線性代數(shù)課件-ch-6-3二次型的規(guī)范形、慣性定律課件

由由上上節(jié)節(jié)，對對于于給給定定的的n元元二二次次型型Tf x Ax，總總存存在在可可逆逆線線性性變變換換xPy，化化f為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形 22221 111kkkkrrfd yd ydyd y， (6.6) 其其中中0id （1,2,ir）； 注注意意 由由于于這這樣樣的的可可逆逆線線性性變變換換不不惟惟一一，所所以以f的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形也也不不惟惟一一 r為為f的的秩秩（即即( )rRA） 但但是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形中中所所含含平平方方項項的的項項數(shù)數(shù)都都為為r 22221 111kkkkrrfd yd ydyd y， (6.6) 再作如下可逆線性變換：再作如下可逆線性變換： 111111,1,rrrrrnnyzdyzdyzyz 則則二二次次型型(6.6)可可化化為為 222211kkrfzzzz (6.7) 稱稱(6.7)為二次型為二次型f的的規(guī)范形規(guī)范形 注注意意 規(guī)規(guī)范范形形完完全全被被, r k這這兩兩個個數(shù)數(shù)所所決決定定 定定理理 1 任任意意秩秩為為r的的二二次次型型Tf x Ax，總總存存在在可可逆逆線線性性變變換換將將其其化化為為規(guī)規(guī)范范形形，且且規(guī)規(guī)范范形形是是惟惟一一的的 這這個個定定理理通通常常稱稱為為慣慣性性定定律律 證證明明略略 定定義義 在在秩秩為為r的的二二次次型型f的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形或或規(guī)規(guī)范范形形中中，正正平平方方項項的的個個數(shù)數(shù)k稱稱為為f的的正正慣慣性性指指數(shù)數(shù)， 負(fù)負(fù)平平方方項項的的個個數(shù)數(shù)rk稱稱為為 慣慣性性指指數(shù)數(shù)， 它它們們的的差差()2krkkr稱稱為為f的的符符號號差差 如上節(jié)的例如上節(jié)的例 2，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 22212335fyyy 故故f的秩為的秩為 3，正慣性指數(shù)為，正慣性指數(shù)為 2，負(fù)慣性指數(shù)為，負(fù)慣性指數(shù)為 1，符號差，符號差為為 1 注意注意 實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣A可看作二次型可看作二次型Tf x Ax的矩陣，此的矩陣，此時將該二次型的正（負(fù)）慣性指數(shù)稱為時將該二次型的正（負(fù)）慣性指數(shù)稱為A的正（負(fù)）慣的正（負(fù)）慣性指數(shù)性指數(shù) 本本節(jié)節(jié)完完 利用慣性利用慣性定律定律，我們我們可根據(jù)可根據(jù)正正、負(fù)負(fù)慣性慣性指數(shù)指數(shù)對對二次型二次型進(jìn)行進(jìn)行分類分類研究研究 （3） 若若nrk，稱稱f為為半半正正定定二二次次型型； （4） 若若nrk ，0，稱，稱f為半負(fù)定二次型；為半負(fù)定二次型； （5） 其其他他 下節(jié)將分別對正定、負(fù)定二次型進(jìn)行研究下節(jié)將分別對正定、負(fù)定二次型進(jìn)行研究 本本節(jié)節(jié)完完