2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 2 充分條件與必要條件學(xué)案 北師大版選修1-1

§2 充分條件與必要條件 充分條件與必要條件古時(shí)候有個(gè)賣油郎叫洛孝，一天他在賣油回家的路上撿到30兩銀子，回家后其母親叫洛孝把銀子還給失主當(dāng)洛孝把銀子還給失主時(shí)，失主卻說自己丟了50兩銀子，叫洛孝拿出自己私留的20兩銀子兩人為此爭執(zhí)不休，告到縣衙，縣官聽了兩人的供述后，把銀子判給洛孝，失主含羞離去設(shè)：A：洛孝主動(dòng)歸還所拾銀兩B：洛孝無賴銀之情C：洛孝拾到30兩銀子，失主丟失50兩銀子D：洛孝所拾銀子不是失主所丟問題1：縣官得到結(jié)論B的依據(jù)是什么？它是B的什么條件？提示：A，充分條件問題2：縣官由C得出什么結(jié)論？它是C的什么條件？提示：D，必要條件充分條件和必要條件如果“若p，則q”形式的命題為真命題，即pq，稱p是q的充分條件，同時(shí)稱q是p的必要條件.充要條件已知：p：前年在倫敦舉行第30屆夏季奧運(yùn)會(huì)q：前年是2012年問題1：“若p，則q”為真命題嗎？p是q的什么條件？提示：是真命題，充分條件問題2：“若q，則p”是真命題嗎？p是q的什么條件？提示：是真命題，必要條件問題3：p是q的什么條件？q是p的什么條件？提示：充要條件，充要條件充要條件(1)如果既有pq，又有qp，通常記作pq，則稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件(2)p是q的充要條件也可以說成：p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立(3)如果p，q分別表示兩個(gè)命題，且它們互為充要條件，我們稱命題p和命題q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題(4)若pq，但q/ p，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件(5)若p/ q，且q/ p，則p是q的既不充分也不必要條件充分條件與必要條件的判斷，即對(duì)命題“若p，則q”與“若q，則p”進(jìn)行真假判斷，若是一真一假則p是q的充分不必要條件或必要不充分條件；若是兩真則p是q的充要條件；若是兩假則p是q的即不充分又不必要條件 充分條件、必要條件的判斷例1下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：a，b，c三數(shù)成等比數(shù)列，q：b；(2)p：yx>4，q：x>1，y>3；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：ABC是直角三角形，q：ABC為等腰三角形思路點(diǎn)撥可先看p成立時(shí)，q是否成立，再反過來若q成立時(shí)，p是否成立，從而判定p，q間的關(guān)系精解詳析(1)若a，b，c成等比數(shù)列，則b2ac，b±，則p/ q；若b，當(dāng)a0，b0時(shí)，a，b，c不成等比數(shù)列，即q/ p，故p是q的既不充分也不必要條件(2)yx>4不能得出x>1，y>3，即p/ q，而x>1，y>3可得xy>4，即qp，故p是q的必要不充分條件(3)當(dāng)a>b時(shí)，有2a>2b，即pq，當(dāng)2a>2b時(shí)，可得a>b，即qp，故p是q的充要條件(4)法一：若ABC是直角三角形不能得出ABC為等腰三角形，即p/ q；若ABC為等腰三角形也不能得出ABC為直角三角形，即q/ p，故p是q的既不充分也不必要條件法二：如圖所示：p，q對(duì)應(yīng)集合間無包含關(guān)系，故p是q的既不充分也不必要條件一點(diǎn)通充分必要條件判斷的常用方法：(1)定義法：分清條件和結(jié)論，利用定義判斷(2)等價(jià)法：將不易判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的逆否命題判斷(3)集合法：設(shè)Ax|p(x)，Bx|q(x)，若x具有性質(zhì)p，則xA；若x具有性質(zhì)q，則xB.若AB，則p是q的充分不必要條件；若BA，則p是q的必要不充分條件；若AB，則p是q的充要條件；若AB且BA，則p是q的既不充分又不必要條件1設(shè)集合Ax|0，集合Bx|x2|1，那么“mA”是“mB”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件解析：集合Ax|0x3，集合Bx|1x3，則由“mA”得不到“mB”，反之由“mB”也得不到“mA”，故選D.答案：D2對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c給出下列命題：“ab”是“acbc”的充要條件；“a5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件；“a>b”是“a2>b2”的充分條件；“a<5”是“a<3”的必要條件其中，真命題的序號(hào)是_解析：由ab可得acbc.但acbc時(shí)不一定有ab，故為假命題；由“a5為無理數(shù)”可得“a為無理數(shù)”，由“a為無理數(shù)”可得“a5為無理數(shù)”，為真命題；由“a>b”不能得出a2>b2，如a1，b2，為假命題；“由a<5”不能得“a<3”，而由“a<3”可得“a<5”，為真命題答案：3指出下列各組命題中p是q的什么條件，q是p的什么條件，并說明理由(1)p：|x|y|，q：xy；(2)在ABC中，p：sin A，q：A.解：(1)因?yàn)閨x|y|xy或xy，但xy|x|y|，所以p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件(2)因?yàn)?A時(shí)，sin A(0,1，且A(0，時(shí)，sin A單調(diào)遞增，A，)時(shí)，sin A單調(diào)遞減，所以sin AA，但A/ sin A.所以p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.充要條件的證明和求解例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snpnq(p0且p1)，求證：數(shù)列an為等比數(shù)列的充要條件為q1.思路點(diǎn)撥本題可分充分性和必要性兩種情況證明，即由q1推證數(shù)列an為等比數(shù)列和由數(shù)列an滿足Snpnq(p0且p1)為等比數(shù)列推證q1.精解詳析(充分性)當(dāng)q1時(shí)，a1S1p1；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1pn1(p1)，且n1時(shí)也成立于是p(p0且p1)，即an為等比數(shù)列(必要性)當(dāng)n1時(shí)，a1S1pq；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1pn1(p1)因?yàn)閜0且p1，所以當(dāng)n2時(shí)，p，可知等比數(shù)列an的公比為p.故p，即p1pq，求得q1.綜上可知，q1是數(shù)列an為等比數(shù)列的充要條件一點(diǎn)通充要條件的證明問題，要證明兩個(gè)方面，一是充分性，二是必要性為此必須要搞清條件，在“A是B的充要條件”中，AB是充分性，BA是必要性；在“A的充要條件是B”中，AB是必要性，BA是充分性4不等式x2ax1>0的解集為R的充要條件是_解析：若x2ax1>0的解集為R，則a24<0，即2<a<2.又當(dāng)a(2,2)時(shí)，<0，可得x2ax1>0的解集為R，故不等式x2ax1>0的解集為R的充要條件是2<a<2.答案：2<a<25等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a，公差為d，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列Sn為遞增數(shù)列的充要條件是_解析：由Sn1Sn(nN)(n1)adnad(nN)dna0(nN)d0且da0.因此數(shù)列Sn為遞增數(shù)列的充要條件是d0且da0.答案：d0且da06求證：關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個(gè)根為1的充要條件是abc0.證明：先證必要性：方程ax2bxc0有一個(gè)根為1，x1滿足方程ax2bxc0.a×12b×1c0，即abc0.必要性成立再證充分性：abc0，cab.代入方程ax2bxc0中可得：ax2bxab0，即(x1)(axba)0.故方程ax2bxc0有一個(gè)根為1.故關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個(gè)根為1的充要條件是abc0.充分條件、必要條件的應(yīng)用例3已知p：關(guān)于x的不等式x，q：x(x3)0，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍思路點(diǎn)撥求出q對(duì)應(yīng)的集合，然后把問題轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系求解精解詳析記Ax|x，Bx|x(x3)0x|0x3，若p是q的充分不必要條件，則AB.注意到Bx|0x3，分兩種情況討論：(1)若A，即，解得m0，此時(shí)AB，符合題意；(2)若A，即，解得m0，要使AB，應(yīng)有綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，3)一點(diǎn)通將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，是解決該類問題的一種有效的方法，關(guān)鍵是準(zhǔn)確把p，q用集合表示，借助數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合的方法建立方程或不等式，求參數(shù)的范圍7已知條件p：x2x60，條件q：mx10(m0)，且q是p的充分不必要條件，求m的值解：解x2x60得x2或x3，令A(yù)2，3，B，q是p的充分不必要條件，B A.當(dāng)2時(shí)，m；當(dāng)3時(shí)，m.所以m或m.8已知Mx|(xa)2<1，Nx|x25x24<0，若xM是xN的充分條件，求a的取值范圍解：由(xa)2<1得x22ax(a1)(a1)<0，a1<x<a1，Mx|a1<x<a1又由x25x24<0得3<x<8，Nx|3<x<8xM是xN的充分條件，MN，解得2a7.故a的取值范圍是2,71充分必要條件與四種命題之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(1)若p是q的充分條件，則原命題“若p，則q”及它的逆否命題都是真命題；(2)若p是q的必要條件，則逆命題及否命題為真命題；(3)若p是q的充要條件，則四種命題均為真命題2涉及利用充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍時(shí)，常利用命題的等價(jià)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從集合的包含、相等關(guān)系上來考慮制約關(guān)系 1“1x2”是“x2”成立的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：當(dāng)1x2時(shí)，必有x2；而x2時(shí)，如x0，推不出1x2，所以“1x2”是“x2”的充分不必要條件答案：A2函數(shù)f(x)x2mx1的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱的充要條件是()Am2 Bm2Cm1 Dm1解析：函數(shù)f(x)x2mx1的圖像關(guān)于x1對(duì)稱1m2.答案：A3已知命題p：“a，b，c成等差數(shù)列”，命題q：“2”，則命題p是命題q的()A必要不充分條件 B充分不必要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：若2，則ac2b，由此可得a，b，c成等差數(shù)列；當(dāng)a，b，c成等差數(shù)列時(shí)，可得ac2b，但不一定得出2，如a1，b0，c1.所以命題p是命題q的必要不充分條件，故選A.答案：A4“a3”是“函數(shù)f(x)ax2在區(qū)間1,2上存在零點(diǎn)”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：當(dāng)a3時(shí)，f(1)f(2)(a2)(2a2)0，即函數(shù)f(x)ax2在區(qū)間1,2上存在零點(diǎn)；但當(dāng)函數(shù)f(x)ax2在區(qū)間1,2上存在零點(diǎn)；不一定是a3，如當(dāng)a3時(shí)，函數(shù)f(x)ax23x2在區(qū)間1,2上存在零點(diǎn)所以“a3”是“函數(shù)f(x)ax2在區(qū)間1,2上存在零點(diǎn)”的充分不必要條件，故選A.答案：A5直線l：xym0與圓C：(x1)2y22有公共點(diǎn)的充要條件是_解析：直線l與圓C有公共點(diǎn)|m1|21m3.答案：m1,36在下列各項(xiàng)中選擇一項(xiàng)填空：充分不必要條件必要不充分條件充要條件既不充分也不必要條件(1)記集合A1，p,2，B2,3，則“p3”是“ABB”的_；(2)“a1”是“函數(shù)f(x)|2xa|在區(qū)間上為增函數(shù)”的_解析：(1)當(dāng)p3時(shí)，A1,2,3，此時(shí)ABB；若ABB，則必有p3.因此“p3”是“ABB”的充要條件(2)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|2xa|2x1|在上是增函數(shù)；但由f(x)|2xa|在區(qū)間，)上是增函數(shù)不能得到a1，如當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)|2xa|2x|在區(qū)間上是增函數(shù)因此“a1”是“函數(shù)f(x)|2xa|在區(qū)間，)上為增函數(shù)”的充分不必要條件答案：(1)(2)7指出下列各組命題中，p是q的什么條件(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分也不必要條件)?(1)p：ABC中，b2a2c2，q：ABC為鈍角三角形；(2)p：ABC有兩個(gè)角相等，q：ABC是正三角形；(3)若a，bR，p：a2b20，q：ab0；(4)p：ABC中，A30°，q：sin A.解：(1)ABC中，b2a2c2，cos B0，B為鈍角，即ABC為鈍角三角形，反之若ABC為鈍角三角形，B可能為銳角，這時(shí)b2a2c2.pq，q/ p，故p是q的充分不必要條件(2)有兩個(gè)角相等不一定是等邊三角形，反之一定成立，p/ q，qp，故p是q的必要不充分條件(3)若a2b20，則ab0，故pq；若ab0，則a2b20，即qp，所以p是q的充要條件(4)轉(zhuǎn)化為ABC中sin A是A30°的什么條件A30°sin A，但是sin A/ A30°，ABC中sin A是A30°的必要不充分條件即p是q的必要不充分條件8求方程ax22x10有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根的充要條件解：當(dāng)a0時(shí)，方程為一元一次方程，其根為x，不符合要求；當(dāng)a0時(shí)，方程ax22x10為一元二次方程，有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根的充要條件為解得0<a<1.所以ax22x10有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根的充要條件是0<a<1.9