2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題12 空間的平行與垂直教學(xué)案 理

專題12 空間的平行與垂直 1．以選擇、填空題形式考查空間位置關(guān)系的判斷，及文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，難度適中； 2.以客觀題形式考查有關(guān)線面平行、垂直等位置關(guān)系的命題真假判斷或充要條件判斷等． 3.以多面體或旋轉(zhuǎn)體為載體(棱錐、棱柱為主)命制空間線面平行、垂直各種位置關(guān)系的證明題或探索性問(wèn)題，以大題形式呈現(xiàn)． 1．點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 (1)平面的基本性質(zhì) 名稱 圖形 文字語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) ?l?α 公理2 過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面 若A、B、C三點(diǎn)不共線，則A、B、C在同一平面α內(nèi)且α是唯一的． 公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線. 平面α與β不重合，若P∈α，且P∈β，則α∩β＝a，且P∈a (2)平行公理、等角定理 公理4：若a∥c，b∥c，則a∥b. 等角定理：若OA∥O1A1，OB∥O1B1，則∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°. 2．直線、平面的平行與垂直 定理名稱 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 線面平行的判定定理 平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與此平面平行 ?a∥α 線面平行的性質(zhì)定理 一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任何一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行 a∥α，a?β，α∩β＝b，?a∥b 面面平行的判定定理 如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行 a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β 面面平行的性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行 α∥β且γ∩α＝a且γ∩β＝b?a∥b 線面垂直的判定定理 一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 a?α，b?α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b?l⊥α 線面垂直的性質(zhì)定理 垂直于同一平面的兩條直線平行 a⊥α，b⊥α?a∥b 面面垂直的判定定理 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直 a⊥α，a?β，?α⊥β 面面垂直的性質(zhì)定理 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直 α⊥β，b∈β，α∩β＝a，b⊥a?b⊥α 3.熟練掌握常見(jiàn)幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)的幾何特征，明確各種幾何體的直觀圖與三視圖特征及相關(guān)面積體積的計(jì)算公式，熟練掌握線線、線面、面面平行與垂直等位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理及公理，熟練進(jìn)行線線、線面、面面平行與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是解答相關(guān)幾何題的基礎(chǔ). 【誤區(qū)警示】 1．應(yīng)用線面、面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理時(shí)，必須按照定理的要求找足條件． 2．作輔助線(面)是立體幾何證題中常用技巧，作圖時(shí)要依據(jù)題設(shè)條件和待求(證)結(jié)論之間的關(guān)系結(jié)合有關(guān)定理作圖．注意線線、線面、面面平行與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化． 3．若a、b、c代表直線或平面，△代表平行或垂直，在形如?b△c的命題中，要切實(shí)弄清有哪些是成立的，有哪些是不成立的．例如a、b、c中有兩個(gè)為平面，一條為直線，命題?α∥β是成立的.?α∥β是不成立的． 考點(diǎn)一　空間中點(diǎn)、線、面的位置 例1．已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 答案　D 【變式探究】已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，n?α，則m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α 答案　B 考點(diǎn)二　空間中平行的判定與垂直 例2．【2017江蘇，15】 如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD， BC⊥BD， 平面ABD⊥平面BCD， 點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC. (第15題) A D B C E F 【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析 【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD， ，所以. 又因?yàn)槠矫鍭BC， 平面ABC，所以EF∥平面ABC. （2）因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD， 平面平面BCD=BD， 平面BCD， ， 所以平面. 因?yàn)槠矫?，所?. 又AB⊥AD， ， 平面ABC， 平面ABC， 所以AD⊥平面ABC， 又因?yàn)锳C平面ABC， 所以AD⊥AC. 【變式探究】【2016高考江蘇卷】(本小題滿分14分) 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且 ，. 求證：（1）直線DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析 （2）在直三棱柱中， 因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)? 所以平面 因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)? 所以 因?yàn)橹本€，所以 【變式探究】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E. 求證：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 因?yàn)锳C，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC. 又因?yàn)锳B1?平面B1AC， 所以BC1⊥AB1. 【舉一反三】【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，，交于點(diǎn)．將沿折到位置，． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）. 【變式探究】如圖，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角為α，則(　　) A．∠A′DB≤α 　　　 B．∠A′DB≥α C．∠A′CB≤α 　　　 D．∠A′CB≥α 解析　極限思想：若α＝π，則∠A′CB＜π，排除D；若α＝0，如圖，則∠A′DB，∠A′CB都可以大于0，排除A，C.故選B. 答案　B 考點(diǎn)三 平面圖形的折疊問(wèn)題 例 3、(2016·全國(guó)甲卷)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置． (1)證明：AC⊥HD′； (2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱錐D′－ABCFE的體積． 由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H， 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′. 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以O(shè)D′⊥平面ABC. 又由＝得EF＝. 五邊形ABCFE的面積S＝×6×8－××3＝. 所以五棱錐D′－ABCFE的體積V＝××2＝. 【方法技巧】 　平面圖形翻折問(wèn)題的求解方法 (1)解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長(zhǎng)度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口． (2)在解決問(wèn)題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形． 【變式探究】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，BD與EF交于點(diǎn)H，點(diǎn)G，R分別在線段DH，HB上，且＝.將△AED，△CFD，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使點(diǎn)A，B，C重合于點(diǎn)P，如圖2所示． (1)求證：GR⊥平面PEF； (2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求三棱錐P－DEF的內(nèi)切球的半徑． (2)正方形ABCD邊長(zhǎng)為4. 由題意知，PE＝PF＝2，PD＝4，EF＝2，DF＝2. ∴S△PEF＝2，S△DPF＝S△DPE＝4. S△DEF＝×2×＝6. 設(shè)三棱錐P－DEF內(nèi)切球的半徑為r， 則三棱錐的體積VP－DEF＝××2×2×4＝(S△PEF＋2S△DPF＋S△DEF)·r，解得r＝. ∴三棱錐P－DEF的內(nèi)切球的半徑為. 1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　) A B C D 答案：A 2．(2017·山東卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱錐C1－B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E⊥平面ABCD. (1)證明：A1O∥平面B1CD1； (2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1. 證明：(1)取B1D1的中點(diǎn)O1，連接CO1，A1O1， 由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC， 因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C. 又O1C?平面B1CD1，A1O?平面B1CD1， 所以A1O∥平面B1CD1. 3.【2017江蘇，15】 如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD， BC⊥BD， 平面ABD⊥平面BCD， 點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC. (第15題) A D B C E F 【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析 【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD， ，所以. 又因?yàn)槠矫鍭BC， 平面ABC，所以EF∥平面ABC. 1.【2016高考浙江理數(shù)】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足 則（ ） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【答案】C 【解析】由題意知，．故選C． 2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】 是兩個(gè)平面，是兩條直線，有下列四個(gè)命題： （1）如果，那么. （2）如果，那么. （3）如果，那么. （4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等. 其中正確的命題有 ． (填寫所有正確命題的編號(hào)） 【答案】②③④ 【解析】對(duì)于①，，則的位置關(guān)系無(wú)法確定，故錯(cuò)誤；對(duì)于②,因?yàn)?，所以過(guò)直線作平面與平面相交于直線，則，因?yàn)?，故②正確；對(duì)于③，由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確；對(duì)于④，由線面所成角的定義和等角定理可知其正確，故正確的有②③④. 3.【2016高考浙江理數(shù)】如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是 . 【答案】 在中，，. 由余弦定理可得，所以. 由此可得，將ABD沿BD翻折后可與PBD重合，無(wú)論點(diǎn)D在任何位置，只要點(diǎn)D的位置確定，當(dāng)平面PBD⊥平面BDC時(shí)，四面體PBCD的體積最大（欲求最大值可不考慮不垂直的情況）. 過(guò)作直線的垂線，垂足為.設(shè)，則， 即，解得. 而的面積. 當(dāng)平面PBD⊥平面BDC時(shí)： 四面體的體積. 觀察上式，易得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，取得最小值，故當(dāng)時(shí)，四面體的體積最大，為 4.【2016高考新課標(biāo)1卷】平面過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,則m、n所成角的正弦值為 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 5.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若，，，，則的最大值是（ ） （A）4π （B） （C）6π （D） 【答案】B 6.【2016高考天津理數(shù)】已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單 位：m），則該四棱錐的體積為_______m3. 【答案】2 【解析】由三視圖知四棱錐高為3，底面平行四邊形的一邊長(zhǎng)為2，其對(duì)應(yīng)的高為1， 因此所求四棱錐的體積．故答案為2． 1.【2015高考浙江，理8】如圖，已知，是的中點(diǎn)，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 在中，， 在中， ， ∵，，∴（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）， ∵，，而在上為遞減函數(shù)，∴，故選B. 【考點(diǎn)定位】立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 2.【2015高考湖南，理10】某工件的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工件通過(guò)切割，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=）（ ） A. B. C. D. 【答案】A. ，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)利用率為，故選A. 【考點(diǎn)定位】1.圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體；2.基本不等式求最值. 3.【2015高考福建，理7】若 是兩條不同的直線， 垂直于平面 ，則“ ”是“ 的 （ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 4.【2015高考四川，理14】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 . 【答案】 【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，則.設(shè)，則，由于異面直線所成角的范圍為，所以 5.【2015高考浙江，理13】如圖，三棱錐中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線，所成的角的余弦值是 ． 【答案】. 6.【2015高考新課標(biāo)2，理19】（本題滿分12分） 如圖，長(zhǎng)方體中,，，，點(diǎn)，分別在，上，．過(guò)點(diǎn)，的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形． D D1 C1 A1 E F A B C B1 （Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說(shuō)出畫法和理由）； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）． 7.【2015江蘇高考，16】（本題滿分14分） 如圖，在直三棱柱中，已知，，設(shè)的中點(diǎn)為，.求證：（1）； （2）. A B C D E A1 B1 C1 【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析 【解析】（1）由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面為平行四邊形,因此點(diǎn)為的中點(diǎn)，從而由三角形中位線性質(zhì)得，再由線面平行判定定理得（2）因?yàn)橹比庵校詡?cè)面為正方形，因此，又，（可由直三棱柱推導(dǎo)），因此由線面垂直判定定理得,從而，再由線面垂直判定定理得,進(jìn)而可得 試題解析：（1）由題意知，為的中點(diǎn)， 又為的中點(diǎn)，因此． 又因?yàn)槠矫?，平面? 所以平面． 又因?yàn)槠矫妫裕? 8.【2015高考浙江，理17】如圖，在三棱柱-中，，，，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn). （1）證明：D平面； （2）求二面角-BD-的平面角的余弦值. 【答案】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，由題意得平面，∴，∵， ∴，故平面，由，分別，的中點(diǎn)，得且 ，從而，∴四邊形為平行四邊形，故，又∵ 平面，∴平面；（2）作，且，連結(jié)， 由，，得，由， ，得，由，得，因此為二面角 的平面角，由，，，得， ，由余弦定理得，. 1. 【2014高考安徽卷理第8題】從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為的共有（ ） A.24對(duì) B.30對(duì) C.48對(duì) D.60對(duì) 【答案】C 2. 【2014遼寧高考理第4題】已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法正確的是（ ） A．若則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則 【答案】B 【解析】若A．若則與可能平行、相交、異面，故A錯(cuò)誤； B．若，，則，顯然成立；C．若，，則或故C錯(cuò)誤；D．若，，則或或與相交. 3. 【2014四川高考理第8題】如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 4. 【2014高考湖南理第19題】如圖6,四棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等,,四邊形和四邊形為矩形. (1)證明:底面; (2)若,求二面角的余弦值. 【答案】(1) 詳見(jiàn)解析 (2) 【解析】 (1)證明:四棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等 四邊形和四邊形均為菱形 分別為中點(diǎn) 四邊形和四邊形為矩形 且 又且底面 底面. 又且,面 面 又面 又且,面 面 為二面角的平面角,則 且四邊形為菱形 ,, 則 再由的勾股定理可得, 則,所以二面角的余弦值為. 所以,,故二面角的余弦值為. 【考點(diǎn)定位】線面垂直、二面角、勾股定理 。 5、【2014高考江蘇第16題】如圖在三棱錐中，分別為棱的中點(diǎn)，已知， 求證（1）直線平面； （2）平面平面 【答案】證明見(jiàn)解析． 30