概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案.doc

第一章 概率論的基本概念1. 設為三個隨機事件，用的運算表示下列事件： (1)、都發(fā)生； (2)、發(fā)生, 不發(fā)生； (3)、都不發(fā)生； (4)、中至少有一個發(fā)生而不發(fā)生； (5)、中至少有一個發(fā)生； (6)、中至多有一個發(fā)生； (7)、中至多有兩個發(fā)生； (8)、中恰有兩個發(fā)生。 2. 設為三個隨機事件, 已知： ，。 試求，。 3. 將一顆骰子投擲兩次， 依次記錄所得點數(shù)， 試求： (1)、兩次點數(shù)相同的概率； (2)、兩次點數(shù)之差的絕對值為1的概率； (3)、兩次點數(shù)的乘積小于等于12的概率。 4. 設一袋中有編號為1, 2, 3, , 9的球共9只, 某人從中任取3只球, 試求： (1)、取到1號球的概率； (2)、最小號碼為5的概率； (3)、所取3只球的號碼從小到大排序，中間號碼恰為5的概率； (4)、2號球或3號球中至少有一只沒有取到的概率。 . 5. 已知，試求： (1) ； (2)； (3)； (4)。 6. 設有甲、乙、丙三個小朋友, 甲得病的概率是0.05, 在甲得病的條件下乙得病的概率是0.40, 在甲、乙兩人均得病的條件下丙得病的條件概率是0.80, 試求甲、乙、丙三人均得病的概率。 7. 設某人按如下原則決定某日的活動： 如該天下雨則以0.2的概率外出購物，以0.8的概率去探訪朋友； 如該天不下雨，則以0.9的概率外出購物，以0.1的概率去探訪朋友。設某地下雨的概率是0.3。試求： (1) 那天他外出購物的概率； (2) 若已知他那天外出購物，則那天下雨的概率。 8. 設在某一男、女人數(shù)相等的從群中, 已知5%的男人和0.25%的女人患有色盲. 今從該人群中隨機地選擇一人, 試問: (1) 該人患有色盲的概率是多少？ (2) 若已知該人患有色盲, 那么他是男性的概率是多少？. 9. 設、是相互獨立的隨機事件，。試求： (1) ；(2) ；(3) ； (4) 。 10. 甲、乙、丙三門大炮對某敵機進行獨立射擊, 設每門炮的命中率依次為0.7、0.8、0.9，若敵機被命中兩彈或兩彈以上則被擊落。設三門炮同時射擊一次，試求敵機被擊落的概率。第二章 隨機變量及其分布 1. 甲、乙、丙3人進行獨立射擊, 每人的命中率依次為0.3、0.4、0.6，設每人射擊一次，試求3人命中總數(shù)之概率分布律。 2. 設對某批產(chǎn)品的驗收斂方案為: 從該批產(chǎn)品中隨機地抽查5件產(chǎn)品, 若次品數(shù)小于等于1, 則該批產(chǎn)品通過驗收斂, 否則不予通過, 若某批產(chǎn)品的次品率為0.05, 試求該批產(chǎn)品通過驗收斂的概率. 3. 某份試卷有10道選擇題，每題共有A, B, C, D四個答案供選擇， 其中只有一個答案是正確的。設某人對每道題均隨機地選擇答案，試求該生10道題中恰好答對6道題的概率是多少？ 4. 設隨機變量具有分布函數(shù)：. 試求：，.5. 設隨機變量具有概率密度 (1)、求常數(shù)， (2)、求的分布函數(shù)， (3)、求的取值落在區(qū)間內(nèi)的概率。 6. 設隨機變量，求，以及常數(shù)的范圍，使. 7. 設某批雞蛋每只的重量(以克計)服從正態(tài)分布，. (1)、求從該批雞蛋中任取一只, 其重量不足45克的概率； (2)、從該批雞蛋中任取一只, 其重量介于40克到60克之間的概率； (3)、若從該批雞蛋中任取五只, 試求恰有2只雞蛋不足45克的概率； (4)、從該批雞蛋中任取一只其重量超過60克的概率； (5)、求最小的，使從中任選只雞蛋，其中至少有一只雞蛋的重量超過60克的概率大于0.99. 8.設隨機變量具有概率分布律：-3-2-10123450.080.020.030.170.150.050.200.160.14試求的概率分布律。第三章 多維隨機變量及其分布 1設二維離散型隨機變量(, )具有概率分布律36912151810.010.030.020.010.050.0620.020.020.010.050.030.0730.050.040.030.010.020.0340.030.090.060.150.090.02 求的邊緣分布律和的邊緣分布律。 2設隨機變量(,)具有概率密度. (1)、求的邊緣概率密度； (2)、求的邊緣概率密度； (3)、求. 3設和的聯(lián)合密度為 (1)、求常數(shù)； (2)、求邊緣概率密度，； (3)、與是否相互獨立？4. 設二維隨機變量具有概率密度為:(1)、求邊緣概率密度，； (2)、求概率5. 假設隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布，當取到時，隨機變量等可能的在上取值.求的聯(lián)合概率密度函數(shù)，并計算概率6. 設和是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為：，求隨機變量的概率密度.7. 設隨機變量和相互獨立，且服從同一分布，試證明：第四章 隨機變量的數(shù)字特征 1設離散型隨機變量具有概率分布律：-2-101230.10.20.20.30.10.1試求，. 2. 將個球隨機的丟入編號為的個盒子中去，試求沒有球的盒子的個數(shù)的數(shù)學期望.3.設球的直徑在上服從均勻分布.(1)、試求球的表面積的數(shù)學期望（表面積）；(2)、試求球的體積的數(shù)學期望（體積）.4. 設某產(chǎn)品的驗收方案是從該產(chǎn)品中任取6只產(chǎn)品，若次品數(shù)小于等于1，則該產(chǎn)品通驗收；否則不予通過.若某廠該產(chǎn)品的次品率為0.1，試求在10次抽樣驗收中能通過驗收的次數(shù)的數(shù)學期望。 5設隨機變量具有概率密度. (1)、求常數(shù)； (2)、求的數(shù)學期望。 6設隨機變量的概率密度為 .求 ，,.7設隨機變量(,)具有聯(lián)合概率密度,試求：(1)、的邊緣密度； (2)、的邊緣密度；(3)、,； (4)、E(Y), ； (5)、與是否不相關？(6)、與是否相互獨立？8設已知三個隨機變量,中, , ,.試求： (1)、； (2)、； (3)、.第五章 大數(shù)定律及中心極限定理1設某公路段過往車輛發(fā)生交通事故的概率為0.0001, 車輛間發(fā)生交通事故與否相互獨立, 若在某個時間區(qū)間內(nèi)恰有10萬輛車輛通過, 試求在該時間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)不多于15次的概率的近似值. 2設某學校有1000名學生, 在某一時間區(qū)間內(nèi)每個學生去某閱覽室自修的概率是0.05, 且設每個學生去閱覽室自修與否相互獨立. 試問該閱覽室至少應設多少座位才能以不低于0.95的概率保證每個來閱覽室自修的學生均有座位？3. 用Chebyshev 不等式確定當擲一均勻銅幣時，需投多少次才能保證使得正面出現(xiàn)的頻率在0.4至0.6之間的概率不少于90%，并用正態(tài)逼近計算同一問題。4. 一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝,每箱的重量是隨機的.假設每箱平均重50千克,標準差為5千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運,試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少,才能保障不超載的概率大于0.977. (, 其中是標準正態(tài)分布函 數(shù).)5. 設某車間有同型號車床200臺，獨立工作，開工率0.8，開工時每臺車床耗電1kw (千瓦). 問應該至少供多少電，可以99.9%的概率，保證該車間不因供電不足而影響生產(chǎn)？6. 經(jīng)以往檢驗已確認某公司組裝PC機的次品率為0.04，現(xiàn)對該公司所組裝的PC機100臺逐個獨立的測試，(1)、試求不少于4臺次品的概率（寫出精確計算的表達式）；(2)、用中心極限定理和Poisson定理給出此概率的兩個近似值。7.設隨機變量序列依概率收斂于非零常數(shù), 而且， 證明：依概率收斂于.第六章 樣本及抽樣分布 1. 設在總體中抽取樣本，其中已知而未知，指出之中，哪些是統(tǒng)計量，哪些不是統(tǒng)計量，為什么？ 2. 在總體中隨機抽取一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率. 3. 求總體的容量分別為10，15的兩獨立樣本均值差的絕對值大于0.3的概率. 4. 在總體中隨機抽取一容量為5的樣本，求樣本平均值與總體平均值之差的絕對值大于1的概率.5. 記 為的一個樣本，求6. 設在總體中抽取一容量為16的樣本，其中均未知，求：(1)、其中為樣本方差；(2)、. 7. 設為來自泊松分布的一個樣本，分別為樣本均值和樣本方差，求 8. 設為來自的一個樣本，記求證：9. 設為來自的一個樣本，為樣本均值和樣本方差，求滿足下式的的值： 第七章 參數(shù)估計1. 某種產(chǎn)品被抽樣9個樣品，測其重量（單位），計算得：。設重量近似服從未知。求總體均值、總體標準差的置信水平為95%置信區(qū)間。2. 設總體是泊松分布， 抽取一樣本，其樣本觀測值為，求參數(shù)的極大似然估計.3. 設總體是正態(tài)分布，求 和的極大似然估計量。4. 設總體的概率分布為：1 2 3 現(xiàn)在觀察容量為3的樣本：，求的極大似然估計值.5. 設總體(未知)，是樣本，試從以下的三個無偏估計量中選送一個最有效的： 6. 某車間生產(chǎn)滾珠，從長期的生產(chǎn)實踐中知道，可以認為滾珠的直徑服從正態(tài)分布，從某日的產(chǎn)品中隨機取出6件，量得平均直徑為，若已知該日產(chǎn)品直徑的方差為.試求平均直徑的置信區(qū)間.7. 從某年高考隨機抽取102份作文試卷，算得平均得分為26分，標準差為1.5，試估計總體均值95%和99%的置信區(qū)間。8. 某自動車床加工零件，抽查16個零件，測得平均長度為12.075，試問該車床所加工的零件長度的方差落在什么范圍內(nèi)？9. 設有一批胡椒粉，每袋凈重（單位：g）服從分布，今任取8袋測得平均凈重為12.15；，試求的置信度為0.99的置信區(qū)間.第八章 假設檢驗1. 某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖，規(guī)定標準為0.5。設包裝機實際生產(chǎn)的每袋重量服從正態(tài)分布，且由長期的經(jīng)驗知其標準差。某天開工后，為了檢驗包裝機工作是否正常，隨機抽取了9袋，稱得凈重為，。問這天的包裝機工作是否正常？（）2. 一個工廠制成一種新的釣魚繩，聲稱其折斷平均受力為15公斤，已知標準差為公斤。為檢驗15公斤這數(shù)字是否確實，在該廠產(chǎn)品中隨機抽取50件，測得其折斷平均受力是14.8公斤，若取顯著性水平，問是否應該接受廠方聲稱的15公斤這個數(shù)字？3. 某苗圃采用兩種育苗方案作楊樹的育苗試驗，在兩組育苗試驗中，已知苗高服從正態(tài)分布，且它們的標準差分別為，現(xiàn)各取60株作為樣本，求得樣本均值觀測值分別為，（厘米），試求以95%的可靠性估計兩種試驗方案對平均苗高的影響。4. 為了研究一種新化肥對種植小麥的效力，選用13塊條件相同面積相等的進行試驗。在5塊上施肥，在另8塊上不施肥。經(jīng)過基本相同的田間管理，各自平均產(chǎn)量與樣本標準差為： ， ， ，.問這種化肥對小麥產(chǎn)量是否有顯著影響？（）5. 已知維尼龍纖度在正常情況下服從正態(tài)分布某日抽取5根纖維，測得平均值為1.414，標準差為0.00778。問這一天纖度的總體標準差是否正常？ 6. 在甲廠抽9個產(chǎn)品，算出它的樣本方差在乙廠抽12個產(chǎn)品，算出它的樣本方差在顯著性水平下，檢驗假設（， 分別是甲廠和乙廠產(chǎn)品的方差，又假定各廠產(chǎn)品質(zhì)量都服從正態(tài)分布）7. 有兩臺機器生產(chǎn)金屬部件，分別在兩臺機器所生產(chǎn)的部件中各取一容量的樣本，測得部件重量的樣本方差分別為設兩樣本相互獨立.兩總體分別服從分布.試在顯著性水平下檢驗假設：第九章 方差分析及回歸分析1. 某地區(qū)19911995年個人消費支出和收入資料如下：年份19911992199319941995個人收入（萬元）消費支出（萬元）64567069776682759288要求：(1)、計算個人收入與消費支出之間的相關系數(shù)。(2)、配合消費支出(y)對個人收入(x)的直線回歸方程.2. 為研究產(chǎn)品銷售額與銷售利潤之間的關系。某公司對所屬六家企業(yè)進行了調(diào)查，產(chǎn)品銷售額為（萬元），銷售利潤為（萬元），調(diào)查資料斤經(jīng)初步整理計算，結果如下： ，.要求： （1）、計算銷售額與銷售利潤之間的相關關系。（2）、配合銷售利潤對銷售額的直線回歸方程。