柴俊-丁大公-陳咸平--等-編-科學(xué)出版社-華東師范大學(xué)-高等數(shù)學(xué)作業(yè)集-答案Ch-11-Infinite-series

第11章 無(wú)窮級(jí)數(shù)參考解答1、根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義判別下列級(jí)數(shù)的斂散性： （1） 解：，故原級(jí)數(shù)收斂。（2） 解：，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。2、用比較審斂法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性： （1） 解：，而級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。（2） 解：，而級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。（3） 解：，而級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。（4）解：，而級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。（利用極限，或）（5）解：，而級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。3、用比值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性： （1） 解：，故原級(jí)數(shù)收斂。（2） 解：，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。（3） 解：，故原級(jí)數(shù)收斂。（4）解：，故原級(jí)數(shù)收斂。（利用極限）4、用根值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性： （1） 解：，故原級(jí)數(shù)收斂。（2） 解：，故原級(jí)數(shù)收斂。（3） 解：，故原級(jí)數(shù)收斂。5、判別下列級(jí)數(shù)是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂： （1） 解：，且，故原級(jí)數(shù)為L(zhǎng)eibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)。但因，而發(fā)散，故發(fā)散。因此，原級(jí)數(shù)條件收斂。（2） 解：，且，故原級(jí)數(shù)為L(zhǎng)eibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)。但因，而收斂，故收斂。因此，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。（3）（即） 解：，且，故原級(jí)數(shù)為L(zhǎng)eibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)。但因發(fā)散，故原級(jí)數(shù)條件收斂。（4）解：考察函數(shù)，因時(shí)， ，故函數(shù)在上單調(diào)下降。由此可知，當(dāng)時(shí)，且易知，故原級(jí)數(shù)為L(zhǎng)eibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)。但因，而發(fā)散，故發(fā)散。因此，原級(jí)數(shù)條件收斂。6、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間： （1）解：，故得。時(shí)，級(jí)數(shù)為；時(shí)，級(jí)數(shù)為，上述級(jí)數(shù)均收斂，故原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。（2）解：，故得。時(shí)，級(jí)數(shù)為，此系Leibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)；時(shí)，級(jí)數(shù)為，此系調(diào)和級(jí)數(shù)。故原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。（3）解：原冪級(jí)數(shù)即為，此為缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)。因，故由，得。時(shí)，級(jí)數(shù)均成為，發(fā)散。故原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。（4）解：，故得。時(shí)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散；時(shí)，級(jí)數(shù)為，系Leibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)。故原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。（5）解：，故得，原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。7、利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)： （1）解：，故得。時(shí)，相應(yīng)的級(jí)數(shù)均發(fā)散（一般項(xiàng)不趨于零）。故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。設(shè)，則，故得，。（2）解：，故得。時(shí)，相應(yīng)的級(jí)數(shù)均發(fā)散。故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)，但，故得，于是得，。因此，所求冪級(jí)數(shù)之和函數(shù)為（3）解：，故得。時(shí)，相應(yīng)的級(jí)數(shù)為，因，而發(fā)散，故發(fā)散。時(shí)，相應(yīng)的級(jí)數(shù)為，為L(zhǎng)eibniz型交錯(cuò)級(jí)數(shù)。故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)，其中，。因，故得，于是因此，所求冪級(jí)數(shù)之和函數(shù)為8、將下列函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)，并求展開(kāi)式成立的區(qū)間： （1） （）（2） （）（3） （）（4） （）（5） （）（6） 解：設(shè)，則 （） （） （）（7） 解：， （8） 解：， 9、將下列函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并求展開(kāi)式成立的區(qū)間： （1） （2） （）10、求級(jí)數(shù)的和。 解：先求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。易知其收斂區(qū)間為。設(shè) 則當(dāng)時(shí)，其中，。因，故得，于是所求級(jí)數(shù)的和即為。11、設(shè)，試將展成x的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)之和。解：當(dāng)時(shí)， 因，故得。1213、略。14、設(shè)，其中（），求解：因?yàn)樗oFourier級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù)，故先將偶延拓到上，即然后將延拓成這個(gè)實(shí)數(shù)軸上的以2為周期的函數(shù)。于是，根據(jù)Dirichlet收斂條件，得注：周期的大小可從公式看出。15-16、略。（第15題課上已介紹）17、判別下列級(jí)數(shù)之?dāng)可⑿裕海?）解：因（Taylor公式），故所求極限為1，故原級(jí)數(shù)收斂。（2）解：1 ，但級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。2 ，但級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。18、設(shè)收斂，且，證明收斂。證明：因收斂，故部分和數(shù)列收斂，即存在；又，故因此，極限存在，從而知收斂。19、設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。證明：因，在點(diǎn)連續(xù)，故知。于是故由Taylor公式，（其中），從而得。于是，但級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。20、設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為3，求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。解：故所求收斂區(qū)間為。21、將函數(shù)展成x的冪級(jí)數(shù)，并指明收斂域，利用展開(kāi)式求級(jí)數(shù)的和。解：， 另一方面，故得 令，得，從而得。22、設(shè)，試將它展開(kāi)成以2為周期的Fourier級(jí)數(shù)，并用它來(lái)求。 解：，故所求Fourier級(jí)數(shù)為 令，得，即，故得。如有錯(cuò)誤，敬請(qǐng)指正；如有疑問(wèn)，歡迎討論！15