2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大（小）值 第1課時 函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案 新人教A版必修第一冊

第1課時函數(shù)的單調(diào)性(教師獨具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的概念.2.會劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的單調(diào)性，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性.3.會用定義證明函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)重點：1.函數(shù)單調(diào)性的定義及其幾何特征.2.用定義證明函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)難點：用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.【知識導(dǎo)學(xué)】知識點一函數(shù)的單調(diào)性及其符號表達(1)函數(shù)單調(diào)性的概念函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性(2)函數(shù)單調(diào)性的符號表達一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間DI：如果x1，x2D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增如果x1，x2D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減知識點二增函數(shù)、減函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)(increasing function)當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)(decreasing function)知識點三單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf(x)的單調(diào)區(qū)間【新知拓展】1單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，但在其單調(diào)區(qū)間上是整體性質(zhì)，因此對x1，x2有下列要求：(1)屬于同一個區(qū)間D；(2)任意性，即x1，x2是定義域中某一區(qū)間D上的任意兩個值，不能用特殊值代替；(3)有大小，即確定的任意兩值x1，x2必須區(qū)分大小，一般令x1<x2.2并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性如f(x)它的定義域為N，但不具有單調(diào)性3單調(diào)區(qū)間(1)這個區(qū)間可以是整個定義域如yx在整個定義域(，)上單調(diào)遞增， yx在整個定義域(，)上單調(diào)遞減；(2)這個區(qū)間也可以是定義域的真子集如yx2在定義域(，)上不具有單調(diào)性，但在(，0上單調(diào)遞減，在0，)上單調(diào)遞增4函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，但是在整個定義域上不一定都是單調(diào)遞增(減)如函數(shù)y(x0)在區(qū)間(，0)和(0，)上都單調(diào)遞減，但是在整個定義域上不具有單調(diào)性5一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“”連接，而應(yīng)該用“和”或“，”連接如函數(shù)y(x0)在區(qū)間(，0)和(0，)上都單調(diào)遞減，不能認(rèn)為y(x0)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)(0，)6函數(shù)的單調(diào)性是相對于函數(shù)的定義域的子區(qū)間D而言的對于單獨的一點，它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題因此在寫單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間端點可以包括，也可以不包括但對于函數(shù)式無意義的點，單調(diào)區(qū)間一定不能包括這些點7圖象變換對單調(diào)性的影響(1)上下平移不影響單調(diào)區(qū)間，即yf(x)和yf(x)b的單調(diào)區(qū)間相同(2)左右平移影響單調(diào)區(qū)間如yx2的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0；y(x1)2的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1(3)yk·f(x)，當(dāng)k>0時單調(diào)區(qū)間與f(x)相同，當(dāng)k<0時單調(diào)區(qū)間與f(x)相反1判一判(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)所有函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性()(2)函數(shù)單調(diào)遞增(減)定義中的“x1，x2D”可以改為“x1，x2D”()(3)若區(qū)間D是函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，且x1，x2D，若x1<x2，則f(x1)<f(x2)；反之也成立()(4)設(shè)D是函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的某個區(qū)間，若x1，x2D，當(dāng)x1<x2時，有f(x1)>f(x2)，則f(x)在區(qū)間D上不單調(diào)遞增()(5)對于二次函數(shù)yx22x3，它在(，0上單調(diào)遞減，所以它的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0()答案(1)×(2)×(3)(4)(5)×2做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)已知函數(shù)f(x)x的圖象如圖1所示，從左至右圖象是上升的還是下降的：_.(2)已知函數(shù)yf(x)的圖象如圖2所示，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_，單調(diào)遞減區(qū)間是_(3)下列函數(shù)f(x)中，滿足x1，x2(0，)，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)的是_f(x)x2；f(x)；f(x)|x|；f(x)2x1.答案(1)上升的(2)(，1，(1，)1,1(3)題型一 證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性例1證明：函數(shù)f(x)x在(2，)上單調(diào)遞增證明x1，x2(2，)，且x1<x2，則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).2<x1<x2，x1x2<0，x1x2>4，x1x24>0.f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)函數(shù)f(x)x在(2，)上單調(diào)遞增金版點睛定義法證明單調(diào)性的步驟判斷函數(shù)的單調(diào)性常用定義法和圖象法，而證明函數(shù)的單調(diào)性則應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性的定義操作利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟為：注意：對單調(diào)遞增的判斷，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一個不等式來替代：(x1x2)f(x1)f(x2)>0或>0.對單調(diào)遞減的判斷，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，相應(yīng)地也可用一個不等式來替代：(x1x2)f(x1)f(x2)<0或<0.利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f(x)在(1，)上的單調(diào)性解x1，x2(1，)，且x1<x2，則f(x1)f(x2).1<x1<x2，x2x1>0，x11>0，x21>0.>0，即f(x1)f(x2)>0，f(x1)>f(x2)f(x)在(1，)上單調(diào)遞減.題型二 求單調(diào)區(qū)間例2(1)求函數(shù)y|x22x3|的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；(2)作出函數(shù)f(x)的圖象，并指出其單調(diào)區(qū)間解(1)令f(x)x22x3(x1)24.作出f(x)的圖象，保留其在x軸上及其上方部分，將位于x軸下方的部分翻折到x軸上方，得到y(tǒng)|x22x3|的圖象，如圖所示由圖象，得原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是3，1和1，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，3和1，1(2)函數(shù)f(x)可化為：f(x)|x3|x3|作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示由圖象知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為(，3，3，)其中，單調(diào)遞減區(qū)間為(，3，單調(diào)遞增區(qū)間為3，)金版點睛常用畫圖象求單調(diào)區(qū)間(1)對于函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定，常借助于函數(shù)圖象直接寫出(2)對于含有絕對值的函數(shù)，往往轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)去處理其圖象，借助于圖象的變化趨勢分析相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)(3)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，在求解的過程中不要忽略了函數(shù)的定義域(1)根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；(2)寫出f(x)|x22x3|的單調(diào)區(qū)間解(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是0,2，4,5，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是1,0，2,4(2)先畫出f(x)的圖象，如圖所以f(x)|x22x3|的單調(diào)遞減區(qū)間是(，1，1,3；單調(diào)遞增區(qū)間是1,1，3，).題型三 抽象函數(shù)的單調(diào)性例3設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對m，nR，恒有f(mn)f(m)·f(n)(f(m)0，f(n)0)，且當(dāng)x>0時，0<f(x)<1.求證：(1)f(0)1；(2)xR，恒有f(x)>0；(3)f(x)是減函數(shù)證明(1)根據(jù)題意，令m0，可得f(0n)f(0)·f(n)f(n)0，f(0)1.(2)由題意知x>0時，0<f(x)<1，當(dāng)x0時，f(0)1>0，當(dāng)x<0時，x>0，0<f(x)<1.fx(x)f(x)·f(x)，f(x)·f(x)1，f(x)>0.xR，恒有f(x)>0.(3)x1，x2R，且x1<x2，則f(x2)fx1(x2x1)，f(x2)f(x1)fx1(x2x1)f(x1)f(x1)·f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)1由(2)知f(x1)>0，又x2x1>0，0<f(x2x1)<1，故f(x2)f(x1)<0，f(x)是減函數(shù)金版點睛抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷方法這里的抽象函數(shù)一般由方程(不等式)確定，解決這類函數(shù)的單調(diào)性問題通常有兩種方法一種是“湊”，湊定義或湊已知，從而使用定義或已知條件得出結(jié)論；另一種是“賦值”，給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系，有時可能要進行多次嘗試注意：若給出的是和型(f(xy)抽象函數(shù)，判定符號時的變形為f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)x2；若給出的是積型(f(xy)抽象函數(shù)，判定符號時的變形為f(x2)f(x1)ff(x1)，f(x2)f(x1)f(x2)f.已知函數(shù)f(x)，x，yR，總有f(xy)f(x)f(y)，且當(dāng)x>0時，f(x)<0.求證：f(x)為減函數(shù)證明x1，x2R，且x2>x1，則x2x1>0，當(dāng)x>0時，f(x)<0，f(x2x1)<0，f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)<0，f(x)為減函數(shù).題型四 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例4求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解易知函數(shù)f(x)的定義域為x|x<4或4<x<2或x>2令u82xx2(x1)29，易知其單調(diào)遞增區(qū)間是(，1，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，)函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,2)和(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，4)和(4，1金版點睛一般地，對于復(fù)合函數(shù)yfg(x)，如果tg(x)在(a，b)上單調(diào)，并且yf(t)在(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上也單調(diào)，那么yfg(x)在(a，b)上的單調(diào)性如下表所示，簡記為“同增異減”若一個函數(shù)是由多個簡單函數(shù)復(fù)合而成的，則此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由簡單函數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)決定若減函數(shù)有偶數(shù)個，則這個復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若減函數(shù)有奇數(shù)個，則這個復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)判斷復(fù)合函數(shù)yfg(x)的單調(diào)性的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)將復(fù)合函數(shù)分解成yf(u)，ug(x)；(3)分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)性；(4)確定復(fù)合函數(shù)yfg(x)的單調(diào)性已知函數(shù)f(x)在定義域0，)上單調(diào)遞減，求f(1x2)的單調(diào)遞減區(qū)間解f(x)的定義域為0，)，1x20，即x21，故1x1.令u1x2，則f(1x2)f(u)u1x2在0,1上單調(diào)遞減，f(1x2)在0,1上單調(diào)遞增；u1x2在1,0上單調(diào)遞增，f(1x2)在1,0上單調(diào)遞減故f(1x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為1,0.題型五 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例5(1)已知yf(x)在定義域(1,1)上單調(diào)遞減，且f(1a)<f(2a1)，求a的取值范圍；(2)已知函數(shù)f(x)x22(1a)x2在(，4上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍解(1)由題意可知解得0<a<1.又f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減，且f(1a)<f(2a1)，1a>2a1，即a<.由可知，0<a<.即所求a的取值范圍是.(2)f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，1a又函數(shù)f(x)在(，4上單調(diào)遞減，1a4，即a3.所求實數(shù)a的取值范圍是(，3金版點睛利用單調(diào)性比較大小或解不等式的方法(1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小在解決比較函數(shù)值的問題時，要注意將對應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上(2)相關(guān)結(jié)論正向結(jié)論：若yf(x)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)x1<x2時，f(x1)<f(x2)；當(dāng)x1>x2時，f(x1)>f(x2)；逆向結(jié)論：若yf(x)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)f(x1)<f(x2)時，x1<x2；當(dāng)f(x1)>f(x2)時，x1>x2.當(dāng)yf(x)在給定區(qū)間上單調(diào)遞減時，也有相應(yīng)的結(jié)論(1)已知函數(shù)f(x)x2bxc對任意的實數(shù)t都有f(2t)f(2t)，試比較f(1)，f(2)，f(4)的大?。?2)已知f(x)是定義在區(qū)間1,1上的增函數(shù)，且f(x2)<f(1x)，求x的取值范圍解(1)由題意知f(x)的圖象的對稱軸方程為x2，故f(1)f(3)，由題意知f(x)在2，)上單調(diào)遞增，所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4)(2)由題意，得解得1x2.因為f(x)是定義在區(qū)間1,1上的增函數(shù)，且f(x2)<f(1x)，所以x2<1x，解得x<，由得1x.所以滿足題設(shè)條件的x的取值范圍為.1下圖中是定義在區(qū)間5,5上的函數(shù)yf(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法錯誤的是()A函數(shù)在區(qū)間5，3上單調(diào)遞增B函數(shù)在區(qū)間1,4上單調(diào)遞增C函數(shù)在區(qū)間3,14,5上單調(diào)遞減D函數(shù)在區(qū)間5,5上沒有單調(diào)性答案C解析函數(shù)在區(qū)間3,1和4,5上單調(diào)遞減，在區(qū)間3,14,5上無單調(diào)性故選C.2下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是()Ay|x| By3xCy Dyx24答案A解析因為1<0，所以一次函數(shù)yx3在R上單調(diào)遞減，反比例函數(shù)y在(0，)上單調(diào)遞減，二次函數(shù)yx24在(0，)上單調(diào)遞減故選A.3對于函數(shù)yf(x)，在給定區(qū)間上有兩個數(shù)x1，x2，且x1<x2，使f(x1)<f(x2)成立，則yf(x)()A一定是增函數(shù) B一定是減函數(shù)C可能是常數(shù)函數(shù) D單調(diào)性不能確定答案D解析由單調(diào)性的定義可知，不能用特殊值代替一般值故yf(x)的單調(diào)性不能確定4若函數(shù)f(x)2x2mx3，在2，)上單調(diào)遞增，在(，2)上單調(diào)遞減，則f(1)_.答案13解析由條件知x2是函數(shù)f(x)圖象的對稱軸，所以2，m8，則f(1)13.5已知函數(shù)f(x)，判斷函數(shù)f(x)在(0，)上的單調(diào)性并用定義證明解函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增證明如下：x1，x2(0，)，且x1>x2，則f(x1)f(x2)，由x1，x2(0，)，得x11>0，x21>0，又由x1>x2，得x1x2>0，故f(x1)f(x2)>0，即函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增- 11 -