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1、如圖，設如圖，設i,j,k是空間三個兩兩垂直的向量，且有公共是空間三個兩兩垂直的向量，且有公共起點起點O。對于空間任意一個向量。對于空間任意一個向量p= ,設點設點Q為點為點P在在i,j所確定的平面上的所確定的平面上的正投影正投影，由平面基本定理可知，由平面基本定理可知，在在 ,k所確定的平面上，存在實數(shù)所確定的平面上，存在實數(shù)z，使得，使得而在而在i,j所確定的平面上，由平面向量基本定理所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序之前數(shù)對可知，存在有序之前數(shù)對(x,y)，使得使得. xi+yj從而從而 zk=xi+yj+zk.xyzkijQPO一、空間向量基本定理：空間向量基本定理：op
2、 OQOPOQzk OQ OPOQ 第1頁/共20頁xyzkijQPO如果如果i,j,k是空間三個兩兩垂直的向量，對空是空間三個兩兩垂直的向量，對空間任一個向量間任一個向量p，存在一個有序實數(shù)組使得，存在一個有序實數(shù)組使得p=xi+yj+zk.我們稱我們稱xi,yj,zk為向量為向量p在在i,j,k上的分向量。上的分向量。第2頁/共20頁都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c 叫做空間的一個叫做空間的一個基底基底,abc第3頁/共20頁c a b p 單位正交基底：單位正交基底：如果空間的一個基如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都底的三個基向量互相垂直，且長都為為1，則這個基底叫做
3、，則這個基底叫做單位正交基底單位正交基底,常用常用 表示表示 正交基底：正交基底：空間的一個基底的空間的一個基底的三個基向量互相垂直。三個基向量互相垂直。 , , i j k 二、空間直角坐標系第4頁/共20頁二、空間直角坐標系二、空間直角坐標系 在空間選定一點在空間選定一點O和一個單位正交和一個單位正交基底基底 ,以點以點O為原點，分別為原點，分別 以以 的正方向建立三條數(shù)軸：的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、軸、y軸、軸、z軸軸,這樣就建立了一個空間這樣就建立了一個空間直角坐標系直角坐標系Oxyz.kji, kji, 第5頁/共20頁三、空間向量的正交分解及其坐標表示三、空間向量的正交分解及其坐
4、標表示xyzOijkP記作記作 =(x,y,z)p由空間向量基本定理，對于空由空間向量基本定理，對于空間任一間任一向量向量 存在唯一的有序存在唯一的有序實數(shù)組實數(shù)組(x,y, z)使使 pkzj yi xpPP第6頁/共20頁 1已知a，b，c是不共面的三個向量，則能構成一個基底的一組向量是()A.2a，ab，a2bB2b，ba，b2aC .a,2b，bc Dc，ac，ac第7頁/共20頁CDBCBADA的的坐坐標標。，試試寫寫出出圖圖中中各各點點所所示示的的空空間間直直角角坐坐標標系系的的中中點點，建建立立如如圖圖和和分分別別是是、的的立立方方體體是是棱棱長長為為已已知知DCBBFE2DCB
5、AABCD EFxyz練習 2第8頁/共20頁BANCOMQP例例2、如圖，、如圖，M，N分別是四面體分別是四面體OABC的邊的邊OA，BC的中點，的中點，P，Q是是MN的三等分點。用向量的三等分點。用向量 表示表示 和和 。,OA OB OC OP OQ 12:23121()232111633OPOMMPOAMNOAONOAOAOBOC 解解112311111()()23236111366O QO MM QO AM NO AO NO AO AO BO CO AO BO C 第9頁/共20頁3.1.5空間向量運算的坐標表示第10頁/共20頁123123(,),( ,)aa a abb b b設
6、則;ab;ab;a; a b/;ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()abab ab abR1 1223300 a ba ba ba b一、向量的直角坐標運算第11頁/共20頁2222123| aa aaaa2222123| bb bbbb1. 1.距離公式距離公式（1 1）向量的長度（模）公式）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。的對角線的長度。二、距離與夾角第12頁/共20頁cos,| | a ba bab1
7、 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2. 2.兩個向量夾角公式兩個向量夾角公式注意：注意：（1）當）當 時，同向；時，同向；（2）當）當 時，反向；時，反向；（3）當）當 時，。時，。cos,1 a b與 abcos,1 a b與 abcos,0 a bab思考：當思考：當 及及 時，夾角在什么范圍內？時，夾角在什么范圍內？1cos,0 a b,10cos a b第13頁/共20頁| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121|()()()ABdABxxyyzz在空間直角坐標系中，已知、在空間直
8、角坐標系中，已知、，則，則111(,)A xyz222(,)B xyz（3）空間兩點間的距離公式第14頁/共20頁4.設則 ， AB的中點M的坐標為 ),(),(222111zyxBzyxAABAB第15頁/共20頁例1.設 (1,5，1)， (2,3,5)(1)若( )( 3 )，求 ；(2)若( )( 3 )，求 .abakbabkkababk第16頁/共20頁第17頁/共20頁練習練習1: 1: 已知已知 垂直于正方形垂直于正方形 所在的平面所在的平面, , 分分別是別是 的中點的中點, ,并且并且 , ,求證求證: :PAABCD,M N,AB PCPA ADMNPDC平面證明證明:
9、分別以分別以 為坐標向量建立空間直角坐標系為坐標向量建立空間直角坐標系 則則 , ,i j k AxyzADBPCMNxyz,1PAADABPAAC ADABDAi ABj APk PA 且平面可設(0,0,0), (0,1,0),( 1,1,0),( 1,0,0),ABCD(0,0,1)P11 1 1(0,0),(, )22 2 2MN 11(,0,)22MN ( 1,0, 1)PD (0,1,0)DC 11(,0,) ( 1,0, 1)022MN PDMNPD 11(,0,) (0,1,0)022MN DCMNDC PDDCDMNPDC又平面第18頁/共20頁F1E1C1B1A1D1DAB
10、CyzxO解：設正方體的棱長為解：設正方體的棱長為1，如圖建，如圖建立空間直角坐標系，則立空間直角坐標系，則Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例2如圖如圖, 在正方體中，在正方體中，求與所成的角的余弦值，求與所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF 第19頁/共20頁感謝您的觀看！第20頁/共20頁
空間向量的正交分解及其坐標表示 PPT課件
