2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 4 用向量討論垂直與平行（一）學(xué)案 北師大版選修2-1

4 用向量討論垂直與平行（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會用待定系數(shù)法求平面的法向量.2.能用向量法證明直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行問題.知識點(diǎn)一空間中平行關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為，v，則線線平行l(wèi)m_akb(kR)線面平行l(wèi)a_面面平行v_知識點(diǎn)二利用空間向量處理平行問題思考(1)設(shè)v1(a1，b1，c1)，v2(a2，b2，c2)分別是直線l1，l2的方向向量.若直線l1l2，則向量v1，v2應(yīng)滿足什么關(guān)系.(2)若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行？(3)用向量法處理空間中兩平面平行的關(guān)鍵是什么？梳理利用空間向量解決平行問題時，第一，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第二，通過向量的運(yùn)算，研究平行問題；第三，把向量問題再轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的立體幾何問題，從而得出結(jié)論.類型一求直線的方向向量、平面的法向量例1如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).ABAP1，AD，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個法向量. 引申探究若本例條件不變，試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量.反思與感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為n(x，y，z).(2)選向量：在平面內(nèi)選取兩個不共線向量，.(3)列方程組：由列出方程組.(4)解方程組：(5)賦非零值：取其中一個為非零值(常取±1).(6)得結(jié)論：得到平面的一個法向量.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB平面ABCD，PAB是邊長為1的正三角形，ABCD是菱形.ABC60°，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面DEF的法向量. 類型二利用空間向量證明平行問題例2已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點(diǎn)，求證：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.反思與感悟利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關(guān)系證明平行問題.跟蹤訓(xùn)練2如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，ABCBAD90°，PABCAD1，問在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使CE平面PAB？若存在，求出E點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由. 1.若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為()A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)2.已知直線l1的方向向量為a(2，3,5)，直線l2的方向向量為b(4，x，y)，若l1l2，則x，y的值分別是()A.6和10 B.6和10 C.6和10 D.6和103.若(2，3,1)是平面的一個法向量，則下列向量中能作為平面的法向量的是()A.(0，3,1) B.(2,0,1) C.(2，3,1) D.(2,3，1)4.若直線l，且l的方向向量為(2，m,1)，平面的法向量為，則m為()A.4 B.6 C.8 D.85.在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一個法向量為_.1.應(yīng)用向量法證明線面平行問題的方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線.(3)證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任兩個不共線的向量表示.即用平面向量基本定理證明線面平行.2.證明面面平行的方法設(shè)平面的法向量為n1(a1，b1，c1)，平面的法向量為n2(a2，b2，c2)，則n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR).提醒：完成作業(yè)第二章§4(一)答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一aba·0kv(kR)知識點(diǎn)二思考(1)由直線方向向量的定義知，若直線l1l2，則直線l1，l2的方向向量共線，即l1l2v1v2v1v2(R).(2) 可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直，進(jìn)而確定線面是否平行.(3)關(guān)鍵是找到兩個平面的法向量，利用法向量平行來說明兩平面平行.題型探究例1解因?yàn)镻A平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0)，E(0，)，B(1,0,0)，C(1，0)，于是(0，)，(1，0).設(shè)n(x，y，z)為平面ACE的法向量，則即所以令y1，則xz.所以平面ACE的一個法向量為n(，1，).引申探究解如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,1)，C(1，0)，所以(1，1)，即為直線PC的一個方向向量.設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z).因?yàn)镈(0，0)，所以(0，1).由即所以令y1，則z.所以平面PCD的一個法向量為n(0,1，).跟蹤訓(xùn)練1解因?yàn)镻APB，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，所以PFAB.又因?yàn)槠矫鍼AB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PF平面PAB，所以PF平面ABCD，因?yàn)锳BBC，ABC60°，所以ABC是等邊三角形，所以CFAB.以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).由題意得F(0,0,0)，P(0,0，)，D(1，0)，C(0，0)，E(0，).所以(0，)，(1，0).設(shè)平面DEF的法向量為m(x，y，z).則即所以令y2，則x，z2.所以平面DEF的一個法向量為m(，2，2).例2證明(1)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1).設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1，n1，即得令z12，則y11，所以n1(0，1,2).因?yàn)?#183;n1220，所以n1.又因?yàn)镕C1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因?yàn)?2,0,0)，設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量.由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因?yàn)閚1n2，所以平面ADE平面B1C1F.跟蹤訓(xùn)練2解分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0).設(shè)E(0，y，z)，則(0，y，z1)，(0,2，1).，y(1)2(z1)0.(0,2,0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，CE平面PAB，(1，y1，z)·(0,2,0)0，y1，代入得z，E是PD的中點(diǎn)，存在E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E為PD中點(diǎn)時，CE平面PAB.當(dāng)堂訓(xùn)練1.A2.A3.D4.C5.(1,1,1)(答案不唯一)8