2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.2 幾種常見的平面變換 2.2.5 投影變換教學(xué)案 蘇教版選修4-2

2．2.5　投影變換 1．投影變換 將平面圖形投影到某條直線(或點)的變換，稱為投影變換． 2．投影變換矩陣 像，這類將平面內(nèi)圖形投影到某條直線(或某個點)上的矩陣，稱為投影變換矩陣． 3．常見的投影變換矩陣 (1)將坐標平面內(nèi)的圖形垂直投影到x軸上的變換矩陣為； (2)將坐標平面內(nèi)的圖形垂直投影到y(tǒng)軸上的變換矩陣為； (3)將坐標平面內(nèi)的圖形沿垂直于y軸方向投影到y(tǒng)＝x上的變換矩陣為； (4)將坐標平面內(nèi)的圖形沿垂直于x軸方向投影到y(tǒng)＝x上的變換矩陣為. [說明]　投影變換雖然是映射，但不是一一映射． 點或平面圖形在投影變換作用下的象 [例1]　　已知變換T1，T2對應(yīng)的矩陣分別為M＝和N＝，平面上三個點A(3,1)，B(2,3)，C(0,4)． (1)分別求直線AB，BC在T1，T2變換下得到的直線方程； (2)變換T1，T2有什么不同？ [思路點撥]　二階非零矩陣對應(yīng)的變換將直線變?yōu)橹本€，所以只要求出A，B，C在T1，T2變換下得到的點A′，B′，C′的坐標，就可以求出直線AB，BC在T1，T2變換下得到的直線方程． [精解詳析]　(1)A，B，C在T1變換下變?yōu)锳′(3,0)，B′(2,0)，C′(0,0)，A，B，C在T2變換下變?yōu)锳″(3，－1)，B″(2，－3)，C″(0，－4)． ∴直線A′B′的方程為y＝0，直線B′C′的方程為y＝0， 直線A″B″的方程為2x－y－7＝0， 直線B″C″的方程為y＝x－4. (2)由(1)可知，直線AB：2x＋y－7＝0，直線BC：y＝－x＋4，在T1變換下得到的圖像均為y＝0，在T2變換下得到兩個不同的圖像，所以T2是一一映射，T1不是一一映射． 投影變換不僅依賴于投影的目標直線(或點)，還依賴于投影的方向．這很好理解，以樹木在太陽下形成影子為例，我們把太陽光看似平行光，當(dāng)在正午的時候，樹木的影子會投影到樹根，但在清晨或者黃昏時分，投影到大地上的樹木的影子就變斜了．正午時候太陽光所作的垂直投影變換對應(yīng)的矩陣形式為M＝，下面我們考察太陽光所作的斜投影變換的矩陣形式，如圖所示． 在這樣的斜投影變換下，P(x，y)→P′(x′，y′)，記k＝cot α，則P′的坐標為(x＋ky,0)，即有 ＝＝ ， 所以即為這樣的斜投影變換的矩陣形式，特別地，當(dāng)k＝0時，即為垂直投影變換． 1．已知△ABC三頂點坐標分別為A(－1,1)，B(2,0)，C(1,2)，此三角形在矩陣M＝作用下得到怎樣的圖形？ 解：因 ＝， ＝， ＝，故A、B、C三點在M作用下的象為A1(－1，－1)，B1(2,2)，C1(1,1)，而A1、B1、C1三點都在直線y＝x上且C1點在線段A1B1上，故△ABC在矩陣M作用下的象是線段y＝x(－1≤x≤2)． 2．研究直線3x－2y＋1＝0在矩陣對應(yīng)的變換作用下變成什么圖形，并說明其幾何意義． 解：任取直線3x－2y＋1＝0上的一點P(x0，y0)，它在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻′(x，y)， 則有 ＝， 整理得，即. 又因為點P在直線3x－2y＋1＝0上， 所以3x0－2y0＋1＝0， 即有3x－2(x－y)＋1＝0，即x＋2y＋1＝0. 從而直線3x－2y＋1＝0在矩陣作用下變成直線x＋2y＋1＝0. 其幾何意義是：把直線3x－2y＋1＝0上的每一點沿垂直于直線x＋2y＋1＝0的方向投影到該直線上． 求投影變換矩陣 [例2]　已知直線x＋y＝5在矩陣M對應(yīng)變換作用下得到點(5,5)，求矩陣M. [思路點撥]　先設(shè)出變換矩陣，利用變換公式列方程求解即可． [精解詳析]　設(shè)矩陣M＝， 則由題意得： ＝＝， 即恒有ax＋by＝5，cx＋dy＝5， 又因為x＋y＝5，比較得a＝b＝c＝d＝1， 所以M＝. 根據(jù)變換的形式或變換對應(yīng)的矩陣找出對應(yīng)的關(guān)系，尋找變換后圖形上點的橫、縱坐標關(guān)系來理解投影變換具有的特點． 3．已知變換T是將平面圖形投影到直線y＝3x上的變換，試求它所對應(yīng)的矩陣M. 解：∵→＝， ∴M＝. 4．求直角坐標系內(nèi)關(guān)于直線l：y＝kx(k≠0)的投影變換的坐標變換公式及其矩陣． 解：設(shè)平面內(nèi)點P(x，y)在l上投影為P′(x′，y′)， 據(jù)題意解得 則相應(yīng)的矩陣為. 1．求點A(3,1)，B(2,3)，C(3,2)在矩陣對應(yīng)的變換下變成的點的坐標，并回答下列問題： (1)該矩陣把直線AB變成什么圖形？ (2)該矩陣把線段AC變成什么圖形？ 解：設(shè)點A，B，C在矩陣變換作用下的點分別是A′(x1，y1)，B′(x2，y2)，C′(x3，y3)， 則＝ ＝， ∴點A′的坐標為(3,0)，同理B′(2,0)，C′(3,0)． (1)易知該矩陣把直線AB變成x軸； (2)易知該矩陣把線段AC變成了一個點(3,0)． 2．直線x＋y＝3在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下變成什么圖形？ 解：直線x＋y＝3在矩陣M＝對應(yīng)變換下變成了點(3,0)，如圖所示． 3．正方形ABCD分別在M1＝，M2＝，M3＝，M4＝對應(yīng)的變換作用下的圖形是什么？請畫出示意圖，這里點A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)． 解：如圖所示，根據(jù)矩陣對應(yīng)變換的幾何意義，可知在M1，M2，M3，M4對應(yīng)變換下，正方形ABCD分別變成線段A′B′，A″E，F(xiàn)G，AC′. 4．直線x－y＝2分別在矩陣M＝與矩陣N＝對應(yīng)的變換作用下變成什么圖形？ 解：設(shè)P(x，y)是直線x－y＝2上任意一點，P′(x′，y′)是矩陣M對應(yīng)變換下P對應(yīng)的點，則由＝ ， 得代入x－y＝2，得直線x－y＝2在矩陣M對應(yīng)變換下變?yōu)辄c(2，－2)．同理可得直線x－y＝2在矩陣N對應(yīng)變換下變?yōu)橹本€y＝x. 5．已知變換T是將平面圖形沿y軸方向投影到直線y＝2x上的變換，試求它的變換矩陣M. 解：因為→＝＝ ， 所以M＝. 6．圓x2＋y2＝1在矩陣變換作用下得到什么圖形？ 解：圓x2＋y2＝1在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的圖形是線段x＝0(－1≤y≤1)． 7．已知變換T把平面上的所有點都垂直投影到直線y＝x上． (1)試求出變換T所對應(yīng)的矩陣M； (2)求直線x＋y＝2在變換T下所得到的圖形． 解：(1)因為點P(x，y)在直線y＝x上的投影為，于是＝. 所以矩陣M＝. (2)因為＝，x＋y＝2， 故＝，即直線x＋y＝2在變換T下所得到的圖形是一個點(1,1)． 8．已知直線l：x＋y＝5. (1)求直線l在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下得到的圖形； (2)是否存在矩陣N，使直線l在矩陣N對應(yīng)的變換作用下得到點(5,0)? 解：(1)設(shè)P(x0，y0)是直線l：x＋y＝5上的任一點，該點在矩陣M變換作用得到的點P′的坐標為(x，y)，則 ＝＝. ∴又x0＋y0＝5， ∴P′(0,5)，即直線l：x＋y＝5在矩陣M對應(yīng)變換作用下變?yōu)橐粋€點(0,5)． (2)假設(shè)存在適合題意的矩陣N，設(shè)N＝， P(x0，y0)是直線l上任一點，該點在矩陣N對應(yīng)變換作用下對應(yīng)的點為P′(x，y)， 則 ＝＝. ∴ 此方程組對任意x0∈R，y0∈R恒成立， 且x0＋y0＝5， ∴，∴N＝. 即存在矩陣N，使直線l在此矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點(5,0)． 7