁/共348頁132Schmidt正交化方法的應(yīng)用第132頁/共348頁133注使得的基，則有標(biāo)準(zhǔn)正交基是如果nnV,2121Tnn),(),(2121對角元均大于零。是上三角矩陣，且其主其中，T第133頁/共348頁134矩陣的UT分解第134頁/共348頁135例第135頁/共348頁136定理212121212,sssnsssnWVWV 假設(shè)是 的子空間，是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則存在使得是的標(biāo)準(zhǔn)正交基。第136頁/共348頁137第二節(jié) 正交補空間,.WVVWW 定義：設(shè)若，稱。，稱，對若2121

37、221121,WWWWVWW.,.),(121jsjWVLW則：設(shè)定理第137頁/共348頁138正交補空間記定義：設(shè),VW WVW| VW易證這是 的子空間，稱是 的正交補空間。.,2WWVVW則：若定理,.VWUWUUW而且，若且則.,WWVW則推論：若第138頁/共348頁139正交補空間的計算.:s nnsACf CC假設(shè)定義線性映射為：( ),nf xAxxC ？和問題：如何計算)()(AKAR第139頁/共348頁140正交補空間的計算第140頁/共348頁141例1的一標(biāo)準(zhǔn)正交基。求設(shè)WAxxWA.|,210112101021 第141頁/共348頁142一個幾何問題空間中點到直

38、線的距離：PQ第142頁/共348頁143空間中向量到子空間的距離：V00第143頁/共348頁144使得求已知,.,WVVW),(min),(ddW則：假設(shè)定理.,3VVW),(min),(ddWW中的正投影）。在是（稱W第144頁/共348頁145例2中的正投影。在求假設(shè)中，已知在WLWR).,().2 , 1 , 2(),3 , 1, 2(),1, 2 , 1 (21213第145頁/共348頁146例3第146頁/共348頁147最小二乘解的最佳近似解。求線性方程組設(shè)bAxCAns,第147頁/共348頁148第三節(jié) 等距變換( , ).VfHom V V定義：設(shè) 是內(nèi)積空間，若,)(

39、),(ffV,是等距變換。稱f;,是正交變換稱若fRF .,是酉變換稱若fCF 第148頁/共348頁149例1定義為：是酉矩陣。設(shè)nnCCfA:nCxAxxf,)(第149頁/共348頁150定理1( , ).1 .2 .3 .4 .VfHom V Vffff設(shè) 是內(nèi)積空間，下述條件等價：（） 保持長度不變；（ ） 保持內(nèi)積不變；（ ） 將標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基；（ ） 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是酉矩陣。第150頁/共348頁151( )f關(guān)于直線的反射( )f第151頁/共348頁152歐氏空間中的反射第152頁/共348頁153鏡像變換第153頁/共348頁15411第154頁/共348頁

40、155第三章 矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形第155頁/共348頁156矩陣與線性變換本章的目的： 對給定的矩陣，找一最簡單的矩陣與之相似。 對給定的線性空間上的線性變換，找線性空間的一組基，使得線性變換的矩陣最簡單。第156頁/共348頁157第一節(jié) 特征值與特征向量第157頁/共348頁158矩陣的相似對角化第158頁/共348頁159線性變換的特征值、特征向量第159頁/共348頁160線性變換的可對角化問題第160頁/共348頁161例1,),(),(33TzyxXCCHomf定義為：zyxyxXf2)(的特征值、特征向量。求f第161頁/共348頁162線性變換的特征值、特征向量的計算第162頁/

41、共348頁163例2,),(222222CXCCHomf定義為：XXf1111)(的特征值、特征向量。求f第163頁/共348頁164定理1.,BIAICBAnn是相似的，則若注：定理的逆命題不成立；. 1多項式?？啥x線性變換的特征. 2第164頁/共348頁165特征多項式的計算第165頁/共348頁166主子式與子式第166頁/共348頁167主子式與子式第167頁/共348頁168特征多項式的計算 則定理：設(shè),nnijaAnnnnnbbbbAI12211階主子式）的（其中，jAbjj) 1(,11niiiab特別地，.) 1(Abnn第168頁/共348頁169矩陣的跡1( ),.ni

42、jn niiiAaaAtr A定義：設(shè)稱為 的，記為跡則的特征值為命題：若,)(21nnnijaA,)(1niiAtr.1iniA.),()(,BABtrAtrBA相似，則推論：若第169頁/共348頁170例3的特征值。求設(shè)AAbbbaaaHnn.,2121第170頁/共348頁171化零多項式.0)(,)()(的根的特征值均是則是多項式。若設(shè)xfAOAfxf?；虻奶卣髦抵荒苁亲C明：例：已知10.2AAA 第171頁/共348頁172第二節(jié) Hamilton-Cayley定理.)(.)(,OACAICFAnn則定理：設(shè)( , ),( )( ).fHom V VCfC fO定理：設(shè)是 的特征多

43、項式，則是上三角矩陣。使得存在酉矩陣引理：對AUUUCASchurHnn,第172頁/共348頁173例1.53431000AA求設(shè)32)(2C第173頁/共348頁174例2。，求已知100311301221AA2) 1)(1()(C第174頁/共348頁175最小多項式.AA定義：矩陣 的次數(shù)最低的、最高次項系數(shù)為一的化零多項式稱為 的最小多項式1( ), ( )( )| ( ).m xxAm xx性質(zhì) ：若分別是矩陣 的最小多項式、化零多項式，則式是唯一的：任意矩陣的最小多項性質(zhì)2有相同的最小多項式。相似，則：如果矩陣性質(zhì)BABA,3小多項式）定義：（線性變換的最第175頁/共348頁1

44、76定理1000( ),( )( )|( ),()0()0m x C xAm xC xC mC設(shè)分別是矩陣 的最小多項式和特征多項式，則，并且，對。第176頁/共348頁177例1aaaaaaaaa11,01,式：求下列矩陣的最小多項第177頁/共348頁178例2的最小多項式。求設(shè)AAbbbaaaHnn.,2121第178頁/共348頁179例3,),(222222CXCCHomf定義為：XXf1111)(的最小多項式。求f第179頁/共348頁180第三節(jié) 可對角化的條件目的： 對給定的矩陣，判斷其是否相似于對角陣； 對給定的線性空間上的線性變換，判斷是否存在空間的一組基，使得其矩陣是對角

45、陣。第180頁/共348頁181已知的判別方法。個線性無關(guān)的特征向量有相似于對角陣矩陣：定理nAAnn1。值的特征向量線性無關(guān)：矩陣的屬于不同特征定理212121 ,211,211 12,2221 ,23,issiit iittsst sAA 定理 ：若是矩陣 的互不相同的特征值，是 的屬于特征值 的線性無關(guān)的特征向量，則線性無關(guān)。第181頁/共348頁182線性變換的可對角化問題。個線性無關(guān)的特征向量有可對角化：定理nff1征向量線性無關(guān)。的屬于不同特征值的特定理f:212121 ,211,211 12,2221 ,23,issiit iittsst sff 定理 ：若是線性變換 的互不相同

46、的特征值，是 的屬于特征值 的線性無關(guān)的特征向量，則線性無關(guān)。( , ).VnfHom V V假設(shè) 是 維線性空間，第182頁/共348頁183特征子空間0( , ),fHom V Vf定義：設(shè)是 的特征值。稱00|( )VVf的特征子空間。的相應(yīng)于特征值為0f第183頁/共348頁184可對角化的條件第184頁/共348頁185例1,),(222222CXCCHomf定義為：XXf1111)(。相應(yīng)的特征子空間的基的特征值及求 f第185頁/共348頁186定理11( )( )()dim.iisriiifHom VCVr 設(shè)的特征多項式是，則第186頁/共348頁187定理21( , )(

47、)()isriifHom V VC 設(shè)的特征多項式是，則下述條件是等價的：是可對角化的；f . 1;dim. 2irVii，sVVVV21. 3第187頁/共348頁188例2,),(222222CXCCHomf定義為：XXf2211)(; . 2相應(yīng)的特征子空間的基的特征值及求f下的矩陣；在基求22122111,. 1EEEEf2 23.Cf問：是否存在的基，使得 的矩陣為對角陣？為什么？第188頁/共348頁189定理3的最小多項式無重根。相似于對角陣矩陣AAnn121,()(1) .issiinMM MMOr Msn引理：若 階矩陣滿足則第189頁/共348頁190例3相似于對角陣。則滿

48、足階矩陣若AAAAn,2第190頁/共348頁191例4.3.)5(,1032IArIArIAACAnn求行列式并且，滿足已知第191頁/共348頁192第四節(jié) Jordan標(biāo)準(zhǔn)形問題：如果給定的矩陣不與任何對角陣相似，如何找一最簡單的矩陣與之相似。等價的問題：若線性空間上給定的線性變換不可對角化，如何找線性空間的一組基，使得線性變換的矩陣最簡單。第192頁/共348頁193Jordan形矩陣塊。的矩陣稱為定義：形如Jordanaaakk11形矩陣。塊）的矩陣稱為均是（其中，形如JordanJordanJJJJJis21的標(biāo)準(zhǔn)形。是相似，則稱形矩陣與若矩陣AJJJordanA第193頁/共34

49、8頁194例11000020001200001,000100002,000100012,200120001,200020011,200120011,200020001?形矩陣下列矩陣是否為Jordan第194頁/共348頁195Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的存在性、唯一性標(biāo)準(zhǔn)形。的也是的一個排列，則是其中，標(biāo)準(zhǔn)形，而的是矩陣若JordanAKJJJJJJJJJKJordanAJJJJsiiiiiisss,21212121的。標(biāo)準(zhǔn)形是存在的、唯一矩陣的塊的次序外，除了相差JordanJordan第195頁/共348頁196唯一性的證明思路0001., ()() ;kkAJk r AIr JI若 與 相似，

50、是數(shù)，則對一切正整數(shù)nknkNrNrNnnkk若若則矩陣若, 0, 1)()(,01010. 21等于矩陣，則是若kkIJrIJrJordanJ)()(. 3010塊的塊數(shù)。為主對角元的的，以中階數(shù)JordankJ0第196頁/共348頁197定理1塊的塊數(shù)為：階的為主對角元標(biāo)準(zhǔn)形中以的的特征值。則是矩陣設(shè)JordankJordanAA00)()(2)(11kkkBrBrBrIAB0其中，第197頁/共348頁198例224( )(1) (2) ,(2 )4,ACr AIAJordan已知矩陣 的特征多項式是且求 的標(biāo)準(zhǔn)形。第198頁/共348頁199例3242( )(1) (2) ,(2 )

51、4, (2 )3,ACr AIr AIAJordan已知矩陣 的特征多項式是且求 的標(biāo)準(zhǔn)形。第199頁/共348頁200例4,411301621AJordan標(biāo)準(zhǔn)形：求下列矩陣的,786675161613B.) 1()(3 xxCA2) 1)(3()(xxxCB第200頁/共348頁201分塊矩陣的最小多項式：的最小多項式間有關(guān)系則矩陣：若定理BAMBOOAM,2).(),()(BAMmmm第201頁/共348頁202Jordan標(biāo)準(zhǔn)形與最小多項式.,)()(31iisirirJordanJordanAxxmAi最高階數(shù)為塊的為主對角元的標(biāo)準(zhǔn)形中以的則的最小多項式是：假設(shè)矩陣定理的最小多項式無

52、重根。相似于對角陣特別地，AA 第202頁/共348頁203例5形。的可能的求項式分別是的特征多項式和最小多已知JordanAxxxmxxxCA252)2)(1()(,)2() 1()(第203頁/共348頁204例642( )( )AC xm xxAAJordan已知 的特征多項式和最小多項式均是求 及的標(biāo)準(zhǔn)形。第204頁/共348頁205例7標(biāo)準(zhǔn)形。的求設(shè)JordanAAbbbaaaHnn.,2121第205頁/共348頁206例8., 1)()( 2AAArAtr證明：已知第206頁/共348頁207例9,126103 ,114PJordanA 求相似變換矩陣將下列矩陣變成其標(biāo)準(zhǔn)形：,7

53、86675161613B.) 1()(3 xxCA2) 1)(3()(xxxCB第207頁/共348頁208存在性的證明思路第208頁/共348頁209存在性的證明思路第209頁/共348頁210存在性的證明思路第210頁/共348頁211存在性的證明思路第211頁/共348頁212存在性的證明思路第212頁/共348頁213存在性的證明思路第213頁/共348頁214存在性的證明思路第214頁/共348頁215存在性的證明思路第215頁/共348頁216存在性的證明思路第216頁/共348頁217第五節(jié) 特征值的分布 .nnijaA設(shè)的譜；的特征值的集合為稱AA,( )AAA譜半徑稱 的特征

54、值的模的最大值為 的記為。iniiiiiiaaaaR111記：個蓋爾園；的第稱之為iARazzCiiii,的蓋爾園系。為稱ACGnii1第217頁/共348頁218定理1的蓋爾園系中。的特征值必定在矩陣AA第218頁/共348頁219例1.61104A設(shè)中沒有特征值。中有兩個特征值，但21CC第219頁/共348頁220K-區(qū),n nACAnknkk定義：設(shè)在 的 個蓋爾園中， 有 個園構(gòu)成一連通區(qū)域，但與 其余個園不相交，則稱這 個連通區(qū)域為一 區(qū)。第220頁/共348頁221例2210021012A0105 . 03005 . 10B第221頁/共348頁222定理2個特征值。的區(qū)中有且僅

55、有的蓋爾園的kAkAAnAn推論：如果 的 個蓋爾園互不相交，則 有 個互不相等的特征值。第222頁/共348頁223例35 . 001. 002. 014. 09 . 001. 011. 002. 01A區(qū)。的蓋爾園均是1TA第223頁/共348頁224譜半徑的估計121111,max,max,ijn nnnijiji nj njiAaaa 定理：設(shè).,)(21A則，第224頁/共348頁225例45 . 001. 002. 014. 09 . 001. 011. 002. 01A第225頁/共348頁226例5. 6)(.211123321AA證明：設(shè)第226頁/共348頁227 應(yīng)用第2

56、27頁/共348頁228對角占優(yōu)矩陣第228頁/共348頁229對角占優(yōu)矩陣第229頁/共348頁230第四章Hermite二次型第230頁/共348頁231第一節(jié) H陣、正規(guī)陣 Hermite二次型與Hermite矩陣 標(biāo)準(zhǔn)形 慣性定理（唯一性） 正定性第231頁/共348頁232Hermite矩陣、 Hermite二次型數(shù)定義一復(fù)變量、復(fù)值函設(shè),nnCA,)(1,jinjiijHxxaAXXXfTnxxxX),(21其中，可以證明：AARxxxfCxHnj),(,21第232頁/共348頁233Hermite矩陣、 Hermite二次型,()HHermiteHHermiteAAAf X矩陣

57、陣若稱 是，簡稱。這時的稱為是二次型。第233頁/共348頁234實對稱矩陣的性質(zhì)第234頁/共348頁235H陣的性質(zhì)陣的特征值均是實數(shù)。定理H:12:H定理陣的屬于不同特征值的 特征向量相互正交。3:A,HHUU AU定理 若 是 陣，則一定存在酉矩陣使得是對角陣。第235頁/共348頁236正規(guī)陣.,n nHHACA AAAA定義：設(shè)若則稱 是正規(guī)陣。陣均是正規(guī)陣。陣，酉矩陣，反例：HH第236頁/共348頁237上三角的正規(guī)陣AA若 既是上三角的，又是正規(guī)的，則 必是對角陣。定理：第237頁/共348頁238定理酉相似于對角陣。是正規(guī)陣ACAnn第238頁/共348頁239推 論n n

58、ACAn是正規(guī)陣.有 個兩兩正交的單位特征向量.第239頁/共348頁240例1,A B證明：正規(guī)陣相似的充要條件 是它們有相同的特征多項式。第240頁/共348頁241例221.012.AAAAAAO設(shè) 是正規(guī)陣。證明：的特征值是 或 ；是冪零陣第241頁/共348頁242第二節(jié) Hermite二次型可以證明：,.nHHA BHXCXAXX BXAB若都是 陣，且對則(), ( ),()( ),HHf XXAX g YY BY CXCYf Xg Y設(shè)是可逆矩陣，若在下，.ACCBH則，第242頁/共348頁243,HA BHCBC AC定義：設(shè)是 陣，若有可逆陣 使得，則稱可以證明：共軛合同

59、關(guān)系滿足： 反身性，對稱性，傳遞性。AB共軛與 是合同的。第243頁/共348頁244標(biāo)準(zhǔn)形定義：第244頁/共348頁245標(biāo)準(zhǔn)形 配方法（初等變換法） 酉變換法：第245頁/共348頁246慣性定理第246頁/共348頁247慣性定理Hermite二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中的正項個數(shù)、負項個數(shù)與所用的可逆線性變換無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)形中的正項個數(shù)稱為其 負項個數(shù)稱為其正慣性指數(shù)，負慣性指數(shù)。第247頁/共348頁248慣性定理慣性定理的矩陣形式：1122121212,nnnnHAabababa aab bbA 若 陣 與共軛合同，則與中正、負項個數(shù)相同。分別稱為矩陣 的正、負慣性指數(shù)。第248頁/共348頁2

60、49規(guī)范形第249頁/共348頁250共軛合同的充分必要條件共軛合同矩陣定理：BAnHermiten,數(shù)。有相同的正、負慣性指BA,第250頁/共348頁251例1nHermite問：按共軛合同關(guān)系， 階矩陣共可分成多少個共軛合同類？第251頁/共348頁252正定性00(),()0,HAHf XXAXXf XfAH定義：設(shè) 是 陣， 若對， 則稱 是， 是正定的正定的 陣。第252頁/共348頁253如何建立判別方法; 0,. 121indDdddD是正定的則設(shè)正定；正定共軛合同，則陣若BABAH,. 2。正定共軛合同，則與陣若0. 321indAdddDAH第253頁/共348頁254定理

61、陣，則下述條件等價：是設(shè)nHnA 零。的各順序主子式均大于使得存在可逆陣共軛合同；與的特征值均大于零；是正定的；APPAPIAAAH. 5;. 4. 3. 2. 1第254頁/共348頁255例21HnkAIk假設(shè) 是 維列向量，且。問：當(dāng) 取何值時，矩陣是正定的。第255頁/共348頁256例32.AHermiteHermiteSAS設(shè) 是正定的矩陣，證明：存在正定的矩陣 使得第256頁/共348頁257例4. IAA是正定的，則證明：若酉矩陣第257頁/共348頁258其它有定性000000(),()0,()0,()0,HAHf XXAXXf XfAHXf XfAHXf XfAH定義：設(shè)

62、是 陣， 若對，則稱 是的， 是的 陣； 若對，則稱 是的， 是的 陣； 若對，則稱負定負定半正定半正定半負定半負定是的， 是的 陣。第258頁/共348頁259如何建立判別方法; 0,. 121indDdddD是半正定的則設(shè)半正定；半正定共軛合同，則陣若BABAH,. 2。半正定共軛合同，則與陣若0. 321indAdddDAH第259頁/共348頁260定理陣，則下述條件等價：是設(shè)nHnA 于零。的各主子式均大于或等使得存在矩陣共軛合同；與零；的特征值均大于或等于是半正定的；APPAPOIAAAHr. 5;. 4. 3. 2. 1第260頁/共348頁261例5矩陣。定矩陣的和一定是正定證

63、明：正定矩陣與半正第261頁/共348頁262奇值分解第262頁/共348頁263奇值分解定理的證明第263頁/共348頁264奇值分解定理的證明第264頁/共348頁265奇值分解定理的證明第265頁/共348頁266奇值分解定理的證明第266頁/共348頁267第三節(jié) Rayleigh商,.nHAnHXCXAXR設(shè) 是 階 陣，則于是，可以定義一復(fù)變量的實值函數(shù)nHHCXXXAXXXR，)(Rayl iAe gh稱此函數(shù)為 的商。第267頁/共348頁268定理1則的特征值，陣假設(shè),21nnnACAH1min()max()nnX CnX CR XR X第268頁/共348頁269例|max

64、1.nHHX CAXAXXX假設(shè) 是酉矩陣，證明： 第269頁/共348頁270定理212121211,( ,),( ,),n nnniiiiinHACAx xxSL x xxTL x xx假設(shè) 陣， 的特征值相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組是令 則1min()max()iiix Sx TR XR X 第270頁/共348頁271定理3（Courant極大極小原理）12dimdim1,max min( )minmax( )n nnix SS iS n ix SHACR xR x 假設(shè) 陣的特征值是則第271頁/共348頁272第五章范數(shù)和矩陣函數(shù)第272頁/共348頁273本章的目的 矩陣函數(shù) 范數(shù)

65、矩陣函數(shù)的應(yīng)用第273頁/共348頁274第一節(jié) 范數(shù)的概念和例子 VFV定義：設(shè) 是數(shù)域 上的線性空間，是定義在 上的實值函數(shù)。 若 滿足：; 0)(,. 1V);()(,. 2kkFkV)()()(,. 3V賦范線性空間。的線性空間稱為是上的范數(shù)，定義了范數(shù)是定義在則稱V第274頁/共348頁275內(nèi)積與范數(shù)1.VV例 設(shè) 是內(nèi)積空間。則 上的內(nèi)積下 的長度就是一范數(shù)。上的范數(shù)常記為因此，任意線性空間V第275頁/共348頁276Cn中范數(shù)的例子nTnCxxxX),(21;1 . 111niixX范數(shù)：;)()(2 . 21212122niHiXXxX范數(shù)：.max. 31inixX范數(shù)：

66、第276頁/共348頁277更多的例子. 1;)(. 111pxXpppniip范數(shù)：2.nnACAXAXC如果是上的一種范數(shù)， 是一可逆矩陣，則也是上的一種范數(shù)。第277頁/共348頁278更多的例子12123.,nnnnCnCVVCVVXX 設(shè) 是復(fù)數(shù)域上的線性空間，是 的基， 是上的范數(shù)。定義 上的范數(shù)： 假設(shè)在基下的坐標(biāo)是規(guī)定 第278頁/共348頁279范數(shù)與極限 0,iVVV假設(shè)是線性空間 上的一個范數(shù)，是 上的一個向量序列，若0lim0,ii 00lim.iii則稱，趨記向于為在范數(shù)下第279頁/共348頁280范數(shù)的可比較性1212,VkkV kk定義：對線性空間 上的兩個范數(shù)及，若有正實數(shù)使得 則稱這兩個范數(shù)是可比較的。比較的。上任意兩個范數(shù)均是可定理：有限維線性空間V第280頁/共348頁281第二節(jié) 矩陣范數(shù) nmijaAp范數(shù)：矩陣;,1jiijmaA2/12/12/12,2HHjiijmtrAAAtrAaA ijjimaA,max第281頁/共348頁2822,mFFroben uAsAi又記為稱為范數(shù)。.,FFUAVAVU是酉矩陣，則若第282頁/共348頁