《橢圓的定義和標準方程》教學設計說明

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1、 . 課題：§ 鹿城中學 田光海 一、教案背景： 1.面向對象：高中二年級學生 2.學科：數學 3.課時：2課時 4.教學容：高中新課程標準教科書《數學》北師大版選修1-1第二章圓錐曲線與方程§ 二. 教材分析 本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時，它是繼學生學習了直線和圓的方程，對曲線和方程的概念有了一些了解，對用坐標法研究幾何問題有了初步認識的根底上，進一步學習用坐標法研究曲線。橢圓的學習可以為后面研究雙曲線、拋物線提供根本模式和理論根底。因此這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章的重點容之一。 1. 教法分析

2、結合生活經歷觀察發(fā)現、啟發(fā)引導、探究合作。在學生的生活體驗、直觀感知、知識儲藏的根底上，引導學生逐步建構概念，為學生數學思想方法的形成打下根底。利用多媒體課件,精心構建學生自主探究的教學平臺,啟發(fā)引導學生觀察,想象,思考,實踐,從而發(fā)現規(guī)律、突破學生認知上的困難，讓學生體驗問題解決的思維過程，獲得知識,體驗成功。主要采用探究實踐、啟發(fā)與講練相結合。 2. 學法分析 從知識上看，學生已掌握了一些橢圓圖形的實物與實例，對曲線和方程的概念有了一些了解，對用坐標法研究幾何問題有了初步的認識。 從學生現有的學習能力看，通過一年多的學習，學生已具備了一定的觀察事物的能力，積累了一些研究問題的經歷，在

3、一定程度上具備了抽象、概括的能力和語言轉換能力。 從學生的學習心理上看，學生頭腦中雖有一些橢圓的實物實例，但并沒有上升為“概念〞的水平，如何給橢圓以數學描述?　如何“定性〞“定量〞地描述橢圓是學生關注的問題，也是學習的重點問題。他們渴望將感性認識理性化，渴望通過自己動手作圖、觀察來辨析和完善概念，通過比照產生頓悟，渴望獲得這種學習的積極心向是學生學好本節(jié)課的情感根底。 3.教學目標 知識與技能：掌握橢圓的定義；理解橢圓標準方程的推導過程，掌握橢圓標準方程的兩種形式，會運用待定系數法求橢圓的標準方程。 過程與方法：經歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，逐步提高學生的觀察、分析、歸納、類比

4、、概括能力；通過橢圓標準方程的推導，進一步掌握求曲線方程的一般方法——坐標法，并滲透數形結合、等價轉化的數學思想方法。 情感、態(tài)度與價值觀：通過課堂活動參與，激發(fā)學生學習數學的興趣，提高學生審美情趣，培養(yǎng)學生勇于探索的精神。 4.教學重點與難點 重點：橢圓的定義和橢圓標準方程的兩種形式 難點：橢圓的標準方程的建立和推導教學方法 5.教學準備 通過百度搜索與橢圓有關的圖片資料，利用百度搜索相關的教學資料制作多媒體課件，自制教具：繪圖板、圖釘、細繩。 三、教學過程 教學環(huán)節(jié) 教師活動 學生活動 設計意圖 創(chuàng)設情景 引入新課

5、 情景1：用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在水平桌面上，截面為圓形．當端起水杯喝水時，水杯傾斜，再觀察水平面，此時截面為橢圓形．〔演示〕 問題1：聯想生活中還有哪些是橢圓圖形？ 情景2： 問題2：〔1〕圓是怎么畫出來的？ 〔2〕圓的定義是什么？ 〔3〕圓的標準方程是什么形式的？ 猜測：1、橢圓是怎么畫出來的？2、橢圓的定義是什么？3、橢圓的標準方程又是什么形式？ 學生觀察 學生舉例 學生思考后答復

6、。 引入生活情境激發(fā)學生的學習欲望，自然引入新課，同時與其實際相聯系，拓寬學生思維，開展他們聯想、類比能力。 使學生在感慨祖國科技輝煌開展的氣氛中認識橢圓。 用類比的思想，通過已經學過的圓的知識猜測橢圓，開展后續(xù)教學。 互動探究 形成概念 探究1 將圓心從一點“分裂〞成兩點，給你兩個圖釘，一根無彈性的細繩，一紙板，能畫出橢圓嗎？ 讓學生自己動手畫圖，使其探究性學習，再提出以下問題： 思考1：在紙板上作圖說明什么？ 思考2：在作圖過程中，有哪些物體的位置沒變？有哪些量沒有變？ 思考3：假設調節(jié)兩圖釘的相對位置，所得到的圖形有何變化？ 根據橢圓畫法，從中

7、歸納橢圓定義——與兩個定點的距離之和為定長〔繩長〕的點的軌跡為橢圓〔繩長大于兩定點間距離〕． 動態(tài)演示動點生成軌跡的全過程，印證猜測 同桌同學按照教師的要求合作畫圖，并思考軌跡上的點具備什么特點。 展示學生成果。請學生代表本小組交流探究結論： 給學生提供一個動手操作，合作學習的時機；通過實驗讓學生去探究“滿足什么樣的條件下的點的集合為橢圓〞；讓每個人都動手畫圖，自己思考問題，由此培養(yǎng)學生的自信心。? ? 互動探究 深化概念 探究2 在繩長不變的情況下，改變兩個圖釘之間的距離，畫出的橢圓有何變化？ 當兩個圖釘重合在一起時，畫出的圖形是什么？ 當兩

8、個圖釘之間的距離等于繩長時，畫出的圖形是什么？ 當兩個圖釘之間固定，能使繩長小于兩個圖釘之間的距離嗎？ 定義：平面與兩個定點距離的和等于常數〔大于〕的點的軌跡叫橢圓。 教師指出：這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。 思考1：焦點為的橢圓上任一點M，有什么性質？ 令橢圓上任一點M，那么有 ， 補充：假設時，軌跡是線段；假設時，無軌跡。 思考2：剛剛在畫圖時，大家的繩長是一樣的，但是畫出的橢圓一樣嗎？橢圓的圓扁程度與什么有關？ F1 F2 M F1 、F2位置越近橢圓愈圓，F1 、F2位置越遠橢圓越扁 利用動畫顯示結果

9、 學生通過課件觀察變化情況 請學生給出經過修改的橢圓定義 學生思考后答復 使學生經歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質的認識，并逐漸養(yǎng)成嚴謹的科學作風 研討探究 推導方程 前面我們已經得到橢圓的定義，那么由橢圓定義，我們能不能推導出橢圓的方程。 問題3：求曲線方程的一般步驟是什么？ ①建系、取點；②列式；③代換；④化簡；⑤證明 下面由同學根據這兩個問題分組討論橢圓方程的求法?！?〕要建立橢圓方程應該如何建立坐標系？ 〔2〕橢圓上動點M滿足什么條件

10、？ 尤其在化簡過程中，對于根式的處理，學生會感到困難，教師進展提示。 〔把學生推導橢圓方程的具有代表性的方法，在實物展臺上投影?！? 問題：通過比照學生求出橢圓各種形式的方程，你能發(fā)現什么規(guī)律？哪一種方程最簡潔？ 方程〔〕〔☆〕叫做橢圓的標準方程。它表示焦點在軸上，焦點坐標為，，其中． 〔〕，它也是橢圓的標準方程。 此時，橢圓的焦點在軸上， 焦點坐標為，其中 我們可以發(fā)現，以上兩種方案是最好的。 問：觀察一下焦點分別在x軸、y軸上的橢圓的標準方程，如何根據方程判斷其焦點在x軸上還是在y軸上？(看分母大小，哪個分母大焦點就在哪一條軸上) 說明： (1)在兩個方程中

11、，總有a>b>0 (2)橢圓的三個參數a、b、c滿足：即 ，a最大 (3)要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓〔，，〕當時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓。 學生答復 學生先獨立思考，之后全班交流，確定最后的解決方案，然后分工合作，共同完成，之后再交流。 學生思考后主動發(fā)言答復。 以上三條，盡量由學生總結出 充分發(fā)揮學生的學習主動性。 通過坐標系的不同選擇，用不同的方法得到不同的方程，通過比擬體會曲線的方程的不確定性，理解曲線與方程的關系，

12、感受恰中選擇坐標系的優(yōu)越性，感受標準方程的簡潔、對稱、和諧之美，并在實踐過比照提高決策能力、計算能力、培養(yǎng)學生簡約的思維能力。 培養(yǎng)學生的觀察、分析歸納能力。 例題研討 變式精析 例1.適合以下條件的橢圓的標準方程 (1) a =4，b=1，焦點在 x 軸 (2) a =4，c= ，焦點在 y 軸上 (3)兩個焦點的坐標是〔 0 ，-2〕和〔 0 ，2〕 并且經過點〔 -1.5 ，2.5〕 解: (1)因為焦點在x軸上,所以設所求方程為 ∵ a=4, b=1 ∴ 所求方程為 (2) 因

13、為焦點在y軸上,所以設所求方程為 ∵ a=4, b=1 ∴ 所求方程為 (3) 因為橢圓的焦點在y軸上,所以設它的標準方程為 由橢圓的定義知, 所以所求橢圓方程為 例2.我國發(fā)射的神舟八號飛船變軌前，是在以地心F2為一個焦點的橢圓軌道上運行，它的近地點B距地面200公里，遠地點A距地面330公里，并且F2、A、B在同一直線上，地球半徑約為6371km，求軌道方程〔準確到1km〕。 學生獨立完成

14、學生討論 培養(yǎng)學生運用知識解決問題能力 解決情景設置中的問題 練習檢測 當堂鞏固 1、如果橢圓上一點P到焦點F1距離是6，那么點P到另一個焦點F2距離是。 2、求適合以下條件的橢圓的標準方程 〔1〕兩個焦點坐標分別是〔0，2〕，〔0，-2〕，橢圓經過點P (2)a+b=10,c= 學生練習 檢測學習成果 總結概括 課后提升 最后進展課堂小結，先由學生小組討論，再個別提問，然后集體補充，最后教師才引導和完善。師生應共同歸納本節(jié)所學容、知識規(guī)律以與所學的數學思想和方法。 這一節(jié)課你收獲到了什么？ 布置作業(yè) 層次

15、1 1.教材練習A 3.4題? 練習B? 第二題 2.你能用直尺和圓規(guī)作出橢圓上的任意一點嗎？作圖的依據是什么？根據你的作圖方法，能找到與之相應的方法求出橢圓方法嗎？ 層次2 課后利用【百度搜索】深入的對橢圓的相關知識進展了解。 學生總結出在知識、數學思想等方面的收獲 擺脫傳統教學中教師小結的做法，以表格形式出現，讓學生自己總結，加深對本節(jié)課容的認識? ?層次1的目的是強化鞏固本節(jié)容 層次2的目的是激發(fā)學生學習的興趣，提高數學文化品位。 六、板書設計 橢圓的標準方程 1、橢圓的定義 2、橢圓的標準方

16、程 〔1〕、焦點在軸上 〔2〕、焦點在軸上 橢圓標準方程的推導過程書寫 例1： 例2： 〔1〕詳寫 〔2〕寫關鍵步驟 七、教學反思 本節(jié)課整個教學過程為：提出問題——探索——解決問題——歸納反思——提高。在問題的設計中，從多角度探究，縱向挖掘知識深度，橫向加強知識間的聯系，這樣的設計不但突出了重點，更使難點的突破水到渠成。 本節(jié)課以問題為紐帶，以探究活動為載體，學生在自覺進入問題情境后，在問題的指引下和教師的指導下，通過實踐、探索、體驗、反思等活動把探究活動層層展開、步步深入，親身經歷知識的產生過程。使學生在知識的形成過程中，獲得數學的情感體驗，享受到成功的樂趣，同時在思想方法運用、思維能力等方面得到提高和開展。課堂進展過實際操作、多媒體課件演示等，激發(fā)學生的學習興趣，使學生讓學生在生生互動、師生互動中把學生的學習過程轉變?yōu)閷W生觀察問題、發(fā)現問題、分析問題、解決問題的過程，希望對學生的思維品質的培養(yǎng)﹑數學思想的建立﹑心理品質的優(yōu)化起到良好的作用。 本節(jié)課學生活動較多，知識拓展較深，運算較困難，因此本節(jié)課不能按預計完成，剩余問題下節(jié)課解決。 13 / 13