高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)典型例題

樊戰(zhàn)勝資料（） 答疑電話：15129092181 三角函數(shù)典型例題 1 ．設(shè)銳角的內(nèi)角的對邊分別為,. (Ⅰ)求的大小; (Ⅱ)求的取值范圍. 【解析】:(Ⅰ)由,根據(jù)正弦定理得,所以, 由為銳角三角形得. (Ⅱ) . 2 ．在中,角A． B．C的對邊分別為a、b、c,且滿足(2a-c)cosB=bcos C． (Ⅰ)求角B的大小; 20070316 (Ⅱ)設(shè)且的最大值是5,求k的值. 【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC, ∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C． 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA． ∵0<A<π,∴sinA≠0. ∴cosB=. ∵0<B<π,∴B=. (II)=4ksinA+cos2A． =-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,) 設(shè)sinA=t,則t∈. 則=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈. ∵k>1,∴t=1時,取最大值. 依題意得,-2+4k+1=5,∴k=. 3 ．在中,角所對的邊分別為,. I.試判斷△的形狀; II.若△的周長為16,求面積的最大值. 【解析】:I. ,所以此三角形為直角三角形. II.,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號, 此時面積的最大值為. 4 ．在中,a、b、c分別是角A． B．C的對邊,C=2A,, (1)求的值; (2)若,求邊AC的長? 【解析】:(1) (2) ① 又 ② 由①②解得a=4,c=6 ,即AC邊的長為5. 5 ．已知在中,,且與是方程的兩個根. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若AB,求BC的長. 【解析】:(Ⅰ)由所給條件,方程的兩根. ∴ (Ⅱ)∵,∴. 由(Ⅰ)知,, ∵為三角形的內(nèi)角,∴ ∵,為三角形的內(nèi)角,∴, 由正弦定理得: ∴. 6 ．在中,已知內(nèi)角A． B．C所對的邊分別為a、b、c,向量,,且? (I)求銳角B的大小; (II)如果,求的面積的最大值? 【解析】:(1) 2sinB(2cos2-1)=-cos2B 2sinBcosB=-cos2B tan2B=- ∵0<2B<π,∴2B=,∴銳角B= (2)由tan2B=- B=或 ①當(dāng)B=時,已知b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立) ∵△ABC的面積S△ABC= acsinB=ac≤ ∴△ABC的面積最大值為 ②當(dāng)B=時,已知b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2+ac≥2ac+ac=(2+)ac(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=-時等號成立) ∴ac≤4(2-) ∵△ABC的面積S△ABC= acsinB=ac≤ 2- ∴△ABC的面積最大值為2- 7 ．在中,角A． B．C所對的邊分別是a,b,c,且 (1)求的值; (2)若b=2,求△ABC面積的最大值. 【解析】:(1) 由余弦定理:cosB= +cos2B= (2)由 ∵b=2, +=ac+4≥2ac,得ac≤, S△ABC=acsinB≤(a=c時取等號) 故S△ABC的最大值為 8 ．已知,求的值? 【解析】; 9 ．已知 (I)化簡 (II)若是第三象限角,且,求的值? 【解析】 10．已知函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間; (2)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到? 【解析】:(1) 的最小正周期 由題意得 即 的單調(diào)增區(qū)間為 (2)先把圖象上所有點向左平移個單位長度, 得到的圖象,再把所得圖象上所有的點向上平移個單位長度, 就得到的圖象? 11．已知,,? (1)求的單調(diào)遞減區(qū)間? (2)若函數(shù)與關(guān)于直線對稱,求當(dāng)時,的最大值? 【解析】:(1) ∴當(dāng)時,單調(diào)遞減 解得:時,單調(diào)遞減? (2)∵函數(shù)與關(guān)于直線對稱 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴時, 12．已知,求下列各式的值; (1); (2) 【解析】: (1) (2) 13．設(shè)向量,函數(shù) (I)求函數(shù)的最大值與最小正周期; (II)求使不等式成立的的取值集合? 【解析】 14．已知向量,,與為共線向量,且 (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.? 【解析】:(Ⅰ) 與為共線向量, , 即 (Ⅱ) , , 又,, 因此, 15．如圖,A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi),B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂?測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為,,于水面C處測得B點和D點的仰角均為,AC=0.1km?試探究圖中B,D間距離與另外哪兩點距離相等,然后求B,D的距離(計算結(jié)果精確到0.01km,1.414,2.449) 【解析】:在中,=30,=60-=30, 所以CD=AC=0.1 又=180-60-60=60, 故CB是底邊AD的中垂線,所以BD=BA 在中,, 即AB= 因此, 故 B．D的距離約為0.33km? 16．已知函數(shù)(其中)的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為,且圖象上一個最低點為. (Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)當(dāng),求的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】： (1)由最低點為得A=2. 由x軸上相鄰的兩個交點之間的距離為得=,即, 由點在圖像上的 故 又 (2) 當(dāng)=,即時,取得最大值2;當(dāng) 即時,取得最小值-1,故的值域為[-1,2] 17．如圖,為了解某海域海底構(gòu)造,在海平面內(nèi)一條直線上的A,B,C三點進(jìn)行測量,已知,,于A處測得水深,于B處測得水深,于C處測得水深,求∠DEF的余弦值? 【解析】:作交BE于N,交CF于M. , , 在中,由余弦定理, 18．已知，， 求（1）（2）（3） 【解析】：（1） 19．已知函數(shù)（， ，）的一段圖象如圖所示， （1）求函數(shù)的解析式； （2）求這個函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。 【解析】：（1）由圖象可知： ； ∴ ，又∵為“五點畫法”中的第二點 ∴ ∴所求函數(shù)解析式為： （2）∵當(dāng)時，單調(diào)遞增 ∴ 20．已知的內(nèi)角A． B．C所對邊分別為a、b、c，設(shè)向量， ，且. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值. 【解析】（Ⅰ）由，得 即 也即 ∴ ∴ ∴ 21．已知函數(shù)，求： （1）函數(shù)的定義域和值域； （2）寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。 【解析】: （Ⅰ）函數(shù)的定義域 函數(shù)的值域為 （Ⅱ）令得 ∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 22．如圖為一個觀覽車示意圖．該觀覽車圓半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動一圈．途中與地面垂直．以為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動角到．設(shè)點與地面距離為． （1）求與的函數(shù)解析式； （2）設(shè)從開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過80秒到達(dá)，求. 【解析】：（1）∵， ∴ （2）∵，，∴，(m) 23．設(shè)函數(shù) （1）求函數(shù)上的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）當(dāng)?shù)娜≈捣秶? 【解析】：（1）， （2）當(dāng)， 24．已知函數(shù)，． （1）求的最大值和最小值； （2）在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 【解析】（Ⅰ） ． 又，， 即， ． （Ⅱ），， 且， ，即的取值范圍是． 25．在銳角△ABC中,角A． B．C的對邊分別為a、b、c,已知 (I)求角A; (II)若a=2,求△ABC面積S的最大值? 【解析】:(I)由已知得 又在銳角△ABC中,所以A=60,[不說明是銳角△ABC中,扣1分] (II)因為a=2,A=60所以 而 又 所以△ABC面積S的最大值等于 26．甲船由A島出發(fā)向北偏東45的方向作勻速直線航行,速度為15浬/小時,在甲船從A島出發(fā)的同時,乙船從A島正南40浬處的B島出發(fā),朝北偏東θ(的方向作勻速直線航行,速度為10 浬/小時.(如圖所示) (Ⅰ)求出發(fā)后3小時兩船相距多少浬? (Ⅱ)求兩船出發(fā)后多長時間相距最近?最近距離為多少浬? 【解析】:以A為原點,BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)在t時刻甲、乙兩船分別在P(x1, y1) Q (x2,y2). (I)令,P、Q兩點的坐標(biāo)分別為(45,45),(30,20) . 即兩船出發(fā)后3小時時,相距鋰 (II)由(I)的解法過程易知: ∴當(dāng)且僅當(dāng)t=4時,|PQ|的最小值為20 即兩船出發(fā)4小時時,相距20 海里為兩船最近距離. 27．在銳角中，已知內(nèi)角A． B．C所對的邊分別為a、b、c，且(tanA－tanB)＝1＋tanAtan B． (1)若a2－ab＝c2－b2，求A． B．C的大?。? (2)已知向量＝(sinA，cosA)，＝(cosB，sinB)，求｜3－2｜的取值范圍． 【解析】 D 28．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AO C．小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點A及點C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為．已知某人從沿走到用了10分鐘，從沿走到用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑的長（精確到1米）． 【解析】解法一：設(shè)該扇形的半徑為r米. 由題意，得 CD=500（米），DA=300（米），∠CDO= 在中， 即 Ｄ 解得（米） 解法二：連接AC，作OH⊥AC，交AC于H 由題意，得CD=500（米），AD=300（米）， ∴AC=700（米） 在直角 ∴ （米） 29．已知角的頂點在原點,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點. (1)求的值; (2)定義行列式運(yùn)算,求行列式的值; (3)若函數(shù)(), 求函數(shù)的最大值,并指出取到最大值時x的值 【解析】:(1)∵ 角終邊經(jīng)過點, ∴. (2),. . (3) (), ∴函數(shù) (), ∴, 此時. 30．已知函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期;(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)的最大值,并寫出x相應(yīng)的取值. 【解析】:(Ⅰ)因為 ( ) 所以,,即函數(shù)的最小正周期為 (Ⅱ)因為,得,所以有 ,即 所以,函數(shù)的最大值為 此時,因為,所以,,即 第 15 頁 共 15 頁