2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.2 幾種常見的平面變換 2.2.4 逆變換與逆矩陣旋轉(zhuǎn)變換教學(xué)案 蘇教版選修4-2

2．2.4　旋轉(zhuǎn)變換 [對應(yīng)學(xué)生用書P14]　 1．旋轉(zhuǎn)變換 將一個圖形F繞某個定點O旋轉(zhuǎn)角度θ所得圖形F′的變換稱為旋轉(zhuǎn)變換．其中點O稱為旋轉(zhuǎn)中心，角度θ稱為旋轉(zhuǎn)角． 2．旋轉(zhuǎn)變換矩陣 像這樣的矩陣，稱為旋轉(zhuǎn)變換矩陣． 旋轉(zhuǎn)變換只改變幾何圖形的相對位置，不會改變幾何圖形的形狀． [對應(yīng)學(xué)生用書P14] 點在旋轉(zhuǎn)變換作用下的象 [例1]　　在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，將每個點繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)135°的變換稱為旋轉(zhuǎn)角是135°的旋轉(zhuǎn)變換． (1)試寫出這個旋轉(zhuǎn)變換的坐標(biāo)變換公式和相應(yīng)的矩陣； (2)求點A(4,8)在這個旋轉(zhuǎn)變換作用下的象A′. [思路點撥]　根據(jù)其坐標(biāo)變換公式寫出旋轉(zhuǎn)變換對應(yīng)的矩陣后求解． [精解詳析]　(1)該變換的坐標(biāo)變換公式為： ，該變換對應(yīng)的矩陣為： ＝. (2)由(1)知，當(dāng)x＝4，y＝8時， x′＝－6，y′＝－2， 所以點A(4,8)在這個旋轉(zhuǎn)變換作用下的象為 A′(－6，－2)． 由旋轉(zhuǎn)角θ的大小，寫出旋轉(zhuǎn)變換矩陣是解決這類問題的關(guān)鍵．逆時針旋轉(zhuǎn)時，θ為正值，順時針方向旋轉(zhuǎn)時，θ為負值． 1．求出△ABC分別在M1＝，M2＝，M3＝對應(yīng)的變換作用下的圖形這里A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)． 解析：在M1下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－1，－1)． 在M2下，A→A″(0,0)，B→B″(0,2)，C→C″(－1,1)． 在M3下，A→A(0,0)，B→B(，)，C→C(0，)． 圖形分別為 2．在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，將每個點繞坐標(biāo)原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°的變換稱為旋轉(zhuǎn)角為－60°的旋轉(zhuǎn)變換，求點A(－1,0)在這個旋轉(zhuǎn)變換作用下得到的點A′的坐標(biāo)． 解：由題意得旋轉(zhuǎn)變換矩陣為 ＝， 故對應(yīng)的坐標(biāo)變換公式為. 令x＝－1，y＝0得. 所以所求的點A′的坐標(biāo)為. 曲線在旋轉(zhuǎn)變換作用下的象 [例2]　已知曲線C：x2＋y2＝2，將曲線C繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，求得到的曲線C′的方程． [思路點撥]　先求出旋轉(zhuǎn)變換矩陣，再根據(jù)變換公式求曲線方程． [精解詳析]　旋轉(zhuǎn)變換對應(yīng)的矩陣 M＝＝， 設(shè)P(x0，y0)為曲線C上任意的一點，它在矩陣M對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻′(x，y)． 則有 ＝， 故 因為點P(x0，y0)在曲線C：x2＋y2＝2上， 所以x＋y＝2， 即 2＋2＝2， ∴x′＋y′＝2. 從而曲線C′的方程為x2＋y2＝2. 理解與掌握旋轉(zhuǎn)變換對應(yīng)的變換矩陣和坐標(biāo)變換公式是解答該類問題的關(guān)鍵，對于特殊圖形的旋轉(zhuǎn)變換，也可根據(jù)數(shù)形結(jié)合直接得出，如本例中，曲線C是以原點為圓心的圓，所以它不管旋轉(zhuǎn)多少度，所得的圖形仍是其自身． 3．將雙曲線C：x2－y2＝1上的點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到新圖形C′，試求C′的方程． 解：根據(jù)題意，得旋轉(zhuǎn)變換矩陣 M＝＝， 任意選取雙曲線x2－y2＝1上的一點P(x0，y0)，它在變換作用下變?yōu)镻′(x，y)， 則有 那么 又因為點P在曲線x2－y2＝1上， 所以x－y＝1， 即有(x＋y)2－(y－x)2＝1， 整理可得2xy＝1， 所以所求C′的方程為xy＝. 4．已知橢圓Γ：＋＝1，試求該曲線繞逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得到的曲線，畫出示意圖． 解：設(shè)橢圓與坐標(biāo)軸的交點分別為A(－2,0)，B(0，－)，C(2,0)，D(0，)(如圖所示)． 因為繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°的變換所對應(yīng)的矩陣為 M＝＝. 所以 ＝， ＝， ＝， ＝. 故點A，B，C，D在旋轉(zhuǎn)變換M的作用下分別變?yōu)辄cA′(0，－2)，B′(，0)，C′(0,2)，D′(－，0)，從而橢圓曲線Γ：＋＝1在逆時針旋轉(zhuǎn)90°后所成的曲線為橢圓曲線Γ ′：＋＝1. 1．若點A在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的點為(1,0)，求α. 解：由 ＝， 得 ∴ ∴(k∈Z) ∴(k∈Z) ∴α＝－＋2kπ(k∈Z)． 2．設(shè)點P的坐標(biāo)為(1，－2)，T是繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，求旋轉(zhuǎn)變換T對應(yīng)的矩陣A，并求點P在旋轉(zhuǎn)變換T作用下得到的點P′的坐標(biāo)． 解：由題意知旋轉(zhuǎn)變換矩陣 A＝＝ 設(shè)P′(x′，y′)，則 ＝ ∴即P′. 3．已知曲線C：xy＝1. (1)將曲線C繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后，求得到的曲線C′的方程； (2)求曲線C′的焦點坐標(biāo)和漸近線的方程． 解：(1)由題設(shè)知， M＝＝. 由＝ ＝， 得解得代入xy＝1， 得曲線C′的方程為y2－x2＝2. (2)由(1)知曲線C′的焦點為(0,2)，(0，－2)，漸近線方程為y＝±x. 4．求直線y＝x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后所得的直線的方程． 解：直線y＝x的傾斜角為，繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后所得的直線的傾斜角為，故所求的直線方程為x＝0. 5．將拋物線E：y2＝4x繞它的頂點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到曲線E′.求曲線E′的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程． 解：已知拋物線y2＝4x的焦點坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程l：x＝－1.旋轉(zhuǎn)變換對應(yīng)的矩陣為. 設(shè)點P(x，y)為變換前坐標(biāo)系中任意一點，經(jīng)變換后得到P′(x′，y′)，∴(1) 將x＝1，y＝0代入(1)式得 由(1)消去y，并將x＝－1代入，得x′＋y′＝－2. ∴曲線E′仍為拋物線，它的焦點坐標(biāo)F′，準(zhǔn)線方程l′：x＋y＋2＝0. 6．已知橢圓＋＝1經(jīng)過矩陣M對應(yīng)的變換作用下變?yōu)闄E圓＋＝1，求變換矩陣M. 解：將橢圓＋＝1變換為橢圓＋＝1，可以伸壓變換，可以是反射變換(關(guān)于原點成中心反射或關(guān)于直線y＝x與y＝－x成軸對稱)，還可以是旋轉(zhuǎn)變換(繞原點旋轉(zhuǎn)90°)，其中反射與旋轉(zhuǎn)較為方便，所以矩陣M可以是或或或等． 7．已知橢圓C：x2＋y2＋xy＝3，將曲線C繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到橢圓C′.求： (1)橢圓C′的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)橢圓C的焦點坐標(biāo)． 解：(1)矩陣A＝， 設(shè)橢圓C上的點P(x，y)變換后為P′(x′，y′)， 則 ＝， 故 代入x2＋y2＋xy＝3中， 得(x′－y′)2＋(x′＋y′)2＋(x′2－y′2)＝3. ∴橢圓C′的方程為＋＝1. (2)∵橢圓C′的焦點坐標(biāo)為(0，±2)， ∴橢圓C的焦點坐標(biāo)為F1(－，)，F(xiàn)2(，－)． 8．已知點A(3,4)，點A繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到的對應(yīng)點為B，求點B的坐標(biāo)，并求出線段OA旋轉(zhuǎn)過程中所掃描過的圖形的面積． 解：由題意可得旋轉(zhuǎn)變換矩陣為 M＝＝， 對應(yīng)的坐標(biāo)變換公式為 可得 即點B的坐標(biāo)為， 由于線段OA旋轉(zhuǎn)過程中所掃描過的圖形是半徑為OA，圓心角為的扇形， 而OA＝＝5， 所以相應(yīng)的面積為S＝××52＝π. 8