《兩角和與差的正弦、余弦、正切公式》教學設計說明

. . . 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式教學設計一、教學分析1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎上，進一步研究具有“兩角和差”關系的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導中，教科書都把對照、比較有關的三角函數式，認清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點，如比較cos(-)與cos(+),它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運算或換元的角度看都有在聯(lián)系，即+=-(-)的關系，從而由公式C(-)推得公式C(+)，又如比較sin(-)與cos(-)，它們包含的角相同但函數名稱不同，這就要求進行函數名的互化，利用誘導公式（5）（6）即可推得公式S(-)、S(+)等.2.通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導，揭示了兩角和、差的三角函數與這兩角的三角函數的運算規(guī)律，還使學生加深了數學公式的推導、證明方法的理解.因此本節(jié)容也是培養(yǎng)學生運算能力和邏輯思維能力的重要容，對培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義.3.本節(jié)的幾個公式是相互聯(lián)系的，其推導過程也充分說明了它們之間的在聯(lián)系，讓學生深刻領會它們的這種聯(lián)系，從而加深對公式的理解和記憶.本節(jié)幾個例子主要目的是為了訓練學生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習慣，教學中應當有意識地對學生的思維習慣進行引導，例如在面對問題時，要注意先認真分析條件，明確要求，再思考應該聯(lián)系什么公式，使用公式時要具備什么條件等.另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最后結果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養(yǎng)學生三角恒等變換能力所不能忽視的.二、三維目標1.知識與技能：在學習兩角差的余弦公式的基礎上，通過讓學生探索、發(fā)現(xiàn)并推導兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們之間的在聯(lián)系，并通過強化題目的訓練，加深對公式的理解，培養(yǎng)學生的運算能力與邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力.2.過程與方法：通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明，使學生深刻體會聯(lián)系變化的觀點，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題，提高學生分析問題解決問題的能力.3.情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)學習，使學生掌握尋找數學規(guī)律的方法，提高學生的觀察分析能力，培養(yǎng)學生的應用意識，提高學生的數學素質.三、教學重、難點教學重點：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與其推導.教學難點：靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明.四、教學用具三角板，彩色粉筆，幻燈片五、教學方法教法：引導探究，歸納總結學法：合作討論，自主學習六、教學過程1導入新課(問題導入)教師出示問題，先讓學生計算以下幾個題目，既可以復習回顧上節(jié)所學公式，又為本節(jié)新課作準備.若sin=，(0,)，cos=,(0,),求cos(-),cos(+)的值.學生利用公式C（-）很容易求得cos（-），但是如果求cos（+）的值就得想法轉化為公式C（-）的形式來求，此時思路受阻,從而引出新課題，并由此展開聯(lián)想探究其他公式.2推進新課提出問題還記得兩角差的余弦公式嗎？請一位同學到黑板上默寫出來.在公式C(-)中，角是任意角，請學生思考角-中換成角-是否可以？此時觀察角+與-(-)之間的聯(lián)系，如何利用公式C(-)來推導cos(+)=?分析觀察C(+)的結構有何特征？在公式C(-)、C(+)的基礎上能否推導sin(+)=?sin(-)=?公式S(-)、S(+)的結構特征如何？對比分析公式C(-)、C(+)、S(-)、S(+)，能否推導出tan(-)=? tan（+）=？分析觀察公式T(-)、T(+)的結構特征如何？思考如何靈活運用公式解題？活動：對問題，學生默寫完后，教師播放幻燈片，然后引導學生觀察兩角差的余弦公式，點撥學生思考公式中的,既然可以是任意角，是怎樣任意的？你會有些什么樣的奇妙想法呢？鼓勵學生大膽猜想，引導學生比較cos(-)與cos(+)中角的在聯(lián)系，學生有的會發(fā)現(xiàn)-中的角可以變?yōu)榻?，所以-(-)=+也有的會根據加減運算關系直接把和角+化成差角-(-)的形式.這時教師適時引導學生轉移到公式C(-)上來,這樣就很自然地得到cos(+)=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin.所以有如下公式：cos(+)=coscos-sinsin我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作C(+).對問題，教師引導學生細心觀察公式C(+)的結構特征,可知“兩角和的余弦，等于這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時讓學生對比公式C(-)進行記憶，并填空：cos75°=cos(_)=_=_.對問題，上面學生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導學生觀察思考，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來實現(xiàn)正、余弦的互化呢？學生可能有的想到利用誘導公式來化余弦為正弦(也有的會想到利用同角的平方和關系式sin2+cos2=1來互化，此法讓學生課下進行),因此有sin(+)=cos-(+)=cos(-)-=cos(-)cos+sin(-)sin=sincos+cossin.在上述公式中,用-代之，則sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+cossin(-)=sincos-cossin.因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡記為S(+)、S(-).sin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin.對問題，教師引導學生觀察公式的結構特征并結合推導過程進行記憶，同時進一步體會本節(jié)公式的探究過程與公式變化特點，體驗三角公式的這種簡潔美、對稱美.為強化記憶，教師可讓學生填空,如sin(+)=_，sin=_.對問題，教師引導學生思考，在我們推出了公式C(-)、C(+)、S(+)、S(-)后,自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來推導出tan(-)=?,tan(+)=?呢？學生很容易想到利用同角三角函數關系式，化弦為切得到.在學生探究推導時很可能想不到討論，這時教師不要直接提醒，讓學生自己悟出來.當cos(+)0時，tan(+)=如果coscos0,即cos0且cos0時,分子、分母同除以coscos得tan(+)=，據角、的任意性，在上面的式子中，用-代之，則有tan(-)=由此推得兩角和、差的正切公式，簡記為T(-)、T(+).tan(+)=tan(-)= 對問題,讓學生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中、±的取值是任意的嗎？學生回顧自己的公式探究過程可知，、±都不能等于+k(kZ)，并引導學生分析公式結構特征，加深公式記憶.對問題，教師與學生一起歸類總結，我們把前面六個公式分類比較可得C(+)、S(+)、T(+)叫和角公式；S(-)、C(-)、T(-)叫差角公式.并由學生歸納總結以上六個公式的推導過程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖.可讓學生自己畫出這六個框圖.通過邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的在聯(lián)系，借以理解并靈活運用這些公式.同時教師應提醒學生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用與變形用.如兩角和與差的正切公式的變形式    tan+tan=tan(+)(1-tantan)，tan-tan=tan(-)(1+tantan)，在化簡求值中就經常應用到，使解題過程大大簡化，也表達了數學的簡潔美.對于兩角和與差的正切公式，當tan，tan或tan（±）的值不存在時，不能使用T（±）處理某些有關問題，但可改用誘導公式或其他方法，例如：化簡tan(-)，因為tan的值不存在，所以改用誘導公式tan(-)=來處理等. 應用示例例1 已知sin=,是第四象限角，求sin(-),cos(+),tan(-)的值.    活動：教師引導學生分析題目中角的關系，在面對問題時要注意認真分析條件，明確要求.再思考應該聯(lián)系什么公式，使用公式時要有什么準備，準備工作怎么進行等.例如此題中，要先求出cos,tan的值，才能利用公式得解，此題是直接應用公式解題，目的是為了讓學生初步熟悉公式的應用，教師可以完全讓學生自己獨立完成.解：由sin=,是第四象限角，得cos=.tan=.于是有sin(-)=sincos-cossin=cos(+)=coscos-sinsin=tan(-)=.    點評：本例是運用和差角公式的基礎題，安排這個例題的目的是為了訓練學生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習慣.變式訓練11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.設(0,),若sin=,則2sin(+)等于(    )A.               B.             C.             D.4答案：A例2  已知sin=,(,),cos=,(,)，求sin(-),cos(+),tan(+)    活動：教師可先讓學生自己探究解決，對探究困難的學生教師給以適當的點撥，指導學生認真分析題目中已知條件和所求值的在聯(lián)系.根據公式S(-)、C(+)、T(+)應先求出cos、sin、tan、tan的值，然后利用公式求值，但要注意解題中三角函數值的符號.解：由sin=,(,),得cos=-=，tan=.又由cos=,(,).sin=,tan=.sin(-)=sincos-cossin=×()-(.cos(+)=coscos-sinsin=()×()-×()=tan(+)=.    點評：此題仍是直接利用公式計算求值的基礎題，其目的還是讓學生熟練掌握公式的應用，訓練學生的運算能力.變式訓練2    引導學生看章頭圖，利用本節(jié)所學公式解答課本章頭題，加強學生的應用意識.解：設電視發(fā)射塔高CD=x米，CAB=，則sin=，在RtABD中，tan(45°+)=tan.于是x=,又sin=,(0,),cos,tan.tan(45°+)=3,x=-30=150(米).答：這座電視發(fā)射塔的高度約為150米.例3 在ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC與cosC的值.    活動：此題是解三角形問題，在必修5中還作專門的探究，這里用到的僅是與三角函數誘導公式與和差公式有關的問題，難度不大，但應是學生必須熟練掌握的.同時也能加強學生的應用意識，提高學生分析問題和解決問題的能力.教師可讓學生自己閱讀、探究、討論解決，對有困難的學生教師引導學生分析題意和找清三角形各角之間的在聯(lián)系，從而找出解決問題的路子.教師要提醒學生注意角的圍這一暗含條件.解:在ABC中,A+B+C=180°,C=180°-(A+B).又sinA=且0°<A<45°,cosA=.又cosB=且45°<B<90°,sinB=.sinC=sin180°-(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos180°-(A+B)=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.    點評：此題是利用兩角和差公式，來解決三角形問題的典型例子，培養(yǎng)了學生的應用意識，也使學生更加認識了公式的作用,解決三角形問題時,要注意三角形角和等于180°這一暗含條件.變式訓練3在ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB1,則ABC是(    )A.銳角三角形     B.鈍角三角形      C.直角三角形      D.等腰非直角三角形答案：C七、課堂小結1.學生提綱契領：學生回顧本節(jié)課都學到了哪些數學知識和數學方法，有哪些收獲與提高，在公式推導中你悟出了什么樣的數學思想？對于這六個公式應如何對比記憶？其中正切公式的應用有什么條件限制？怎樣用公式進行簡單三角函數式的化簡、求值與恒等式證明。2.教師畫龍點睛：我們本節(jié)課要理解并掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與其推導，要正確熟練地運用公式解題.在解題時要注意分析三角函數名稱、角的關系，領悟變換思路，強化數學思想方法。八、布置作業(yè)課本課后習題A組：3題，4題，B組：1題補充：已知0<<,<<,cos(-)=,sin(+)=,求sin(+)的值.九、板書設計兩角和與差的正弦、余弦、正切公式兩角和與差的余弦公式         例1          變式訓練1 兩角和與差的正弦公式         例2          變式訓練2 兩角和與差的正切公式         例3          變式訓練310 / 10