2021版高考數(shù)學一輪復習 第九章 立體幾何 9.2 空間圖形的基本關系與公理練習 理 北師大版

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1、9.2 空間圖形的根本關系與公理核心考點精準研析考點一平面的根本性質1. 以下說法正確的選項是()A.三點可以確定一個平面B.一條直線和一個點可以確定一個平面C.四邊形是平面圖形D.兩條相交直線可以確定一個平面2.,是平面,a,b,c是直線,=a,=b,=c,假設ab=P,那么()A.PcB.PcC.ca=D.c=3.在三棱錐A-BCD的邊AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點,如果EFHG=P,那么點P()A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.在直線AC或BD上D.不在直線AC上,也不在直線BD上4.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,這四個點共面的圖形是

2、()A.B.C.D.【解析】1.選D.A錯誤,不共線的三點可以確定一個平面.B錯誤,一條直線和直線外一個點可以確定一個平面.C錯誤,四邊形不一定是平面圖形.D正確,兩條相交直線可以確定一個平面.2.選A.如圖,因為ab=P,所以Pa,Pb,因為=a,=b,所以P,P,而=c,所以Pc.3.選B.如下列圖,因為EF 平面ABC,HG 平面ACD,EFHG=P,所以P平面ABC,P平面ACD.又因為平面ABC平面ACD=AC,所以PAC.4.選D.在圖中分別連接PS,QR,易證PSQR,所以P,Q,R,S四點共面;在圖中分別連接PQ,RS,易證PQRS,所以P,Q,R,S共面.在圖中過點P,Q,R

3、,S可作一正六邊形,故四點共面;在圖中PS與QR為異面直線,所以四點不共面.共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法:先確定一個平面,然后再證其余的線(或點)在這個平面內;證兩平面重合.(2)證明共線的方法:先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上;直接證明這些點都在同一條特定直線上.(3)證明線共點問題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點.【秒殺絕招】排除法解T4,在圖中PS與QR為異面直線,所以四點不共面,可排除A,B,C,直接選D.考點二異面直線所成的角【典例】1.(2021全國卷II)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點,那么異

4、面直線AE與CD所成角的正切值為()A.B.C.D.2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,那么異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 ()A.B.C.D.【解題導思】序號聯(lián)想解題1畫出圖形,由ABCD,聯(lián)想到AE與CD所成角為EAB,解直角三角形.2畫出圖形,圖中沒有與AB1,BC1平行的直線,聯(lián)想到作輔助線.【解析】1.選C.因為CDAB,所以EAB即為異面直線AE與CD所成角,連接BE,在直角三角形ABE中,設AB=a,那么BE=a,所以tanEAB=.2.選C.如圖,取AB,BB1,B1C1的中點M,N,P,連接MN,NP,PM,可知AB1與BC

5、1所成的角等于MN與NP所成的角.由題意可知BC1=,AB1=,那么MN=AB1=,NP=BC1=.取BC的中點Q,連接PQ,QM,那么可知PQM為直角三角形.在ABC中,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+1-221=7,即AC=.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=AC=.在MQP中,可知MP=.在PMN中,cosPNM=-,又異面直線所成角的范圍為,故所求角的余弦值為.【一題多解】選C.把三棱柱ABC-A1B1C1補成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如圖,連接C1D,BD,那么AB1與BC1所成的角為BC1D(或其補角).由題意可知BC1=,BD=,C1D=AB1=.可知

6、B+BD2=C1D2,所以cosBC1D=.求異面直線所成的角的三個步驟(1)一作:根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角.(2)二證:證明作出的角是異面直線所成的角.(3)三求:解三角形,求出所作的角.1.直三棱柱ABC-A1B1C1中,假設BAC=90,AB=AC=AA1,那么異面直線BA1與AC1所成的角等于()A.30B.45C.60D.90【解析】選C.如圖,可補成一個正方體,所以AC1BD1.所以BA1與AC1所成的角為A1BD1.又易知A1BD1為正三角形,所以A1BD1=60.即BA1與AC1成60的角.2.如圖,圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點,C

7、1是圓柱上底面弧A1B1的中點,那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為.【解析】取圓柱下底面弧AB的另一中點D,連接C1D,AD,因為C是圓柱下底面弧AB的中點,所以ADBC,所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角,因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,所以C1D垂直于圓柱下底面,所以C1DAD.因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,所以C1D=AD,所以直線AC1與AD所成角的正切值為,所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.答案:考點三空間兩條直線的位置關系命題精解讀1.考什么:(1)考查異面直線的判斷,直線平行、垂直的判斷等問題.(2)考查直觀想象的核心素養(yǎng).2

8、.怎么考:以柱、錐、臺、球及組合體為載體,考查直線位置關系的判斷.3.新趨勢:以異面直線、平行直線為載體考查點的不共面與共面問題.學霸好方法1.直線位置關系的判斷方法:異面直線可采用直接法或反證法;平行直線可利用三角形(梯形)中位線的性質、公理4及線面平行與面面平行的性質定理;垂直關系往往利用線面垂直或面面垂直的性質來解決.2.交匯問題:與線面、面面平行與垂直相結合命題.兩條異面直線的判定【典例】在圖中,G,N,M,H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點,那么表示直線GH、MN是異面直線的圖形有.(填上所有正確答案的序號)【解析】圖中,直線GHMN;圖中,G,H,N三

9、點共面,但M面GHN,因此直線GH與MN異面;圖中,連接MG,GMHN,因此GH與MN共面;圖中,G,M,N三點共面,但H面GMN,因此GH與MN異面,所以圖中GH與MN異面.答案:兩直線平行或相交的判定【典例】空間四邊形ABCD中,E,H分別是邊AB,AD的中點,F,G分別是邊BC,CD的中點.求證:EG與FH相交.【證明】如圖,連接AC,BD,那么EFAC,HGAC,因此EFHG;同理EHFG,那么EFGH為平行四邊形.又EG,FH是EFGH的對角線,所以EG與HF相交.1.假設兩條直線是異面直線,那么稱為一對異面直線,那么從正方體的12條棱中任取兩條,共有對異面直線()A.48B.36C

10、.24D.12【解析】選C.每一條棱所在的直線與其余的棱所在的直線成異面直線的有4對,所以共有412=48對,但是這48對中每一種都重復了一對,所以所求的異面直線共有24對.2.如下列圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,有以下四個結論:直線AM與CC1是相交直線;直線AM與BN是平行直線;直線BN與MB1是異面直線;直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結論為.(注:把你認為正確的結論序號都填上)【解析】因為點A在平面CDD1C1外,點M在平面CDD1C1內,直線CC1在平面CDD1C1內,CC1不過點M,所以AM與CC1是異面直線,故錯;取DD1中點

11、E,連接AE,那么BNAE,但AE與AM相交,故錯;因為點B1與BN都在平面BCC1B1內,點M在平面BCC1B1外,BN不過點B1,所以BN與MB1是異面直線,故正確;同理正確,故填.答案:1.假設直線l1和l2是異面直線,l1在平面內,l2在平面內,l是平面與平面的交線,那么以下說法正確的選項是()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交【解析】選D.由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行,故l1,l2中至少有一條與l相交.2.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點,那么以下表達正確的選項是()A.CC1與B1E是異面直線B.C1C與AE共面C.AE與B1C1是異面直線D.AE與B1C1所成的角為60【解析】選C.由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內,故C1C與B1E是共面的,所以A錯誤;由于C1C在平面C1B1BC內,而AE與平面C1B1BC相交于E點,點E不在C1C上,故C1C與AE是異面直線,B錯誤;同理AE與B1C1是異面直線,C正確;而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角,E為BC中點,ABC為正三角形,所以AEBC,D錯誤. 可修改 歡迎下載 精品 Word