2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大（?。┲?第2課時 函數(shù)的最大（?。┲到虒W案 新人教A版必修第一冊

第2課時函數(shù)的最大(小)值(教師獨具內(nèi)容)課程標準：1.理解函數(shù)最大(小)值的含義并會用符號語言表達函數(shù)的最大(小)值.2.會求簡單函數(shù)的最大(小)值.3.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的最值教學重點：1.函數(shù)最大(小)值的含義及其幾何意義.2.求一些簡單函數(shù)的最值教學難點：求較復雜函數(shù)的最值.【知識導學】知識點一函數(shù)的最大值(1)定義：一般地，設函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，稱M是函數(shù)yf(x)的最大值(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)的最大值是圖象最高點的縱坐標知識點二函數(shù)的最小值(1)定義：一般地，設函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，稱M是函數(shù)yf(x)的最小值(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)的最小值是圖象最低點的縱坐標【新知拓展】(1)并不是每一個函數(shù)都有最值，如函數(shù)y，既沒有最大值，也沒有最小值(2)有些函數(shù)只有最大(小)值，沒有最小(大)值，如函數(shù)yx2(yx2)(3)特別地，對于常函數(shù)f(x)C，它的最大值和最小值都是C.1判一判(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)任何函數(shù)都有最大值或最小值()(2)函數(shù)的最小值一定比最大值小()(3)若函數(shù)yf(x)有最大值，則這個最大值唯一()(4)若函數(shù)yf(x)的最大值是M，則使f(x0)M的x0是唯一的()(5)對于函數(shù)yf(x)，如果它的函數(shù)值都不小于3，那么該函數(shù)的最小值是3.()答案(1)×(2)×(3)(4)×(5)×2做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)函數(shù)f(x)x2在0,1上的最大值是_(2)函數(shù)y在2,6上的最大值與最小值之和等于_(3)函數(shù)y2x22，xN*的最小值是_答案(1)1(2)(3)4題型一 利用圖象求函數(shù)最值例1(1)已知函數(shù)f(x)求f(x)的最大值、最小值；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最小值解(1)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖)由圖象可知，當x±1時，f(x)取最大值為f(±1)1；當x0時，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值為1，最小值為0.(2)f(x)的圖象如圖所示，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)和0，)，函數(shù)的最小值為f(0)1.金版點睛圖象法求最值的一般步驟求函數(shù)y|x1|x2|的最大值和最小值解y|x1|x2|作出函數(shù)的圖象，如圖所示由圖可知，y3,3所以函數(shù)的最大值為3，最小值為3.題型二 利用單調(diào)性求函數(shù)最值例2求函數(shù)f(x)x在x1,3上的最大值與最小值解設1x1x23，則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).又因為x1<x2，所以x1x2<0.當1x1x22時，1<0，所以f(x1)f(x2)>0，所以f(x)在1,2上單調(diào)遞減當2<x1<x23時，1>0，所以f(x1)f(x2)<0.所以f(x)在(2,3上單調(diào)遞增所以f(x)的最小值為f(2)24.又因為f(1)5，f(3)3<f(1)，所以f(x)的最大值為5.金版點睛利用單調(diào)性求函數(shù)最值(1)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值是常用方法，特別是當函數(shù)圖象不易作出時，單調(diào)性幾乎成為首選方法(2)注意對問題中求最值的區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間的關系進行辨析；注意對問題中求最值的區(qū)間的端點值的取舍求函數(shù)y在區(qū)間1,2上的最大值和最小值解令f(x)，x1，x21,2，且x1<x2，則f(x1)f(x2)，因為1x1x22，所以2<x1x2<4，即6<3(x1x2)12，又1<x1x2<4，x2x1>0，故f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函數(shù)y在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，所以ymaxf(1)，yminf(2)4.題型三 求二次函數(shù)的最值例3(1)已知函數(shù)f(x)x22x3，若x0,2，求函數(shù)f(x)的最值；(2)已知函數(shù)f(x)x22x3，若xt，t2，求函數(shù)f(x)的最值；(3)已知函數(shù)f(x)x22ax2，x1,1，求函數(shù)f(x)的最小值；(4)已知函數(shù)f(x)x23，求函數(shù)f(x)的最值解(1)函數(shù)f(x)x22x3圖象的開口向上，對稱軸x1，f(x)在0,1上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增，且f(0)f(2)f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.(2)由(1)知對稱軸x1，當1t2即t1時，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.當1<t2，即1<t0時，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.當t1<，即0<t1時，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.當1<t，即t>1時，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.設函數(shù)最大值為g(t)，最小值為(t)，則有g(t)(t)(3)f(x)x22ax2(xa)22a2的圖象開口向上，且對稱軸為直線xa.當a1時，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減，最小值為f(1)32a；當1a1時，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，最小值為f(a)2a2；當a1時，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增，最小值為f(1)32a.(4)設t(t0)，則x23t22t3.yt22t3(t0)在0,1上單調(diào)遞減，在1，)上單調(diào)遞增，當t1，即x1時，f(x)min4，無最大值金版點睛二次函數(shù)最值的求法(1)探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，一般要先作出yf(x)的草圖，然后根據(jù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性對于“定對稱軸變區(qū)間”“變對稱軸定區(qū)間”的情況，特別要注意二次函數(shù)的對稱軸與所給區(qū)間的位置關系，它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù)，并且最大(小)值不一定在頂點處取得(2)二次函數(shù)圖象的對稱軸與定義域區(qū)間的位置通常有三種關系：對稱軸在定義域的右側；對稱軸在定義域的左側；對稱軸在定義域區(qū)間內(nèi)(3)對某些函數(shù)，可通過換元，轉化為二次函數(shù)，如函數(shù)f(x)x23.(1)已知函數(shù)f(x)x42x23，求函數(shù)f(x)的最值；(2)求二次函數(shù)f(x)x22ax2在2,4上的最小值；(3)求函數(shù)f(x)x22x2在區(qū)間t，t1上的最小值g(t)解(1)設x2t(t0)，則x42x23t22t3.令yt22t3(t0)在0,1上單調(diào)遞減，在1，)上單調(diào)遞增當t1，即x±1時，f(x)min4，無最大值(2)函數(shù)圖象的對稱軸是xa，當a<2時，f(x)在2,4上單調(diào)遞增，f(x)minf(2)64a.當a>4時，f(x)在2,4上單調(diào)遞減，f(x)minf(4)188a.當2a4時，f(x)minf(a)2a2.f(x)min(3)f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，對稱軸為x1.當t1<1，即t<0時，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞減，最小值為g(t)f(t1)t21；當t1t1，即0t1時，函數(shù)圖象如圖所示，最小值為g(t)f(1)1；當t>1時，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞增，最小值為g(t)f(t)t22t2.綜上可得，g(t)題型四 應用題中的最值問題例4某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)其中x是儀器的月產(chǎn)量(單位：臺)(1)將利潤表示為關于月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益總成本利潤)解(1)月產(chǎn)量為x臺，則總成本為(20000100x)元，從而f(x)(2)當0x400時，f(x)(x300)225000，當x300時，f(x)max25000；當x>400時，f(x)60000100x是減函數(shù)，f(x)<60000100×40020000<25000.當x300時，f(x)max25000.即每月生產(chǎn)300臺儀器時公司所獲利潤最大，最大利潤為25000元金版點睛解實際應用題的四個步驟(1)審題：解讀實際問題，找出已知條件、未知條件，確定自變量和因變量的條件關系(2)建模：建立數(shù)學模型，列出函數(shù)關系式(3)求解：分析函數(shù)性質(zhì)，利用數(shù)學知識探究問題解法(一定注意自變量的取值范圍)(4)回歸：數(shù)學問題回歸實際問題，寫出答案某水廠蓄水池有水450噸，水廠每小時向蓄水池注水80噸，同時蓄水池又向居民小區(qū)供水，t小時內(nèi)供水量為80 噸，現(xiàn)在開始向池中注水并同時向居民供水，多少小時后蓄水池中水量最少？解設t小時后，池中水量為y噸，則y45080t804(10)250，當10，即t5時，ymin50，所以，5小時后蓄水池中水量最少，只有50噸1函數(shù)f(x)在2，)上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最大、最小值分別為()A3,0 B3,1C3，無最小值 D3，2答案C解析觀察圖象可以知道，圖象的最高點坐標是(0,3)，從而其最大值是3；另外從圖象看，無最低點，即該函數(shù)不存在最小值故選C.2已知函數(shù)f(x)x22，其中x0,2，這個函數(shù)的最大值和最小值分別為()A2和1 B2和2C2和1 D1和2答案B解析f(x)x22在區(qū)間0,2上單調(diào)遞增，ymaxf(2)2，yminf(0)2.3長為4，寬為3的矩形，當長增加x，且寬減少時，面積S最大，此時x的值為()A. B1 C. D2答案B解析S(4x)x2x12(x1)2，又即0<x<6，當x1時，S取最大值.故選B.4函數(shù)f(x)(x3,5)是_函數(shù)(填“增”或“減”)，它的最大值是_，最小值是_答案減62解析易知函數(shù)是減函數(shù)，從而f(x)的最大值是f(3)6，最小值是f(5)2.5已知二次函數(shù)yx24x5，分別求下列條件下函數(shù)的最小值：(1)x1,0；(2)xa，a1解(1)二次函數(shù)yx24x5圖象的對稱軸為x2且開口向上，二次函數(shù)在x1,0上單調(diào)遞減ymin024×055.(2)當a2時，函數(shù)在xa，a1上單調(diào)遞增，ymina24a5；當a12，即a1時，函數(shù)在a，a1上單調(diào)遞減，ymin(a1)24(a1)5a22a2；當a<2<a1，即1<a<2時，ymin224×251.故函數(shù)的最小值為- 9 -