2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 階段復(fù)習(xí)課 第4課 三角恒等變換學(xué)案 新人教A版必修4

第四課三角恒等變換核心速填1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(±)sin_cos±cos_sin_.cos(±)cos_cos_sin_sin_.tan(±).2倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3半角公式sin±.cos±.tan±.4輔助角公式(1)asin bcos sin().(2)與特殊角有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論：sin ±cos sin，sin ±cos 2sin，sin ±cos 2sin.體系構(gòu)建題型探究三角函數(shù)式求值(1)已知sin，則cos()ABC D(2)4cos 50°tan 40°等于()A BCD21(3)已知tan()，tan ，且，(0，)，求2的值. (1)C(2)C(1)coscos12sin212×2.(2)4cos 50°tan 40°.(3)tan tan()0.而(0，)，故.tan ，0，0.而tan()0，2()(，0)tan(2)tan()1，2.規(guī)律方法三角函數(shù)求值主要有三種類型，即：(1)“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，從表面看較難，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)這類問題中的角與特殊角都有一定的關(guān)系，如和或差為特殊角，當(dāng)然還有可能需要運(yùn)用誘導(dǎo)公式.(2)“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些三角函數(shù)的值，這類求值問題關(guān)鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的角，合理拆、配角.當(dāng)然在這個(gè)過程中要注意角的范圍.(3)“給值求角”，本質(zhì)上還是“給值求值”，只不過往往求出的是特殊角的值，在求出角之前還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定角，必要時(shí)還要討論角的范圍.跟蹤訓(xùn)練1若，sin()，sin，則cos() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352353】A BC D或C，cos()，cos，則coscoscos()cossin()sin××.2在ABC中，若3cos25sin24，則tan Atan B_.因?yàn)?cos25sin24，所以cos(AB)cos(AB)0，所以cos Acos Bsin Asin Bcos Acos Bsin Asin B0，即cos Acos B4sin Asin B，所以tan Atan B.三角函數(shù)式化簡化簡(1)；(2)·. 解(1)原式cos 2x.(2)原式···.規(guī)律方法三角函數(shù)式化簡的基本技巧(1)sin ，cos 湊倍角公式(2)1±cos 升冪公式(3)asin bcos 輔助角公式asin bcos ·sin()，其中tan 或asin bcos ·cos()，其中tan .跟蹤訓(xùn)練3化簡：(180°<<360°)解原式.180°<<360°，90°<<180°，cos <0，原式cos .三角恒等式的證明求證：tan2x. 證明左邊右邊原式得證規(guī)律方法三角恒等式的證明問題的類型及策略(1)不附加條件的恒等式證明.通過三角恒等變換，消除三角等式兩端的差異.證明的一般思路是由繁到簡，如果兩邊都較繁，則采用左右互推的思路，找一個(gè)橋梁過渡.(2)條件恒等式的證明.這類問題的解題思路是使用條件，或仔細(xì)探求所給條件與要證明的等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，常用方法是代入法和消元法.跟蹤訓(xùn)練4已知sin(2)5sin ，求證：2tan()3tan .證明由條件得sin()5sin()，兩邊分別展開得sin()cos cos()sin 5sin()cos 5cos()sin ，整理得：4sin()cos 6cos()sin ，兩邊同除以2cos()cos 得：2tan()3tan .三角恒等變換的綜合應(yīng)用已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)記f(x)a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值. 解(1)因?yàn)閍b，所以3sin xcos x，又cos x0，所以tan x，因?yàn)閤0，所以x.(2)f(x)3cos xsin x2sin.因?yàn)閤0，所以x，所以sin1，所以2f(x)3，當(dāng)x，即x0時(shí)，f(x)取得最大值3；當(dāng)x，即x時(shí)，f(x)取得最小值2.規(guī)律方法三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是三角函數(shù)的重要內(nèi)容.如果給出的三角函數(shù)的表達(dá)式較為復(fù)雜，我們必須先通過三角恒等變換，將三角函數(shù)的表達(dá)式變形化簡，然后根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì).(1)求三角函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間、圖象變換、周期性、對(duì)稱性等問題，一般先要通過三角恒等變換將函數(shù)表達(dá)式變形為yAsin(x)k或yAcos(x)k等形式，讓角和三角函數(shù)名稱盡量少，然后再根據(jù)正、余弦函數(shù)基本性質(zhì)和相關(guān)原理進(jìn)行求解.(2)要注意三角恒等變換中由于消項(xiàng)、約分、合并等原因，函數(shù)定義域往往會(huì)發(fā)生一些變化，所以一定要在變換前確定好原三角函數(shù)的定義域，并在這個(gè)定義域內(nèi)分析問題.(3)有時(shí)會(huì)以向量為背景出題，綜合考查向量、三角恒等變換、三角函數(shù)知識(shí).跟蹤訓(xùn)練5已知函數(shù)f(x).(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間解(1)由sin x0得xk(kZ)，故f(x)的定義域?yàn)閤R|xk，kZ因?yàn)閒(x)2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1sin1，所以f(x)的最小正周期T.(2)函數(shù)ysin x的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)由2k2x2k，xk(kZ)，得kxk(kZ)，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)8