三年高考（2017-2019）高考物理真題分項匯編 專題17 光學 電磁波 相對論（含解析）

專題17 光學 電磁波 相對論 1．（2019·北京卷）利用圖1所示的裝置（示意圖），觀察光的干涉、衍射現象，在光屏上得到如圖2中甲和乙兩種圖樣。下列關于P處放置的光學元件說法正確的是 A．甲對應單縫，乙對應雙縫 B．甲對應雙縫，乙對應單縫 C．都是單縫，甲對應的縫寬較大 D．都是雙縫，甲對應的雙縫間距較大 【答案】A 【解析】根據單縫衍射圖樣和雙縫干涉圖樣特點判斷。單縫衍射圖樣為中央亮條紋最寬最亮，往兩邊變窄，雙縫干涉圖樣是明暗相間的條紋，條紋間距相等，條紋寬度相等，結合圖甲，乙可知，甲對應單縫，乙對應雙縫，故A正確，BCD錯誤。 2．（2019·北京卷）光電管是一種利用光照射產生電流的裝置，當入射光照在管中金屬板上時，可能形成光電流。表中給出了6次實驗的結果。 組 次 入射光子的能量/eV 相對光強 光電流大小/mA 逸出光電子的最大動能/eV 第 一 組 1 2 3 4.0 4.0 4.0 弱 中 強 29 43 60 0.9 0.9 0.9 第 二 組 4 5 6 6.0 6.0 6.0 弱 中 強 27 40 55 2.9 2.9 2.9 由表中數據得出的論斷中不正確的是 A．兩組實驗采用了不同頻率的入射光 B．兩組實驗所用的金屬板材質不同 C．若入射光子的能量為5.0 eV，逸出光電子的最大動能為1.9 eV D．若入射光子的能量為5.0 eV，相對光強越強，光電流越大 【答案】B 【解析】由愛因斯坦質能方程比較兩次實驗時的逸出功和光電流與光強的關系解題 由題表格中數據可知，兩組實驗所用的入射光的能量不同，由公式可知，兩組實驗中所用的入射光的頻率不同，故A正確；由愛因斯坦質能方程可得：第一組實驗：，第二組實驗：，解得：，即兩種材料的逸出功相同也即材料相同，故B錯誤；由愛因斯坦質能方程可得：，故C正確；由題表格中數據可知，入射光能量相同時，相對光越強，光電流越大，故D正確。 3．（2019·天津卷）某小組做測定玻璃的折射率實驗，所用器材有：玻璃磚，大頭針，刻度尺，圓規(guī)，筆，白紙。 ①下列哪些措施能夠提高實驗準確程度______。 A．選用兩光學表面間距大的玻璃磚 B．選用兩光學表面平行的玻璃磚 C．選用粗的大頭針完成實驗 D．插在玻璃磚同側的兩枚大頭針間的距離盡量大些 ②該小組用同一套器材完成了四次實驗，記錄的玻璃磚界線和四個大頭針扎下的孔洞如下圖所示，其中實驗操作正確的是______。 ③該小組選取了操作正確的實驗記錄，在白紙上畫出光線的徑跡，以入射點為圓心作圓，與入射光線、折射光線分別交于、點，再過、點作法線的垂線，垂足分別為、點，如圖所示，則玻璃的折射率______。（用圖中線段的字母表示） 【答案】①AD ②D ③ 【解析】①采用插針法測定光的折射率的時候，應選定光學表面間距大一些的玻璃磚，這樣光路圖會更加清晰，減小誤差，同時兩枚大頭針的距離盡量大一些，保證光線的直線度，因此AD正確，光學表面是否平行不影響該實驗的準確度，因此B錯誤，應選用細一點的大頭針因此C錯誤。 ②根據光的折射定律可知當選用平行的玻璃磚時出射光和入射光應是平行光，又因發(fā)生了折射因此出射光的出射點應相比入射光的延長線向左平移，因此D正確，ABC錯誤； ③由折射定律可知折射率，，，聯立解得。 4．（2019·江蘇卷）將兩支鉛筆并排放在一起，中間留一條狹縫，通過這條狹縫去看與其平行的日光燈，能觀察到彩色條紋，這是由于光的 （選填“折射”“干涉”或“衍射”）．當縫的寬度 （選填“遠大于”或“接近”）光波的波長時，這種現象十分明顯。 【答案】衍射 接近 【解析】通過兩支鉛筆中間的縫能看到彩色條紋，說明光繞過縫而到人的眼睛，所以這是由于光的衍射現象，由發(fā)生明顯衍射條件可知，當縫的寬度與光波的波長接近或比光波的波長少得多時能發(fā)生明顯衍射現象。 5．（2019·新課標全國Ⅱ卷）某同學利用圖示裝置測量某種單色光的波長。實驗時，接通電源使光源正常發(fā)光：調整光路，使得從目鏡中可以觀察到干涉條紋。回答下列問題： （1）若想增加從目鏡中觀察到的條紋個數，該同學可__________； A．將單縫向雙縫靠近 B．將屏向靠近雙縫的方向移動 C．將屏向遠離雙縫的方向移動 D．使用間距更小的雙縫 （2）若雙縫的間距為d，屏與雙縫間的距離為l，測得第1條暗條紋到第n條暗條紋之間的距離為Δx，則單色光的波長λ=_________； （3）某次測量時，選用的雙縫的間距為0.300 mm，測得屏與雙縫間的距離為1.20 m，第1條暗條紋到第4條暗條紋之間的距離為7.56 mm。則所測單色光的波長為______________nm（結果保留3位有效數字）。 【答案】（1）B （2） （3）630 【解析】（1）由Δx=，因Δx越小，目鏡中觀察得條紋數越多，故B符合題意； （2）由，λ= （3）λ==。 6．（2019·新課標全國Ⅰ卷）如圖，一艘帆船靜止在湖面上，帆船的豎直桅桿頂端高出水面3 m。距水面4 m的湖底P點發(fā)出的激光束，從水面出射后恰好照射到桅桿頂端，該出射光束與豎直方向的夾角為53°（取sin53°=0.8）。已知水的折射率為。 （1）求桅桿到P點的水平距離； （2）船向左行駛一段距離后停止，調整由P點發(fā)出的激光束方向，當其與豎直方向夾角為45°時，從水面射出后仍然照射在桅桿頂端，求船行駛的距離。 【答案】（1）7 m （2） 【解析】（1）設光束從水面射出的點到桅桿的水平距離為x1，到P點的水平距離為x2；桅桿高度為h1，P點處水深為h2：激光束在水中與豎直方向的夾角為θ。由幾何關系有 ① ② 由折射定律有 sin53°=nsinθ③ 設桅桿到P點的水平距離為x，則 x=x1+x2④ 聯立①②③④式并代入題給數據得 x=7 m⑤ （2）設激光束在水中與豎直方向的夾角為45°時，從水面出射的方向與豎直方向夾角為，由折射定律有 sin=nsin45°⑥ 設船向左行駛的距離為x'，此時光束從水面射出的點到桅桿的水平距離為x'1，到P點的水平距離為x'2，則 ⑦ ⑧ ⑨ 聯立⑤⑥⑦⑧⑨式并代入題給數據得 x'=⑩ 7．（2019·新課標全國Ⅲ卷）如圖，直角三角形ABC為一棱鏡的橫截面，∠A=90°，∠B=30°。一束光線平行于底邊BC射到AB邊上并進入棱鏡，然后垂直于AC邊射出。 （1）求棱鏡的折射率； （2）保持AB邊上的入射點不變，逐漸減小入射角，直到BC邊上恰好有光線射出。求此時AB邊上入射角的正弦。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）光路圖及相關量如圖所示。光束在AB邊上折射，由折射定律得 ① 式中n是棱鏡的折射率。由幾何關系可知 α+β=60°② 由幾何關系和反射定律得 ③ 聯立①②③式，并代入i=60°得 n=④ （2）設改變后的入射角為，折射角為，由折射定律得 =n⑤ 依題意，光束在BC邊上的入射角為全反射的臨界角，且 sin=⑥ 由幾何關系得 =α'+30°⑦ 由④⑤⑥⑦式得入射角的正弦為 sin=⑧ 8．（2019·江蘇卷）如圖所示，某L形透明材料的折射率n=2?，F沿AB方向切去一角，AB與水平方向的夾角為θ。為使水平方向的光線射到AB面時不會射入空氣，求θ的最大值。 【答案】 【解析】要使光線不會射入空氣，即發(fā)生全反射，設臨界角為C，即有： 由幾何關系得： 聯立解得： 9．（2018·北京卷）用雙縫干涉實驗裝置得到白光的干涉條紋，在光源與單縫之間加上紅色濾光片后 A．干涉條紋消失 B．彩色條紋中的紅色條紋消失 C．中央條紋變成暗條紋 D．中央條紋變成紅色 【答案】D 【解析】當用白光做干涉實驗時，頻率相同的色光，相互疊加干涉，在光屏上形成彩色條紋，中央形成白色的亮條紋；當在光源與單縫之間加上紅色濾光片后，只有紅光能通過單縫，然后通過雙縫后相互疊加干涉，在光屏上形成紅色干涉條紋，光屏中央為加強點，所以中央條紋變成紅色亮條紋，故選項D正確，ABC錯誤； 【名師點睛】本題考查了光的干涉現象，注意只有頻率相同、振動相同的兩列波才能形成穩(wěn)定的干涉圖像，同時要掌握哪些點是振動加強點，哪些點是振動減弱點。 10．（2018·天津卷）氫原子光譜在可見光區(qū)域內有四條譜線，都是氫原子中電子從量子數n>2的能級躍遷到n=2的能級發(fā)出的光，它們在真空中的波長由長到短，可以判定 A．對應的前后能級之差最小 B．同一介質對的折射率最大 C．同一介質中的傳播速度最大 D．用照射某一金屬能發(fā)生光電效應，則也一定能 【答案】A 【解析】根據分析前后能級差的大小；根據折射率與頻率的關系分析折射率的大?。桓鶕袛鄠鞑ニ俣鹊拇笮?；根據發(fā)生光電效應現象的條件是入射光的頻率大于該光的極限頻率判斷是否會發(fā)生光電效應。波長越大，頻率越小，故的頻率最小，根據可知對應的能量最小，根據可知對應的前后能級之差最小，A正確；的頻率最小，同一介質對應的折射率最小，根據可知的傳播速度最大，BC錯誤；的波長小于的波長，故的頻率大于的頻率，若用照射某一金屬能發(fā)生光電效應，則不一定能，D錯誤。 【名師點睛】光的波長越大，頻率越小，同一介質對其的折射率越小，光子的能量越小。 11．（2018·江蘇卷）（多選）梳子在梳頭后帶上電荷，搖動這把梳子在空中產生電磁波。該電磁波 A．是橫波 B．不能在真空中傳播 C．只能沿著梳子搖動的方向傳播 D．在空氣中的傳播速度約為3×108 m/ s 【答案】AD 【解析】搖動的梳子在空中產生電磁波，電磁波是橫波，選項A正確；電磁波能在真空中傳播，選項B錯誤；電磁波傳播的方向與振動方向垂直，選項C錯誤；電磁波在空氣中傳播的速度約為光速，選項D正確。 12．（2018·江蘇卷）兩束單色光A、B的波長分別為、，且>，則______（選填“A”或“B”）在水中發(fā)生全反射時的臨界角較大。用同一裝置進行楊氏雙縫干涉實驗時，可以觀察到______（選填“A”或“B”）產生的條紋間距較大。 【答案】A A 【解析】波長越長，頻率越小，折射率越小，根據臨界角，可知波長越大臨界角越大，所以A光的臨界角大；雙縫干涉條紋的間距，因為A光的波長較長，所以A光產生的條紋間距較大。 13．（2018·新課標全國I卷）如圖，△ABC為一玻璃三棱鏡的橫截面，∠A=30°，一束紅光垂直AB邊射入，從AC邊上的D點射出，其折射角為60°，則玻璃對紅光的折射率為_____。若改用藍光沿同一路徑入射，則光線在D點射出時的折射射角______（“小于”“等于”或“大于”）60°。 【答案】 大于 【解析】根據題述和圖示可知，i=60°，r=30°，由折射定律，玻璃對紅光的折射率n==。若改用藍光沿同一路徑入射，由于玻璃對藍光的折射率大于玻璃對紅光的折射率，則光線在D點射出時的折射角大于60°。 14．（2018·北京卷）（1）靜電場可以用電場線和等勢面形象描述。 a．請根據電場強度的定義和庫侖定律推導出點電荷Q的場強表達式； b．點電荷的電場線和等勢面分布如圖所示，等勢面S?、S?到點電荷的距離分別為r?、r?。我們知道，電場線的疏密反映了空間區(qū)域電場強度的大小。請計算S?、S?上單位面積通過的電場線條數之比N1/N2。 （2）觀測宇宙中輻射電磁波的天體，距離越遠單位面積接收的電磁波功率越小，觀測越困難。為了收集足夠強的來自天體的電磁波，增大望遠鏡口徑是提高天文觀測能力的一條重要路徑。2016年9月25日，世界上最大的單口徑球面射電望遠鏡FAST在我國貴州落成啟用，被譽為“中國天眼”。FAST直徑為500 m，有效提高了人類觀測宇宙的精度和范圍。 a．設直徑為100 m的望遠鏡能夠接收到的來自某天體的電磁波功率為P?，計算FAST能夠接收到的來自該天體的電磁波功率P?； b．在宇宙大尺度上，天體的空間分布是均勻的，僅以輻射功率為P的同類天體為觀測對象，設直徑為100 m望遠鏡能夠觀測到的此類天體數目是N0，計算FAST能夠觀測到的此類天體數目N。 【答案】（1）a． b． （2）a． b． 【解析】（1）a．在距Q為r的位置放一電荷量為q的檢驗電荷 根據庫侖定律檢驗電荷受到的電場力 根據電場強度的定義 得 b．穿過每個面的電場線的總條數是相等的，若面積大，則單位面積上分擔的條數就少， 故穿過兩等勢面單位面積上的電場線條數之比 （2）a．地球上不同望遠鏡觀測同一天體，單位面積上接收的功率應該相同，因此 b．在宇宙大尺度上，天體的空間分布是均勻的。因此一個望遠鏡能觀測到的此類天體數目正比于以望遠鏡為球心、以最遠觀測距離為半徑的球體體積。 設地面上望遠鏡能觀測到此類天體需收集到的電磁波的總功率的最小值為P0，直徑為100 m望遠鏡和FAST能觀測到的最遠距離分別為L0和L，則 可得L=5L0 則 【名師點睛】本題是一道信息題，要讀懂題目中所描述的物理情景，然后結合物理知識求解，在電場線條數一定的情況下，圓的半徑越大，則單位面積上的條數就越少；同樣要知道地球上不同望遠鏡觀測同一天體，單位面積上接收的功率應該相同，要借助于這些條件處理問題。 15．（2018·新課標全國II卷）如圖，△ABC是一直角三棱鏡的橫截面，，，一細光束從BC邊的D點折射后，射到AC邊的E點，發(fā)生全反射后經AB邊的F點射出。EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中點。不計多次反射。 （i）求出射光相對于D點的入射光的偏角； （ii）為實現上述光路，棱鏡折射率的取值應在什么范圍？ 【答案】（1）δ=60° （2） 【解析】（1）根據題意畫出光路圖，根據幾何關系找到出射光線與入射光線之間的夾角； （2）要保證在E點發(fā)生全反射，則在E點的入射角要大于等于臨界角C （?。┕饩€在BC面上折射，由折射定律有 ① 式中，n為棱鏡的折射率，i1和r1分別是該光線在BC面上的入射角和折射角。光線在AC面上發(fā)生全反射，由反射定律有 i2=r2② 式中i2和r2分別是該光線在AC面上的入射角和反射角。光線在AB面上發(fā)生折射，由折射定律有 ③ 式中i3和r3分別是該光線在AB面上的入射角和折射角。由幾何關系得 i2=r2=60°，r1=i3=30°④ F點的出射光相對于D點的入射光的偏角為 δ=（r1–i1）+（180°–i2–r2）+（r3–i3）⑤ 由①②③④⑤式得 δ=60°⑥ （ⅱ）光線在AC面上發(fā)生全反射，光線在AB面上不發(fā)生全反射，有 ⑦ 式中C是全反射臨界角，滿足 ⑧ 由④⑦⑧式知，棱鏡的折射率n的取值范圍應為 ⑨ 【名師點睛】本題考查了幾何光學，處理此類題的方法一般是正確畫光路圖利用幾何關系求偏角，還要知道全發(fā)射的條件是什么。 16．（2018·新課標全國III卷）如圖，某同學在一張水平放置的白紙上畫了一個小標記“·”(圖中O點)，然后用橫截面為等邊三角形ABC的三棱鏡壓在這個標記上，小標記位于AC邊上。D位于AB邊上，過D點做AC邊的垂線交AC于F。該同學在D點正上方向下順著直線DF的方向觀察。恰好可以看到小標記的像；過O點做AB邊的垂線交直線DF于E；DE=2 cm，EF=1 cm。求三棱鏡的折射率。(不考慮光線在三棱鏡中的反射) 【答案】 【解析】試題分析 本題考查折射定律、光在三棱鏡中傳播及其相關的知識點。 解析過D點作AB邊的發(fā)現，連接OD，則為O點發(fā)出的光纖在D點的入射角；設該光線在D點的折射角為β，如圖所示。根據折射定律有 ① 式中n為三棱鏡的折射率 由幾何關系可知 ② ③ 在中有 ④ 由③④式和題給條件得 ⑤ 根據題給條件可知，為等腰三角形，有 ⑥ 由①②⑥式得 ⑦ 17．（2017·北京卷）如圖所示，一束可見光穿過平行玻璃磚后，變?yōu)閍、b兩束單色光。如果光束b是藍光，則光束a可能是 A．紅光 B．黃光 C．綠光 D．紫光 【答案】D 【解析】根據題意作出完整光路圖，如圖所示，a光進入玻璃磚時光線偏折角較大，根據光的折射定律可知玻璃磚對a光的折射率較大，因此a光的頻率應高于b光，故選D。 【名師點睛】由教材中白光通過三棱鏡時發(fā)生色散的演示實驗可知，光線在進入棱鏡前后偏折角度越大，棱鏡對該光的折射率越大，該光的頻率越大。 18．（2017·天津卷）明代學者方以智在《陽燧倒影》中記載：“凡寶石面凸，則光成一條，有數棱則必有一面五色”，表明白光通過多棱晶體折射會發(fā)生色散現象。如圖所示，一束復色光通過三棱鏡后分解成兩束單色光a、b，下列說法正確的是 A．若增大入射角i，則b光先消失 B．在該三棱鏡中a光波長小于b光 C．a光能發(fā)生偏振現象，b光不能發(fā)生 D．若a、b光分別照射同一光電管都能發(fā)生光電效應，則a光的遏止電壓低 【答案】D 【解析】設折射角為α，在右界面的入射角為β，根據幾何關系有：，根據折射定律：，增大入射角i，折射角α增大，β減小，而β增大才能使b光發(fā)生全反射，故A錯誤；由光路圖可知，a光的折射率小于b光的折射率（），則a光的波長大于b光的波長（），故B錯誤；根據光電效應方程和遏止電壓的概念可知：最大初動能，再根據動能定理：，即遏止電壓，可知入射光的頻率越大，需要的遏止電壓越大，，則a光的頻率小于b光的頻率（），a光的遏止電壓小于b光的遏止電壓，故D正確；光是一種橫波，橫波有偏振現象，縱波沒有，有無偏振現象與光的頻率無關，故C錯誤。 【名師點睛】本題考查的知識點較多，涉及光的折射、全反射、光電效應方程、折射率與波長的關系、橫波和縱波的概念等，解決本題的關鍵是能通過光路圖判斷出兩種光的折射率的關系，并能熟練利用幾何關系。 19．（2017·北京卷）物理學原理在現代科技中有許多重要應用。例如，利用波的干涉，可將無線電波的干涉信號用于飛機降落的導航。 如圖所示，兩個可發(fā)射無線電波的天線對稱地固定于飛機跑道兩側，它們類似于楊氏干涉實驗中的雙縫。兩天線同時都發(fā)出波長為λ1和λ2的無線電波。飛機降落過程中，當接收到λ1和λ2的信號都保持最強時，表明飛機已對準跑道。下列說法正確的是 A．天線發(fā)出的兩種無線電波必須一樣強 B．導航利用了λ1與λ2兩種無線電波之間的干涉 C．兩種無線電波在空間的強弱分布穩(wěn)定 D．兩種無線電波各自在空間的強弱分布完全重合 【答案】C 【解析】由于兩無線電波波源對稱分布在跑道兩側，兩種波長的無線電波各自發(fā)生干涉，在跑道處干涉均加強，兩種無線電波各自在空間的強弱分布穩(wěn)定，但不重合，當接收到的λ1和λ2的信號都保持最強時，表明飛機已對準跑道。由題意，天線發(fā)出的兩種無線電波不必一樣強，A錯誤；導航利用了兩種波長的無線電波各自的穩(wěn)定干涉，B錯誤；若兩種無線電波各自在空間的強弱分布完全重合，則接收到λ1和λ2的信號都保持最強的位置，不一定在跑道上，D錯誤；故選C。 【名師點睛】波長相等的兩列波可以產生穩(wěn)定的干涉，類似雙縫干涉實驗，在兩波源連線的中垂線上干涉始終加強（波程差為零）。 20．（2017·江蘇卷）接近光速飛行的飛船和地球上各有一只相同的銫原子鐘，飛船和地球上的人觀測這兩只鐘的快慢，下列說法正確的有 A．飛船上的人觀測到飛船上的鐘較快 B．飛船上的人觀測到飛船上的鐘較慢 C．地球上的人觀測到地球上的鐘較快 D．地球上的人觀測到地球上的鐘較慢 【答案】AC 【解析】飛船相對地球高速運動，所以地球上的人觀測飛船上的時鐘較慢，而地球相對飛船高速運動，所以飛船上的人認為地球上的時鐘較慢，所以A、C正確；B、D錯誤． 【名師點睛】本題主要考查狹義相對論時間間隔的相對性，注意運動的相對的，飛船相對地球高速運動，地球也相對飛船高速運動． 21．（2017·新課標全國Ⅱ卷）在雙縫干涉實驗中，用綠色激光照射在雙縫上，在縫后的屏幕上顯示出干涉圖樣。若要增大干涉圖樣中兩相鄰亮條紋的間距，可選用的方法是 A．改用紅色激光 B．改用藍色激光 C．減小雙縫間距 D．將屏幕向遠離雙縫的位置移動 E．將光源向遠離雙縫的位置移動 【答案】ACD 【解析】根據條紋間距表達式可知：因紅光的波長大于綠光的波長，則改用紅色激光可增大條紋間距，選項A正確；因藍光的波長小于綠光的波長，則改用藍色激光可減小條紋間距，選項B錯誤；減小雙縫間距d可增加條紋間距，選項C正確；將屏幕向遠離雙縫的位置移動，即增加l可使條紋間距變大，選項D正確；光源與雙縫間的距離不影響條紋間距，選項E錯誤；故選ACD。 【名師點睛】此題考查雙縫干涉中條紋間距的影響因素；關鍵是理解實驗原理，知道干涉條紋間距的表達式，題目較簡單。 22．（2017·江蘇卷）人的眼球可簡化為如圖所示的模型，折射率相同、半徑不同的兩個球體共軸，平行光束寬度為D，對稱地沿軸線方向射入半徑為R的小球，會聚在軸線上的P點．取球體的折射率為，且D=R，求光線的會聚角α．（示意圖未按比例畫出） 【答案】30° 【解析】由幾何關系，解得 則由折射定律，解得 且，解得 【名師點睛】幾何光學的問題，畫出光路圖，剩下的就是平面幾何，找邊角關系． 23．（2017·新課標全國Ⅰ卷）如圖，一玻璃工件的上半部是半徑為R的半球體，O點為球心；下半部是半徑為R、高位2R的圓柱體，圓柱體底面鍍有反射膜。有一平行于中心軸OC的光線從半球面射入，該光線與OC之間的距離為0.6R。已知最后從半球面射出的光線恰好與入射光線平行（不考慮多次反射）。求該玻璃的折射率。 【答案】 【解析】如圖，根據光路的對稱性和光路可逆性，與入射光線相對于OC軸對稱的出射光線一定與入射光線平行。這樣，從半球面射入的折射光線，將從圓柱體底面中心C點反射。 設光線在半球面的入射角為i，折射角為r。由折射定律有① 由正弦定理有② 由幾何關系，入射點的法線與OC的夾角為i。由題設條件和幾何關系有③ 式中L是入射光線與OC的距離。由②③式和題給數據得④ 由①③④式和題給數據得⑤ 【名師點睛】本題的關鍵條件是出射光線與入射光線平行，依據這個畫出光路圖，剩下就是平面幾何的運算了。 24．（2017·新課標全國Ⅱ卷）一直桶狀容器的高為2l，底面是邊長為l的正方形；容器內裝滿某種透明液體，過容器中心軸DD′、垂直于左右兩側面的剖面圖如圖所示。容器右側內壁涂有反光材料，其他內壁涂有吸光材料。在剖面的左下角處有一點光源，已知由液體上表面的D點射出的兩束光線相互垂直，求該液體的折射率。 【答案】1.55 【解析】設從光源發(fā)出直射到D點的光線的入射角為i1，折射角為r1，在剖面內做光源相對于反光壁的鏡像對稱點C，連接CD，交反光壁于E點，由光源射向E點的光線，反射后沿ED射向D點；光線在D點的入射角為i2，折射角為r2，如圖所示； 設液體的折射率為n，由折射定律：① ② 依題意：③ 聯立①②③解得：④ 由幾何關系：⑤ ⑥ 聯立④⑤⑥解得：n=1.55 【名師點睛】此題主要考查光的折射定律的應用；解題的關鍵是能畫出光路圖，通過幾何關系找到入射角及折射角；根據折射定律列方程求解。此題同時考查學生的數學計算能力。 25．（2017·新課標全國Ⅲ卷）如圖，一半徑為R的玻璃半球，O點是半球的球心，虛線OO′表示光軸（過球心O與半球底面垂直的直線）。已知玻璃的折射率為1.5?，F有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光線能從球面射出（不考慮被半球的內表面反射后的光線）。求 （i）從球面射出的光線對應的入射光線到光軸距離的最大值； （ii）距光軸的入射光線經球面折射后與光軸的交點到O點的距離。 【答案】（i） （ii） 【解析】（i）如圖，從底面上A處射入的光線，在球面上發(fā)生折射時的入射角為i，當i等于全反射臨界角i0時，對應入射光線到光軸的距離最大，設最大距離為l。 ① 設n是玻璃的折射率，由全反射臨界角的定義有 ② 由幾何關系有③ 聯立①②③式并利用題給條件，得④ （ii）設與光軸距的光線在球面B點折射時的入射角和折射角分別為i1和r1，由折射定律有 ⑤ 設折射光線與光軸的交點為C，在△OBC中，由正弦定理有⑥ 由幾何關系有⑦ ⑧ 聯立⑤⑥⑦⑧式及題給的條件得⑨ 【名師點睛】本題主要考查光的折射定律的應用，解題關鍵是根據題意畫出光路圖，根據幾何知識確定入射角與折射角，然后列方程求解。 19