2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 第1節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-5

第1節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法核心必知1數(shù)學(xué)歸納法的概念當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：(1)證明當(dāng)nn0時命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，且kn0)時命題成立，證明nk1時命題也成立在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法2數(shù)學(xué)歸納法的基本過程問題思考1在數(shù)學(xué)歸納法中，n0一定等于1嗎？提示：不一定n0是適合命題的正整數(shù)中的最小值，有時是n01或n02有時n0值也比較大，而不一定是從1開始取值2數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍是什么？提示：數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明3數(shù)學(xué)歸納法中的兩步的作用是什么？提示：在數(shù)學(xué)歸納法中的第一步“驗(yàn)證nn0時，命題成立”，是歸納奠基、是推理證明的基礎(chǔ)第二步是歸納遞推，保證了推理的延續(xù)性，證明了這一步，就可以斷定這個命題對于n取第一個值n0后面的所有正整數(shù)也都成立用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(nN)精講詳析本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明恒等式中的應(yīng)用，解答本題需要注意等式的左邊有2n項(xiàng)，右邊有n項(xiàng)，由k到k1時，左邊增加兩項(xiàng)，右邊增加一項(xiàng)，而且左、右兩邊的首項(xiàng)不同，因此由“nk”到“nk1”時，要注意項(xiàng)的合并(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，且kN)時命題成立，即有1.則當(dāng)nk1時，左邊1，從而可知，當(dāng)nk1時，命題亦成立由(1)(2)可知，命題對一切正整數(shù)n均成立(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是準(zhǔn)確表述nn0時命題的形式，二是準(zhǔn)確把握由nk到nk1時，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)(2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時的常見問題第一步中的驗(yàn)證，對于有些問題驗(yàn)證的并不是n1，有時需驗(yàn)證n2，n3.對nk1時式子的項(xiàng)數(shù)以及nk與nk1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障“假設(shè)nk時命題成立，利用這一假設(shè)證明nk1時命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié)，對待這一推導(dǎo)過程決不可含糊不清，推導(dǎo)的步驟要完整、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范1證明12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN)證明：(1)當(dāng)n1時，左邊12223，右邊1×(2×11)3，當(dāng)n1時，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k·(2k1)當(dāng)nk1時，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)22(k1)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，當(dāng)nk1時，等式也成立根據(jù)(1)和(2)可知，等式對任何nN都成立求證：二項(xiàng)式x2ny2n(nN)能被xy整除精講詳析本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明整除問題中的應(yīng)用，解答本題需要設(shè)法將x2ny2n進(jìn)行分解因式得出xy，由于直接分解有困難，故采用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)n1時，x2y2(xy)(xy)，能被xy整除(2)假設(shè)nk(k1，且kN)時，x2ky2k能被xy整除，當(dāng)nk1時，即x2k2y2k2x2·x2kx2y2kx2y2ky2·y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k與x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1時，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，對任意的正整數(shù)n命題均成立.利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式，這就往往要涉及到“添項(xiàng)”與“減項(xiàng)”等變形技巧，例如，在本例中，對x2k2y2k2進(jìn)行拼湊，即減去x2y2k再加上x2y2k，然后重新組合，目的是拼湊出nk時的歸納假設(shè)，剩余部分仍能被xy整除2求證：n3(n1)3(n2)3能被9整除證明：(1)當(dāng)n1時，13(11)3(12)336，能被9整除，命題成立(2)假設(shè)nk時，命題成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除當(dāng)nk1時，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k2·33k·3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)由歸納假設(shè)，上式中k3(k1)3(k2)3能被9整除，又9(k23k3)也能被9整除故nk1時命題也成立由(1)(2)可知，對任意nN命題成立.平面上有n(n2，且nN)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過同一點(diǎn)，求證：這n條直線共有f(n)個交點(diǎn)精講詳析本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明幾何命題中的應(yīng)用，解答本題應(yīng)搞清交點(diǎn)隨n的變化而變化的規(guī)律，然后采用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)n2時，兩相交直線只有1個交點(diǎn)，又f(2)×2×(21)1.當(dāng)n2時，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN)時命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個數(shù)為f(k)k(k1)，則當(dāng)nk1時，任取其中一條直線記為l，如圖，剩下的k條直線為l1，l2，lk.由歸納假設(shè)知，它們之間的交點(diǎn)個數(shù)為f(k).由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點(diǎn)，所以直線l與l1，l2，l3，lk的交點(diǎn)共有k個f(k1)f(k)kk.當(dāng)nk1時，命題成立由(1)(2)可知，命題對一切nN且n2成立對于幾何問題的證明，可以從有限情形中歸納出一個變化的過程，或者說體會出是怎么變化的，然后再去證明，也可以采用遞推的辦法，利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時，關(guān)鍵是正確分析由nk到nk1時幾何圖形的變化規(guī)律3證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)f(n)n·(n3)(n4)證明：(1)n4時，f(4)·4·(43)2，四邊形有兩條對角線，命題成立(2)假設(shè)nk時命題成立，即凸k邊形的對角線的條數(shù)f(k)k(k3)(k4)當(dāng)nk1時，凸k1邊形是在k邊形基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個頂點(diǎn)Ak1，增加的對角線條數(shù)是頂點(diǎn)Ak1與不相鄰頂點(diǎn)連線再加上原k邊形的一邊A1Ak，共增加的對角線條數(shù)為(k13)1k1.f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3故nk1時由(1)、(2)可知，對于n4，nN公式成立本課時考點(diǎn)常與數(shù)列問題相結(jié)合考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，天津高考將數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法相結(jié)合，以解答題的形式進(jìn)行了考查，是高考命題的一個新亮點(diǎn)考題印證(天津高考)已知an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)記Tnanb1an1b2a1bn，nN，證明Tn122an10bn(nN)命題立意本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明數(shù)列問題中的應(yīng)用解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2n，nN.(2)法一：由(1)得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an12na22n1a1.由，得Tn2(3n1)3×223×233×2n2n22n26n210×2n6n10.而2an10bn122(3n1)10×2n1210×2n6n10，故Tn122an10bn，nN.法二：(1)當(dāng)n1時，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk時等式成立，即Tk122ak10bk，則當(dāng)nk1時有Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112.即Tk1122ak110bk1.因此nk1時等式也成立由(1)和(2)，可知對任意nN，Tn122an10bn成立一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明“1aa2an1(a1，nN)”時，在驗(yàn)證當(dāng)n1成立時，左邊計算所得的結(jié)果是()A1B1aC1aa2 D1aa2a3解析：選C由于等式左邊當(dāng)n1時，冪指數(shù)的最大值為112，左邊計算結(jié)果為1aa2或在等式中左邊共有n2項(xiàng)，n1時，共有3項(xiàng)2用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n1)(n2)· ·(nn)2n×1×3(2n1)時，從“k到k1”左邊需增乘的代數(shù)式是()A2k1 B.C2(2k1) D.解析：選C當(dāng)nk1時，左邊(k11)(k12)· ·(k1k1)(k1)·(k2)·(k3)(kk)·(k1)(k2)(k3)(kk)·2(2k1)3某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN)時命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時，命題也成立現(xiàn)已知當(dāng)n5時該命題不成立，那么可推得()A當(dāng)n6時該命題不成立B當(dāng)n6時該命題成立C當(dāng)n4時該命題不成立D當(dāng)n4時該命題成立解析：選C與“如果當(dāng)nk(kN)時命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時命題也成立”等價的命題為“如果當(dāng)nk1時命題不成立，則當(dāng)nk(kN)時，命題也不成立”故知當(dāng)n5時，該命題不成立，可推得當(dāng)n4時該命題不成立，故選C.4用數(shù)學(xué)歸納法證明“<n1(nN)”的過程中的第二步nk1時(n1已驗(yàn)，nk已假設(shè)成立)，這樣證明：<(k1)1，當(dāng)nk1時，命題成立，此種證法()A是正確的B歸納假設(shè)寫法不正確C從k到k1推理不嚴(yán)密D從k到k1的推理過程未使用歸納假設(shè)解析：選D在上面的證明中，當(dāng)nk1時證明過程沒有錯誤，但沒有用到當(dāng)nk時的結(jié)論，這樣就失去假設(shè)當(dāng)nk時命題成立的意義，也不能構(gòu)成一個遞推關(guān)系，這不是數(shù)學(xué)歸納法A、B、C都不對，選D.二、填空題5設(shè)f(n)1(nN)，則f(n1)f(n)等于_解析：因?yàn)閒(n)1.所以f(n1)1.所以f(n1)f(n).答案：6用數(shù)學(xué)歸納法證明：“當(dāng)n為奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”時，在歸納假設(shè)中，假設(shè)當(dāng)nk時命題成立，那么下一步應(yīng)證明n_時命題也成立解析：兩個奇數(shù)之間相差2.答案：k27用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n12n1(nN)”的過程中，第二步假設(shè)nk時等式成立，則當(dāng)nk1時應(yīng)得到_解析：nk時，命題為“12222k12k1”，nk1時為使用歸納假設(shè)，應(yīng)寫成12222k12k2k12k，又考慮到目的，最終應(yīng)為2k11.答案：12222k12k2k118用數(shù)學(xué)歸納法證明2232n21(nN，且n>1)時，第一步應(yīng)驗(yàn)證n_，當(dāng)nk1時，左邊的式子為_解析：nk時，命題為“12222k12k1”，nk1時為使用歸納假設(shè)，應(yīng)寫成12222k12k2k12k，又考慮到目的，最終應(yīng)為2k11.答案：12222k12k2k11三、解答題9用數(shù)學(xué)歸納法證明：.證明：(1)當(dāng)n1時，左邊，右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時，等式成立，即，則當(dāng)nk1時，即當(dāng)nk1時，等式成立根據(jù)(1)(2)可知，對一切nN，等式成立10用數(shù)學(xué)歸納法證明對于整數(shù)n0，An11n2122n1能被133整除證明：(1)當(dāng)n0時，A011212133能被133整除(2)假設(shè)nk時，Ak11k2122k1能被133整除當(dāng)nk1時，Ak111k3122k311·11k2122·122k111·11k211·122k1(12211)·122k111·(11k2122k1)133·122k1.nk1時，命題也成立根據(jù)(1)、(2)，對于任意整數(shù)n0，命題都成立11已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an的等差中項(xiàng)為1.(1)寫出a1，a2，a3；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：(1)由題意Snan2，a11，a2，a3.(2)猜想an，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時，a11，1，等式成立假設(shè)當(dāng)nk時，等式成立，即ak，Sk12ak1，Sk1Skak1，Sk2ak，ak1ak，即當(dāng)nk1時，等式成立根據(jù)可知，對一切nN，等式成立12