數(shù)學(xué)總4 規(guī)律探索題

專題四專題四規(guī)律探索題規(guī)律探索題命題預(yù)測方法指導(dǎo)規(guī)律探索型問題也是歸納猜想型問題,是指根據(jù)已知條件或題干所提供的若干特例,通過觀察、類比、歸納,發(fā)現(xiàn)問題中的數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性的一類問題.規(guī)律探索型問題體現(xiàn)了“由特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法,規(guī)律探索型問題大致可分為數(shù)式類規(guī)律探索問題、圖形類規(guī)律探索問題和直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律類,是中考的熱點(diǎn)題型,考查同學(xué)們創(chuàng)新能力的重要方式.考查的題型既有選擇題、填空題,也有解答題,安徽中考連續(xù)6年都有考查,預(yù)計這類題仍然是2018年中考的熱點(diǎn).命題預(yù)測方法指導(dǎo)解決這類問題的一般思路是通過對所給的具體的結(jié)論進(jìn)行全面、細(xì)致的觀察、分析、比較,從中發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律,并猜想出一般性的結(jié)論,然后再給出合理的證明或加以運(yùn)用.1.解決這類問題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)和把握規(guī)律.題目中呈現(xiàn)規(guī)律一般有三種主要途徑:(1)式與數(shù)的特征觀察.(2)圖形的結(jié)構(gòu)觀察.(3)通過對簡單、特殊情況的觀察,再推廣到一般情況.2.規(guī)律探究的基本原則:(1)遵循類推原則,項找項的規(guī)律,和找和的規(guī)律,差找差的規(guī)律,積找積的規(guī)律.(2)遵循有序原則,從特殊開始,從簡單開始,先找3個,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,再驗證運(yùn)用規(guī)律.類型一類型二類型一類型二類型一數(shù)式的變化規(guī)律例1(2017安徽,19)【閱讀理解】我們知道,1+2+3+n= ,那么12+22+32+n2結(jié)果等于多少呢?在圖1所示的三角形數(shù)陣中,第1行圓圈中的數(shù)為1,即12;第2行兩個圓圈中數(shù)的和為2+2,即22;第n行n個圓圈中數(shù)的和為類型一類型二【規(guī)律探究】將三角形數(shù)陣型經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣型,觀察這三個三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)(如第n-1行的第1個圓圈中的數(shù)分別為n-1,2,n),發(fā)現(xiàn)每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為.由此可得,這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為:3(12+22+32+n2)=.因此12+22+32+n2=.【解決問題】 類型一類型二分析:【規(guī)律探究】將同一位置圓圈中的數(shù)相加即可,所有圈中的數(shù)的和應(yīng)等于同一位置圓圈中的數(shù)的和乘以圓圈個數(shù),據(jù)此可得,每個三角形數(shù)陣和即為三個三角形數(shù)陣和的 ,從而得出答案;【解決問題】運(yùn)用以上結(jié)論,將原式變形為類型一類型二解:【規(guī)律探究】由題意知,每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為n-1+2+n=2n+1,由此可得,這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為:3(12+22+32+n2)【解決問題】 類型一類型二例2(2014安徽,16)觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式:32-412=5;52-422=9;72-432=13;根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題:(1)完成第四個等式:92-42=;(2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示),并驗證其正確性.分析:通過觀察變化的數(shù)字與序號的關(guān)系,得出第四個等式:92-442=17;通過歸納總結(jié)可得出第n個等式為(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1并證明.類型一類型二解:(1)417(2)猜想:(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.證明如下:左邊=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1,右邊=2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1.左邊=右邊,故(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.類型一類型二類型二圖形的變化規(guī)律例3(2016安徽,18)(1)觀察下列圖形與等式的關(guān)系,并填空:類型一類型二(2)觀察下圖,根據(jù)(1)中結(jié)論,計算圖中黑球的個數(shù),用含n的代數(shù)式填空:1+3+5+(2n-1)+()+(2n-1)+5+3+1=.分析:(1)根據(jù)1+3+5+7=16可得出16=42;設(shè)第n幅圖中球的個數(shù)為an,列出部分an的值,根據(jù)數(shù)據(jù)的變化找出變化規(guī)律“an-1=1+3+5+(2n-1)=n2”,依此規(guī)律即可解決問題;(2)觀察(1)可將(2)圖中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,再結(jié)合(1)的規(guī)律即可得出結(jié)論.類型一類型二解析:(1)1+3+5+7=16=42,設(shè)第n幅圖中球的個數(shù)為an,觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=42,故an-1=1+3+5+(2n-1)=n2.(2)觀察圖形發(fā)現(xiàn):圖中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,即1+3+5+(2n-1)+2(n+1)-1+(2n-1)+5+3+1=1+3+5+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+5+3+1=an-1+(2n+1)+an-1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.答案:(1)4n2(2)2n+12n2+2n+1類型一類型二例4(2012安徽,17)在由mn(mn1)個小正方形組成的矩形網(wǎng)格中,研究它的一條對角線所穿過的小正方形個數(shù)f,(1)當(dāng)m,n互質(zhì)(m,n除1外無其他公因數(shù))時,觀察下列圖形并完成下表:類型一類型二猜想:當(dāng)m,n互質(zhì)時,在mn的矩形網(wǎng)格中,一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與m,n的關(guān)系式是(不需要證明);(2)當(dāng)m,n不互質(zhì)時,請畫圖驗證你猜想的關(guān)系式是否依然成立.分析:(1)通過題中所給網(wǎng)格圖形,先計算出25,34,對角線所穿過的小正方形個數(shù)f,再對照表中數(shù)值歸納f與m,n的關(guān)系式.(2)根據(jù)題意,畫出當(dāng)m,n不互質(zhì)時,結(jié)論不成立的反例即可.類型一類型二解:(1)如表:f=m+n-1(2)當(dāng)m,n不互質(zhì)時,上述結(jié)論不成立,如圖.123456781.(2017重慶)下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的,其中第個圖形中一共有3個菱形,第個圖形中一共有7個菱形,第個圖形中一共有13個菱形,按此規(guī)律排列下去,第個圖形中菱形的個數(shù)為(C)A.73B.81C.91 D.10912345678解析: 整個圖形可以看作是由兩部分組成:上半部分是菱形,下半部分是由菱形組成的一條線段,各自的變化規(guī)律我們可以用一個表格來呈現(xiàn):由此,不難推斷出這組圖形中菱形個數(shù)的變化規(guī)律為:n2+n+1,當(dāng)n=9時,有n2+n+1=92+9+1=91,第個圖形中菱形的個數(shù)為91.123456782.(2017浙江溫州)我們把1,1,2,3,5,8,13,21這組數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.為了進(jìn)一步研究,依次以這列數(shù)為半徑作90圓弧P1P2,P2P3,P3P4,得到斐波那契螺旋線,然后順次連接P1P2,P2P3,P3P4得到螺旋折線(如圖),已知點(diǎn)P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),則該折線上點(diǎn)P9的坐標(biāo)為(B)A.(-6,24)B.(-6,25)C.(-5,24)D.(-5,25)解析: 找準(zhǔn)圖形規(guī)律,依次可得P6(-6,-1),P7(2,-9),P8(15,4),P9(-6,25).123456783.(2017湖北武漢)按照一定規(guī)律排列的n個數(shù):-2,4,-8,16,-32,64,若最后三個數(shù)的和為768,則n為(B)A.9B.10C.11 D.12解析: 根據(jù)數(shù)的規(guī)律,第n個數(shù)為(-2)n,故有最后三個數(shù)的和為(-2)n-2+(-2)n-1+(-2)n=(-2)n-2(1-2+4)=(-2)n-23=768,(-2)n-2=256=(-2)8.n=10.故選B.123456784.(2016湖北黃石)觀察下列等式: 按上述規(guī)律,回答以下問題:12345678123456785.(2017湖南衡陽)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,按如圖的方式放置,點(diǎn)A1,A2,A3,和點(diǎn)C1,C2,C3,分別在直線y=x+1和x軸上,則點(diǎn)B2 018的縱坐標(biāo)是22 017.解析: 由圖知,點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(1,1);點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(1,2);點(diǎn)B2的坐標(biāo)為(3,2);點(diǎn)A3的坐標(biāo)為(3,4);點(diǎn)B3的坐標(biāo)為(7,4);A4的坐標(biāo)為(7,8),尋找規(guī)律知B2 018的縱坐標(biāo)為22 017,故填22 017.123456786.(2017山東淄博)設(shè)ABC的面積為1.如圖1,分別將AC,BC邊2等分,D1,E1是其分點(diǎn),連接AE1,BD1交于點(diǎn)F1,得到四邊形CD1F1E1,其面積S1= ;如圖2,分別將AC,BC邊3等分,D1,D2,E1,E2是其分點(diǎn),連接AE2,BD2交于點(diǎn)F2,得到四邊形CD2F2E2,其面積S2= ;如圖3,分別將AC,BC邊4等分,D1,D2,D3,E1,E2,E3是其分點(diǎn),連接AE3,BD3交于點(diǎn)F3,得到四邊形CD3F3E3,其面積S3= ;按照這個規(guī)律進(jìn)行下去,若分別將AC,BC邊(n+1)等分,得到四邊形CDnFnEn,其面積Sn= .1234567812345678律解決下列問題:(1)直接寫出第四個等式;(2)猜想第n個等式(用n的代數(shù)式表示),并證明你猜想的等式是正確的.123456788.(2017四川內(nèi)江)觀察下列等式: 按上述規(guī)律,回答下列問題:(1)請寫出第六個等式:a6=;(2)用含n的代數(shù)式表示第n個等式:an=;(3)a1+a2+a3+a4+a5+a6=(得出最簡結(jié)果);(4)計算:a1+a2+an.12345678