2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 4 簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題學(xué)案 北師大版選修2-3

4 簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解和掌握分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.進(jìn)一步深化排列與組合的概念.3.能綜合運(yùn)用排列、組合解決計(jì)數(shù)問(wèn)題 知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1分類加法計(jì)數(shù)原理(加法原理)完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，在第n類辦法中有mn種方法，那么，完成這件事共有N_種方法2分步乘法計(jì)數(shù)原理(乘法原理)完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，做第n步有mn種方法，那么，完成這件事共有N_種方法3分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)它們的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成. 知識(shí)點(diǎn)二排列1排列從n個(gè)_的元素中取出m(mn)個(gè)元素，按照一定的_排成一列，叫作從n個(gè)不同的元素中任意取出m個(gè)元素的一個(gè)排列2排列數(shù)排列數(shù)定義及表示從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作_排列數(shù)公式乘積式A_階乘式A_排列數(shù)的性質(zhì)A_；A_，0！1知識(shí)點(diǎn)三組合1組合一般地，從n個(gè)不同的元素中，任取m(mn)個(gè)元素為一組，叫作從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2組合數(shù)(1)組合數(shù)定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的_，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)_表示(2)組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式C_階乘形式C備注n，mN，且mn，規(guī)定C_特別提醒：1.排列組合綜合題的一般解法一般堅(jiān)持先組后排的原則，即先選元素后排列，同時(shí)注意按元素性質(zhì)分類或按事件的發(fā)生過(guò)程分類2解決有限制條件的排列、組合問(wèn)題的一般策略(1)特殊元素優(yōu)先安排的策略(2)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略(3)相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略(4)不相鄰問(wèn)題插空處理的策略(5)定序問(wèn)題除法處理的策略(6)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略(7)平均分組問(wèn)題，除法處理的策略(8)構(gòu)造模型的策略類型一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用命題角度1“類中有步”的計(jì)數(shù)問(wèn)題例1電視臺(tái)在某節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中存放著先后兩次競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來(lái)信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾，若先確定一名幸運(yùn)之星，再?gòu)膬尚畔渲懈鞔_定一名幸運(yùn)伙伴，有_種不同的結(jié)果反思與感悟用流程圖描述計(jì)數(shù)問(wèn)題，類中有步的情形如圖所示：具體意義如下：從A到B算作一件事的完成，完成這件事有兩類辦法，在第1類辦法中有3步，在第2類辦法中有2步，每步的方法數(shù)如圖所示所以，完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3m4m5，“類”與“步”可進(jìn)一步地理解為：“類”用“”號(hào)連接，“步”用“×”號(hào)連接，“類”獨(dú)立，“步”連續(xù)，“類”標(biāo)志一件事的完成，“步”缺一不可跟蹤訓(xùn)練1現(xiàn)有4種不同顏色，要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有() A24種 B30種 C36種 D48種命題角度2“步中有類”的計(jì)數(shù)問(wèn)題例2有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺(tái)階”五個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，每位同學(xué)上、下午各測(cè)試一個(gè)項(xiàng)目，且不重復(fù)若上午不測(cè)“握力”項(xiàng)目，下午不測(cè)“臺(tái)階”項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上、下午都各測(cè)一人，則不同的安排方式共有_種(用數(shù)字作答)反思與感悟用流程圖描述計(jì)數(shù)問(wèn)題，步中有類的情形如圖所示：從計(jì)數(shù)的角度看，由A到D算作完成一件事，可簡(jiǎn)單地記為AD.完成AD這件事，需要經(jīng)歷三步，即AB，BC，CD.其中BC這步又分為三類，這就是步中有類其中mi(i1,2,3,4,5)表示相應(yīng)步的方法數(shù)完成AD這件事的方法數(shù)為m1(m2m3m4)m5.以上給出了處理步中有類問(wèn)題的一般方法跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，使電路接通，開(kāi)關(guān)不同的開(kāi)閉方式共有()A11 B12 C20 D21類型二排列與組合的綜合應(yīng)用命題角度1不同元素的排列、組合問(wèn)題例3有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有多少種？反思與感悟(1)解排列、組合綜合問(wèn)題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來(lái)，再對(duì)元素或位置進(jìn)行排列(2)解排列、組合綜合問(wèn)題時(shí)的注意點(diǎn)元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無(wú)序的問(wèn)題是組合問(wèn)題，有序的問(wèn)題是排列問(wèn)題對(duì)于有多個(gè)限制條件的復(fù)雜問(wèn)題，應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合綜合問(wèn)題的一般方法跟蹤訓(xùn)練3從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？命題角度2含有相同元素的排列、組合問(wèn)題例4今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列，有_種不同的方法反思與感悟針對(duì)對(duì)部分元素相同的n個(gè)不同元素進(jìn)行排列的問(wèn)題，有兩種解決方法：(1)先把這些元素看作全不相同的元素進(jìn)行排列，再設(shè)法消去相同元素的順序(2)從位置進(jìn)行分析，因?yàn)槲恢萌幌嗤?，可以分別給相同的每一類元素找位置跟蹤訓(xùn)練4為減輕學(xué)生經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)且又能滿足學(xué)生求知要求，某班級(jí)利用班費(fèi)買了4本相同的數(shù)學(xué)資料書、3本相同的外語(yǔ)資料書、2本相同的物理資料書作為班級(jí)圖書供同學(xué)們學(xué)習(xí)使用現(xiàn)有8人去借閱圖書，每人只能借閱一本，則有多少種借閱方法？1李芳有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有兩套不同樣式的連衣裙“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則李芳的不同的選擇方式有()A24種 B14種C10種 D9種2設(shè)4名學(xué)生報(bào)名參加同一時(shí)間安排的3項(xiàng)課外活動(dòng)的可能結(jié)果有a種，這4名學(xué)生在運(yùn)動(dòng)會(huì)上共同爭(zhēng)奪100米、跳遠(yuǎn)、鉛球3項(xiàng)比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種，則(a，b)為()A(34,34) B(43,34)C(34,43) D(A，A)3三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小，則稱這個(gè)數(shù)為凹數(shù)，如524,746等都是凹數(shù)，那么，各個(gè)數(shù)位上無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位凹數(shù)有()A72個(gè) B120個(gè)C240個(gè) D360個(gè)4某電視臺(tái)連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中有3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是公益宣傳廣告，且2個(gè)公益宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有_種5已知xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，則滿足x1x2x3x4x5x62的數(shù)組(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的個(gè)數(shù)為_(kāi)1解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理作最后處理2對(duì)于較難直接解決的問(wèn)題則可用間接法，但應(yīng)做到不重不漏3對(duì)于分配問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對(duì)于平均分組問(wèn)題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏答案精析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一1m1m2mn2m1×m2××mn知識(shí)點(diǎn)二1不同順序2An(n1)(n2)(nm1)(n，mN，mn)n！1知識(shí)點(diǎn)三2(1)所有組合的個(gè)數(shù)C(2)1題型探究例128 800解析在甲箱或乙箱中抽取幸運(yùn)之星，決定了后邊選幸運(yùn)伙伴是不同的，故要分兩類分別計(jì)算：(1)幸運(yùn)之星在甲箱中抽，先確定幸運(yùn)之星，再在兩箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴，有30×29×2017 400(種)結(jié)果；(2)幸運(yùn)之星在乙箱中抽，同理有20×19×3011 400(種)結(jié)果因此共有17 40011 40028 800(種)不同結(jié)果跟蹤訓(xùn)練1D例2264跟蹤訓(xùn)練2D例3解分三類：第一類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4時(shí)，不同的排法有C·C·C·C·A種第二類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,1,4,4時(shí)，不同的排法有C·C·A種第三類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字2,2,3,3時(shí)，不同的排法有C·C·A種故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)為C·C·C·C·A2C·C·A432.跟蹤訓(xùn)練3解(1)五位數(shù)中不含數(shù)字0.第1步，選出5個(gè)數(shù)字，共有CC種選法第2步，排成偶數(shù)先排末位數(shù)，有A種排法，再排其他四位數(shù)字，有A種排法所以N1C·C·A·A.(2)五位數(shù)中含有數(shù)字0.第1步，選出5個(gè)數(shù)字，共有C·C種選法第2步，排順序又可分為兩小類：末位排0，有A·A種排列方法；末位不排0.這時(shí)末位數(shù)有C種選法，而因?yàn)?不能排在首位，所以首位有A種排法，其余3個(gè)數(shù)字則有A種排法所以N2C·C(A·AA·A)所以符合條件的偶數(shù)個(gè)數(shù)為NN1N2CCAACC(AAAA)4 560.例41 260跟蹤訓(xùn)練4解第一類：剩下的一本書是數(shù)學(xué)資料書，此時(shí)相當(dāng)于把8個(gè)人分成個(gè)數(shù)分別為3,3,2的三堆，這三堆分別借閱數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理資料書，其借法共有CCC560(種)第二類：剩下的一本書是外語(yǔ)資料書，此時(shí)相當(dāng)于把8個(gè)人分成個(gè)數(shù)分別為4,2,2的三堆，這三堆分別借閱數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理資料書，其借法共有CCC420(種)第三類：剩下的一本書是物理資料書，此時(shí)相當(dāng)于把8個(gè)人分成個(gè)數(shù)分別為4,3,1的三堆，這三堆分別借閱數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理資料書，其借法共有CCC280(種)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可得借閱方法共有5604202801 260(種)當(dāng)堂訓(xùn)練1B2.C3.C4.365.907