2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教B版必修2

第一章 立體幾何初步1學(xué)習(xí)空間幾何體要“三會(huì)”一、會(huì)辨別例1下列說(shuō)法：一個(gè)幾何體有五個(gè)面，則該幾何體可能是球、棱錐、棱臺(tái)、棱柱；若一個(gè)幾何體有兩個(gè)面平行，且其余各面均為梯形，則它一定是棱臺(tái)；直角三角形繞其任意一條邊旋轉(zhuǎn)一周都可以圍成圓錐其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為_分析可根據(jù)柱體、錐體、臺(tái)體和球體的概念進(jìn)行判斷解析一個(gè)幾何體有五個(gè)面，可能是四棱錐、三棱臺(tái)，也可能是三棱柱，但不可能是球，所以錯(cuò)；由于棱臺(tái)的側(cè)棱是原棱錐側(cè)棱的一部分，所以棱臺(tái)的各側(cè)棱的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，而中的幾何體其側(cè)棱延長(zhǎng)線并不一定會(huì)交于一點(diǎn)，所以錯(cuò)；中如繞直角邊旋轉(zhuǎn)可以形成圓錐，但繞斜邊旋轉(zhuǎn)形成的是由兩個(gè)圓錐組成的組合體，所以錯(cuò)故填0.答案0評(píng)注要準(zhǔn)確辨別各種幾何體，可從軸、側(cè)面、底面、母線、平行于底面的截面等方面入手，當(dāng)然掌握定義是大前提二、會(huì)折展例2紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標(biāo)“”的面的方位是_分析將平面展開圖按要求折疊成正方體，根據(jù)方位判斷即可解析將平面展開圖折疊成正方體，如圖所示，標(biāo)“”的面的方位應(yīng)為北故填北答案北評(píng)注將空間幾何體展開成平面圖形，或?qū)⒄归_圖折疊成空間幾何體，在后面的計(jì)算或證明中經(jīng)常用到，應(yīng)引起重視解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是充分發(fā)揮空間想象能力或親自動(dòng)手制作模型進(jìn)行實(shí)踐三、會(huì)割補(bǔ)例3如圖所示是一個(gè)三棱臺(tái)ABCA1B1C1.試用一個(gè)平面把這個(gè)三棱臺(tái)分成一個(gè)三棱柱和一個(gè)多面體，并用字母表示分析三棱柱要求兩個(gè)底面為平行且全等的三角形，其余三個(gè)面為四邊形，且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行解作A1DBB1，C1EBB1，連接DE，則三棱柱為A1B1C1DBE，多面體為ADECC1A1(如圖所示)評(píng)注正確理解各類幾何體的概念是將幾何體進(jìn)行割補(bǔ)的前提，在后面的空間幾何體的體積或面積計(jì)算中經(jīng)常要通過(guò)線、面，將不規(guī)則的幾何體通過(guò)割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體，從而可以利用公式求解2三視圖易錯(cuò)點(diǎn)剖析一、棱錐的視圖易出錯(cuò)我們?cè)诋嬚忮F、正四棱錐時(shí)要注意從不同角度得到的三視圖實(shí)際上，在上述幾何體的三視圖中，左視圖最容易出錯(cuò)，在畫這些常見錐體的三視圖時(shí)，可做出幾何體的高線，有了高線的襯托，自然就可以得到正確的三視圖如圖，對(duì)于正三棱錐PABC來(lái)說(shuō)，它的主視圖中，從前面向后面看，點(diǎn)B到了點(diǎn)D的位置，點(diǎn)P到了點(diǎn)P的位置，故主視圖為等腰三角形PAC(包含高線PD)，從左側(cè)向右側(cè)看，點(diǎn)A到了點(diǎn)D的位置，故左視圖為三角形PBD，從上面向下面看，俯視圖中，點(diǎn)P到了點(diǎn)O的位置，故俯視圖為等邊三角形ABC(外加三條線段OA、OB、OC)如圖，對(duì)于正四棱錐PABCD來(lái)說(shuō)，它的主視圖和左視圖分別為等腰三角形PEF和等腰三角形PGH，俯視圖為正方形ABCD(包含兩條對(duì)角線AC和BD)對(duì)于此三視圖，左視圖和主視圖易出錯(cuò)，但有了高線PO的襯托，便可降低出錯(cuò)率二、畫三視圖時(shí)，沒(méi)有把不可見的輪廓線用虛線表示而出錯(cuò)作幾何體的三視圖的過(guò)程中，可見的邊界輪廓線用實(shí)線表示，不可見的邊界輪廓線用虛線表示這一點(diǎn)不能忽視，否則易出錯(cuò)例1畫出如圖所示零件的三視圖錯(cuò)解如圖零件可看作是一個(gè)半圓柱、一個(gè)柱體、一個(gè)圓柱的組合，其三視圖如圖所示剖析錯(cuò)誤原因是圖中各視圖都沒(méi)有畫出中間的柱體和圓柱的交線，畫圖時(shí)應(yīng)畫出其交線正解三、不能由三視圖還原正確的直觀圖而出錯(cuò)當(dāng)已知幾何體的三視圖，而需要我們?nèi)ミ€原成直觀圖時(shí)，要充分關(guān)注圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的投影，重要的垂直關(guān)系等，綜合三個(gè)視圖，想象出直觀圖，然后畫出直觀圖，再通過(guò)已知的三視圖驗(yàn)證直觀圖的正確性例2如圖，通過(guò)三視圖還原物體的直觀圖解通過(guò)三視圖可以畫出直觀圖，如圖所示：注其中PC為垂直于底面ABCD的直線跟蹤訓(xùn)練由下面的三視圖還原物體的直觀圖解通過(guò)三視圖可以看出直觀圖如圖所示：3直觀圖與原圖形的互化知多少在高考中常借助于求平面圖或直觀圖的面積來(lái)考查斜二測(cè)畫法中角度和長(zhǎng)度的變化，也實(shí)現(xiàn)了原圖形與直觀圖的互化關(guān)于兩者的互化，關(guān)鍵是要抓住它們之間的轉(zhuǎn)化規(guī)則“斜”和“二測(cè)”“斜”也即是直角坐標(biāo)系到斜45°坐標(biāo)系之間的相互轉(zhuǎn)化，“二測(cè)”也即是兩者在轉(zhuǎn)化時(shí)，要做到“水平長(zhǎng)不變，垂直倍半化”現(xiàn)通過(guò)例題講述一下兩者之間的具體轉(zhuǎn)化策略一、原圖形到直觀圖的轉(zhuǎn)化例1已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么ABC的平面直觀圖ABC的面積為()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2分析先根據(jù)題意，在原圖形中建立平面直角坐標(biāo)系(以AB所在直線為x軸，以AB邊上的高所在直線為y軸)，然后完成由原圖形到直觀圖的轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)直觀圖ABC的邊長(zhǎng)及夾角求解解析根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，再按照斜二測(cè)畫法畫出其直觀圖，如圖所示易知，ABABa，OCOCa.作CDAB于點(diǎn)D，則CDOCa.SABCAB·CDa·aa2.答案D評(píng)注通過(guò)斜二測(cè)畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積與實(shí)物圖的面積之比為1.在求解中注意面積中的水平方向與垂直方向的選擇與定位二、直觀圖到原圖形的轉(zhuǎn)化例2用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形，得到一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方體，則原來(lái)圖形的形狀是()解析由直觀圖知，原圖形在y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)應(yīng)為2.答案A評(píng)注當(dāng)由直觀圖向原圖形轉(zhuǎn)化時(shí)，關(guān)鍵是在直觀圖中建立斜45°坐標(biāo)系，有了斜45°坐標(biāo)系，便可按“二測(cè)”的畫圖規(guī)則逆推回去，而在正方形中建立45°坐標(biāo)系是很容易的(正方形的對(duì)角線與任一邊所成的角均為45°)，從而實(shí)現(xiàn)了由直觀圖向原幾何圖形的轉(zhuǎn)化例3如圖所示，四邊形ABCD是一平面圖形水平放置的斜二測(cè)直觀圖，在斜二測(cè)直觀圖中，ABCD是一直角梯形，ABCD，ADCD，且BC與y軸平行，若AB6，DC4，AD2，則這個(gè)平面圖形的實(shí)際面積是_分析由BCx45°，先計(jì)算BC的長(zhǎng)度解析由斜二測(cè)直觀圖畫法規(guī)則知該平面圖形是梯形，且AB與CD的長(zhǎng)度不變，仍為6和4，高為4，故平面圖形的實(shí)際面積為×(64)×420.答案204柱、錐、臺(tái)的表面積求法精析由于柱、錐、臺(tái)的表面積是各個(gè)面的面積之和，因此計(jì)算的關(guān)鍵在于對(duì)幾何體各個(gè)面的正確認(rèn)識(shí)以及對(duì)表面積公式的正確運(yùn)用一、錐體的表面積例1正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為4 cm，它的側(cè)棱與高所成的角為45°，求正三棱錐的表面積分析本題的關(guān)鍵在于求正三棱錐的斜高解如圖所示，過(guò)S點(diǎn)作SO平面ABC于O點(diǎn)，則O為ABC的中心，連接AO并延長(zhǎng)與BC相交于D點(diǎn)由正三角形的性質(zhì)得D為BC的中點(diǎn)，連接SD，則SD為正三棱錐的斜高在RtASO中，ASO45°，AO×4(cm)，SOAO(cm)在RtSOD中，OD×4(cm)，故SD(cm)根據(jù)正棱錐的側(cè)面積公式：S側(cè)×3×4×4(cm2)，又ABC的面積為4 cm2，故正三棱錐的表面積為(44) cm2.評(píng)注有關(guān)棱錐、棱臺(tái)的表面積問(wèn)題，常常涉及到側(cè)棱、高、斜高、邊心距和底面外接圓半徑五個(gè)量之間的關(guān)系解決問(wèn)題時(shí)，往往把它們轉(zhuǎn)化為平面圖形，即由側(cè)棱、高、底面外接圓半徑所組成的直角三角形或由高、斜高、邊心距所組成的直角三角形，求出所需要的量，從而使問(wèn)題得以解決二、柱體的表面積例2如圖，已知直三棱柱ABCA1B1C1，其底面是等腰直角三角形，且ABBC，ACA1A2.(1)求該幾何體的表面積；(2)若把兩個(gè)這樣的直三棱柱拼成一個(gè)大棱柱，求拼得的棱柱表面積的最小值解(1)該幾何體有5個(gè)面，兩個(gè)底面的面積和為2×××2，三個(gè)側(cè)面面積和為2×(2)4(1)，故其表面積S64.(2)設(shè)兩個(gè)這樣的直三棱柱重合的面的面積為S1，則組合后的直棱柱的表面積為2S2S1，故當(dāng)且僅當(dāng)重合的面的面積最大時(shí)，拼得的棱柱的表面積最小又側(cè)面AA1C1C的面積最大，此時(shí)拼得的棱柱的表面積最小值為2S2S四邊形AA1C1C48.評(píng)注本例中(1)的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別幾何體的各個(gè)面的形狀；(2)的關(guān)鍵在于找到影響拼合后的面積變化量，當(dāng)然也可以分類討論，列舉出各種拼合的辦法，一一計(jì)算表面積，再進(jìn)行比較三、臺(tái)體的表面積例3已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為20 cm和30 cm，且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺(tái)的高分析求棱臺(tái)的側(cè)面積要注意利用公式及正棱臺(tái)中的特殊直角梯形，轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)求解所需的幾何元素解如圖所示，正三棱臺(tái)ABCA1B1C1中，O，O1分別為兩底面中心，D，D1分別為BC和B1C1中點(diǎn)，則DD1為棱臺(tái)的斜高由A1B120 cm，AB30 cm，則O1D1 cm，OD5 cm，由S側(cè)S上S下，得(2030)×3×DD1(202302)，DD1 cm.棱臺(tái)的斜高為 cm.在直角梯形O1ODD1中，O1O4(cm)棱臺(tái)的高為4 cm.評(píng)注本題的關(guān)鍵是找到正棱臺(tái)中的特殊直角梯形5空間幾何體體積的求解“三法”空間幾何體的體積公式在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，但在具體求解過(guò)程中，僅僅記住公式是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要把握?qǐng)D形的內(nèi)在因素，掌握一些常見的求解策略，靈活選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解一、直接用公式求解根據(jù)柱體、錐體、臺(tái)體、球體的體積公式，明確公式中各幾何量的值，把未知的逐個(gè)求出，再代入公式進(jìn)行求解例1已知圓錐的表面積為15 cm2，側(cè)面展開圖的圓心角為60°，求該圓錐的體積分析根據(jù)錐體的體積公式VShr2h，知應(yīng)分別求出圓錐的底面半徑和高，代入公式計(jì)算解設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，根據(jù)題意可得解得所以hr×5.所以V×2×5(cm3)評(píng)注直接利用幾何體的體積公式求體積時(shí)，需牢固掌握公式，明確各幾何量之間的關(guān)系，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算二、分割補(bǔ)形求解當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法運(yùn)用時(shí)，可以采用“分割”或“補(bǔ)形”的方法，化復(fù)雜的幾何體為簡(jiǎn)單的幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)，利用各簡(jiǎn)單幾何體的體積和或差求解例2如圖所示，在三棱臺(tái)ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱錐A1ABC、三棱錐BA1B1C、三棱錐CA1B1C1的體積之比分析如圖，三棱錐BA1B1C可以看作棱臺(tái)減去三棱錐A1ABC和三棱錐CA1B1C1后剩余的幾何體，然后相比即可解設(shè)三棱臺(tái)的高為h，SABCS，則SA1B1C14S.所以SABC·hSh， SA1B1C1·hSh.又 Sh，所以 ShShShSh.所以124.評(píng)注三棱柱、三棱臺(tái)可以分割成三個(gè)三棱錐，分割后可由錐體的體積求柱體和臺(tái)體的體積在立體幾何中，通過(guò)分割或補(bǔ)形，將原幾何體割成或補(bǔ)成較易計(jì)算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積，這是求體積的重要思路與方法三、等積轉(zhuǎn)換求解對(duì)于一個(gè)幾何體，可以從不同的角度去看待它，通過(guò)改變頂點(diǎn)和底面，利用體積不變的原理，求原幾何體的體積例3如圖所示的三棱錐OABC為長(zhǎng)方體的一角，其中OA，OB，OC兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面OAB，OAC，OBC的面積分別為1.5 cm2，1 cm2,3 cm2，求三棱錐OABC的體積分析三棱錐OABC的底面和高不易求解，可以轉(zhuǎn)換視角，將三棱錐OABC看作C為頂點(diǎn)，OAB為底面由三棱錐COAB的體積得出三棱錐OABC的體積解設(shè)OA，OB，OC的長(zhǎng)分別為x cm，y cm，z cm，則由已知可得解得于是V三棱錐OABCV三棱錐COABSOAB×OC××1×3×21(cm3)6“三共”問(wèn)題的證法精析一、證明點(diǎn)共線例1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于Q.求證：B、Q、D1共線證明D1平面ABC1D1，D1平面A1D1CB，B平面ABC1D1，B平面A1D1CB，平面ABC1D1平面A1D1CBBD1.A1C平面ABC1D1Q，且A1C平面A1D1CB，Q平面A1D1CB；而Q平面ABC1D1.Q在兩平面的交線BD1上，B、Q、D1共線評(píng)注證明點(diǎn)共線的問(wèn)題，一般可轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這樣可根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)同在兩平面的交線上二、證明線共點(diǎn)例2如圖，ABC與A1B1C1三條邊對(duì)應(yīng)平行，且兩個(gè)三角形不全等，求證：三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)分析要證三線共點(diǎn)，可證其中兩條直線有交點(diǎn)，且該交點(diǎn)在第三條直線上證明由A1B1AB，知A1B1與AB可確定平面.同理C1B1，CB和A1C1，AC可分別確定平面和.又ABC與A1B1C1不全等，則A1B1AB.若AA1，BB1的交點(diǎn)為P，則PAA1，且PBB1.又CC1，BB1，則P；AA1，則P.所以點(diǎn)P在的交線上，即PCC1，這樣點(diǎn)P在AA1，BB1，CC1上，即三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)評(píng)注解決此類問(wèn)題的一般方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證該點(diǎn)也在其他直線上三、證明線共面例3求證：兩兩相交但不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線共面分析四條直線不共點(diǎn)，但有可能三線共點(diǎn)，或沒(méi)有三線共點(diǎn)，所以應(yīng)分兩種情況加以證明證明分兩種情況證明：有三條直線過(guò)同一點(diǎn)，如圖，因?yàn)锳l4，所以過(guò)A，l4可確定平面.因?yàn)锽，C，Dl4，所以B，C，D.所以AB，AC，AD.因此四條直線l1，l2，l3，l4共面任意三條直線都不過(guò)同一點(diǎn)，如圖因?yàn)閘1l2A，所以過(guò)l1，l2可以確定平面.又因?yàn)镈，El2，B，Cl1，所以D，E，B，C.由E，B，可得BE，即l3.同理可證，l4.因此四條直線l1，l2，l3，l4共面評(píng)注證明線共面問(wèn)題，一般有兩種方法：一是先由兩條直線確定一個(gè)平面，再證明第三條直線在這個(gè)平面內(nèi)；二是由其中兩條直線確定一個(gè)平面，另兩條直線確定一個(gè)平面，再證，重合，從而三線共面7平行問(wèn)題證明的三個(gè)突破口一、由中點(diǎn)聯(lián)想三角形的中位線，尋找平行關(guān)系例1如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，E是CD1的中點(diǎn)，求證：AD1平面BDE.分析要在平面BDE內(nèi)尋找與AD1平行的直線，由條件E是CD1的中點(diǎn)，易想到利用三角形的中位線來(lái)尋找由于底面ABCD是平行四邊形，其對(duì)角線的交點(diǎn)就是AC的中點(diǎn)，這樣就找到了中位線，從而問(wèn)題就解決了證明連接AC，與BD交于點(diǎn)O.因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)連接OE，由于E是CD1的中點(diǎn)，所以O(shè)E是AD1C的中位線所以O(shè)EAD1.又OE平面BDE，AD1平面BDE，所以AD1平面BDE.評(píng)注運(yùn)用直線與平面平行的判定定理證明線面平行時(shí)，不能忽視限制條件：一條直線在平面內(nèi)，一條直線在平面外，如本題中OE平面BDE，AD1平面BDE，否則證明不完善二、由平行四邊形尋找平行關(guān)系例2如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CMDN，求證：MN平面ABB1A1.分析要在平面ABB1A1內(nèi)找一條直線與MN平行，可根據(jù)平行關(guān)系作MEBC，NFAD來(lái)構(gòu)造平行四邊形，從而找到與MN平行的直線證明作MEBC交BB1于點(diǎn)E，作NFAD交AB于點(diǎn)F，連接EF.因?yàn)锳DBC，所以NFME.因?yàn)镃MDN，BDB1C，所以B1MBN.因?yàn)?，所以MENF.所以四邊形MEFN為平行四邊形所以MNEF.又MN平面ABB1A1，EF平面ABB1A1，所以MN平面ABB1A1.評(píng)注構(gòu)造平行四邊形的關(guān)鍵在于抓住條件特征，合理引入平行線一定要注意平行四邊形的一條邊在要證的平面內(nèi)，其對(duì)邊為待證直線，如本題中直線EF與MN.三、由對(duì)應(yīng)線段成比例尋找平行關(guān)系例3如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分別是PA，BD上的點(diǎn)，且，求證：MN平面PBC.分析條件中給出一個(gè)比例關(guān)系，由此想到運(yùn)用比例線段在平面PBC內(nèi)尋找一條直線與MN平行證明連接AN并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E，連接PE.在正方形ABCD內(nèi)，BCAD，所以.因?yàn)?，所?所以MNPE.又PE平面PBC，MN平面PBC，所以MN平面PBC.8轉(zhuǎn)化中證明空間垂直關(guān)系空間中的各種垂直關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容在高考中著重考查線線垂直、線面垂直、面面垂直的證明，這就需要利用線面垂直、面面垂直的判定定理及其性質(zhì)，運(yùn)用三者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系一、證明線面垂直證明線面垂直通常有兩種方法：一是利用線面垂直的判定定理，由線線垂直得到線面垂直；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理，由面面垂直得到線面垂直例1如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點(diǎn)，ANPM，垂足為點(diǎn)N.求證：AN平面PBM.證明因?yàn)镻A垂直于圓O所在的平面，所以PABM.因?yàn)镸是圓周上一點(diǎn)，所以BMAM.又因?yàn)镻AAMA，所以BM平面PAM.所以BMAN.又因?yàn)锳NPM，PMBMM，所以AN平面PBM.評(píng)注本題是考查線面垂直很好的載體，它融合了初中所學(xué)的圓的特征，在求解時(shí)要注意線線、線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化二、證明面面垂直證明面面垂直一般有兩種方法：一是利用面面垂直的定義，通過(guò)求二面角的平面角為直角而得到，這種方法在證明面面垂直時(shí)應(yīng)用較少；二是利用面面垂直的判定定理由線面垂直得到面面垂直例2如圖，ABC為等邊三角形，EC平面ABC，BDEC，且ECCA2BD，M是EA的中點(diǎn)(1)求證：DEDA；(2)求證：平面BDM平面ECA.證明(1)如圖，取EC的中點(diǎn)F，連接DF，易知DFBC.因?yàn)镋CBC，所以DFEC.在RtEFD和RtDBA中，因?yàn)镋FECBD，F(xiàn)DBCAB，所以RtEFDRtDBA.所以DEDA.(2)如圖，取CA的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MNEC，且MNEC.又ECBD，且BDEC，所以MNBD，且MNBD.所以四邊形BDMN是平行四邊形所以點(diǎn)N在平面BDM內(nèi)因?yàn)镋C平面ABC，所以ECBN.又CABN，ECCAC，所以BN平面ECA.因?yàn)锽N平面MNBD，所以平面BDM平面ECA.評(píng)注在證明面面垂直時(shí)通常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問(wèn)題三、證明線線垂直證明線線垂直，往往根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直例3如圖，已知平面平面CD，EA，EB，垂足分別為A，B，求證：CDAB.證明因?yàn)镋A，CD，所以CDEA.又因?yàn)镋B，CD，所以EBCD.又因?yàn)镋AEBE，所以CD平面ABE.因?yàn)锳B平面ABE，CD平面ABE，所以CDAB.評(píng)注證明空間中的垂直關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要用到化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，主要體現(xiàn)在線線垂直、線面垂直、面面垂直證明的相互轉(zhuǎn)化過(guò)程之中其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：線線垂直線面垂直面面垂直9空間中垂直關(guān)系的探索型問(wèn)題隨著新課程的普及，創(chuàng)新型問(wèn)題越來(lái)越受到高考命題者的青睞，并且滲透到各個(gè)章節(jié)之中，下面就直線與空間中垂直關(guān)系的開放探索型問(wèn)題列舉兩例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)例1如圖，設(shè)ABC內(nèi)接于O，PA垂直于O所在的平面(1)請(qǐng)指出圖中互相垂直的平面；(要求：列出所有的情形，但不要求證明)(2)若要使互相垂直的平面對(duì)數(shù)在原有的基礎(chǔ)上增加一對(duì)，那么在ABC中需添加一個(gè)什么條件？(要求：添加你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮所有可能的情形，但必須證明你添加的條件的正確性，答案不唯一)(3)設(shè)D是PC的中點(diǎn)，ACABa(a是常數(shù))，試探究在PA上是否存在一點(diǎn)M，使MDMB最小？若存在，試確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)圖中互相垂直的平面有：平面PAC平面ABC，平面PAB平面ABC.(2)要使互相垂直的平面對(duì)數(shù)在原有的基礎(chǔ)上增加一對(duì)，在ABC中需添加：ABBC(或添加ABC90°，或AC是O的直徑，或AC過(guò)圓心O等)證明如下：因?yàn)镻A平面ABC，BC平面ABC，所以BCPA.因?yàn)锳BBC，PAABA，所以BC平面PAB.又BC平面PBC，所以平面PBC平面PAB.(其他條件的證明略)(3)將平面PAB繞PA沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與平面PAC在同一平面上，如圖因?yàn)镻AAC，PAAB，所以C，A，B三點(diǎn)在同一條直線上連接DB交PA于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所求的點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D作DEBC交PA于點(diǎn)E.因?yàn)镈是PC的中點(diǎn)，所以E為PA的中點(diǎn)因?yàn)?，且ACAB，所以2.所以AMAEAP，即點(diǎn)M為AP方向上AP的第一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，MDMB最小例2如圖所示，已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD為正方形，E為線段AD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BD1的中點(diǎn)(1)求證：EF平面ABCD；(2)設(shè)M為線段C1C的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)谋戎禐槎嗌贂r(shí)，DF平面D1MB？并說(shuō)明理由(1)證明E為線段AD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BD1的中點(diǎn)，EFAB.EF平面ABCD，AB平面ABCD，EF平面ABCD.(2)解當(dāng)時(shí)，DF平面D1MB.ABCD是正方形，ACBD.D1D平面ABC，D1DAC.AC平面BB1D1D，ACDF.F，M分別是BD1，CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)MAC.DFFM.D1DAD，D1DBD.矩形D1DBB1為正方形F為BD1的中點(diǎn)，DFBD1.FMBD1F，且MF平面D1MB，BD1平面D1MB，DF平面D1MB.18