2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第3章 函數(shù)的概念與性質 3.1 函數(shù)的概念及其表示 3.1.2 函數(shù)的表示法 第1課時 函數(shù)的表示法教學案 新人教A版必修第一冊

第1課時　函數(shù)的表示法 (教師獨具內容) 課程標準：1.了解函數(shù)的三種表示方法及各自的優(yōu)缺點.2.通過實例了解分段函數(shù)的概念.3.掌握求函數(shù)解析式的常見方法． 教學重點：1.函數(shù)的三種表示方法.2.根據條件求函數(shù)的解析式． 教學難點：用解析法和圖象法表示分段函數(shù). 【知識導學】 知識點一　　　函數(shù)的表示法 (1)解析法：用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系． (2)列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系． (3)圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系． 知識點二　　　描點法作函數(shù)圖象的三個步驟 (1)列表：先找出一些有代表性的自變量x的值，再計算出與這些自變量x相對應的函數(shù)值f(x)，并用表格的形式表示出來． (2)描點：把第(1)步表格中的點(x，f(x))一一在平面直角坐標系中描出來． (3)連線：用光滑的曲線把這些點按自變量由小到大(或由大到小)的順序連接起來． 知識點三　　　分段函數(shù)的概念 如果函數(shù)y＝f(x)，x∈A，根據自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對應關系，那么稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)． 【新知拓展】 1．函數(shù)三種表示法的幾點說明 (1)解析法：變量間的對應關系明確，且要注意函數(shù)的定義域． (2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．比如我們生活中經常遇到的列車時刻表、銀行的利率表等．其優(yōu)點是不需要計算就可以直接看出與自變量相對應的函數(shù)值．這種表示法常常被應用到實際生產和生活中去． (3)圖象法：函數(shù)圖象的形狀不一定是一條或幾條無限長的平滑曲線，也可能是一些點、一些線段、一段曲線等，但不是任何一個圖形都是函數(shù)圖象． 2．分段函數(shù)的特點 (1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，并非幾個函數(shù)． (2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集． (3)分段函數(shù)的值域是各段值域的并集． (4)分段函數(shù)的圖象要分段來畫． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)任何一個函數(shù)都可以用列表法表示．(　　) (2)任何一個函數(shù)都可以用解析法表示．(　　) (3)分段函數(shù)是幾個函數(shù)，而不是一個函數(shù)．(　　) (4)函數(shù)的圖象可以是一條水平直線．(　　) (5)函數(shù)y＝1－|x|的圖象如圖．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．做一做 (1)已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．不存在 (2)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則f(x)的定義域是(　　) A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0) (3)已知反比例函數(shù)f(x)滿足f(3)＝－6，f(x)的解析式為________． (4)已知函數(shù)f(x)＝則f(3)＝________. (5)已知f(x)＝若f(x0)＝4，則x0＝________. 答案　(1)C　(2)C　(3)f(x)＝－　(4)1　(5)－2或1 題型一 函數(shù)的表示法 例1　某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y(單位：元)之間的函數(shù)關系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來． [解]　(1)列表法： (2)圖象法：如圖所示． (3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}． 金版點睛 理解函數(shù)的表示法的三個關注點 (1)列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法，無論用哪種方式表示函數(shù)，都必須滿足函數(shù)的概念． (2)判斷所給圖象、表格、解析式是否表示函數(shù)的關鍵在于是否滿足函數(shù)的定義． (3)函數(shù)的三種表示法互相兼容或補充，許多函數(shù)是可以用三種方法表示的，但在實際操作中，仍以解析法為主． 　已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出． 則f[g(1)]的值為________； 當g[f(x)]＝2時，x＝________. 答案　1　1 解析　由于函數(shù)關系是用表格形式給出的，知g(1)＝3， ∴f[g(1)]＝f(3)＝1； 由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1. 題型二 函數(shù)圖象的作法及應用 例2　作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域． (1)y＝，x∈[2，＋∞)； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]； (3)y＝ (4)y＝|x＋1|＋|x－3|. [解]　(1)列表： 畫圖象，當x∈[2，＋∞)時，圖象是反比例函數(shù)y＝的一部分(圖①)，觀察圖象可知其值域為(0,1]． (2)列表： 畫圖象，圖象是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分(圖②)．由圖可得函數(shù)的值域是[－1,8]． (3)函數(shù)y＝的圖象如圖③所示，觀察圖象，得函數(shù)的值域為(1，＋∞)． 　　 (4)將原函數(shù)式中的絕對值符號去掉，化為分段函數(shù)為y＝的圖象如圖④所示．觀察圖象，得函數(shù)的值域為[4，＋∞)． 金版點睛 作函數(shù)圖象的方法 (1)若函數(shù)是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，則可根據函數(shù)圖象特征描出圖象上的幾個關鍵點，直接畫出圖象即可，有些可能需要根據定義域進行取舍． (2)若函數(shù)是復合函數(shù)，則要按：①列表；②描點；③連線三個基本步驟作出函數(shù)的圖象. (3)對含有絕對值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應根據絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數(shù)轉化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象. (4)作分段函數(shù)的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，可先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏. 　作出下列函數(shù)圖象，并求其值域： (1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)； (3)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)． 解　(1)因為x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1,0,1,2}． 所以該函數(shù)圖象為一直線上的孤立點(如圖①)． 由圖象知，y∈{－1,0,1,2,3}． (2)因為y＝2(x－1)2－5， 所以當x＝0時，y＝－3；當x＝3時，y＝3； 當x＝1時，y＝－5. 因為x∈[0,3)，故圖象是一段拋物線(如圖②)． 由圖象可知，y∈[－5,3)． (3)用描點法可以作出函數(shù)的圖象如圖③. 由圖可知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域為(－∞，－1]∪[2，＋∞). 題型三 求函數(shù)的解析式 例3　(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知函數(shù)f(x＋1)＝x2－2x，求f(x)的解析式； (3)已知函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋2f＝x，求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (4)設f(x)是R上的函數(shù)，且滿足f(0)＝1，并且對任意的實數(shù)x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式． [解]　(1)設f(x)＝kx＋b(k≠0)， 則f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴解得或 ∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2)解法一(換元法)：令x＋1＝t，則x＝t－1，t∈R，可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3. 解法二(配湊法)：因為x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3. (3)在已知等式中，將x換成，得f＋2f(x)＝，與已知方程聯(lián)立，得 解得f(x)＝－＋. (4)解法一：由已知條件得f(0)＝1， 又f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)， 設y＝x，則f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)， 所以f(x)＝x2＋x＋1. 解法二：令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)， 即f(－y)＝1－y(－y＋1)， 將－y用x代換得f(x)＝x2＋x＋1. 金版點睛 函數(shù)解析式的求法 求函數(shù)解析式，關鍵是對基本方法的掌握，常用方法有配湊法、換元法、待定系數(shù)法、解方程(組)法、賦值法等． (1)配湊法：將形如f[g(x)]的函數(shù)的表達式配湊為關于g(x)的表達式，并整體將g(x)用x代換，即可求出函數(shù)f(x)的解析式．如由f(x＋1)＝(x＋1)2可得f(x)＝x2. (2)換元法：將函數(shù)f[g(x)]中的g(x)用t表示，則可求得x關于t的表達式，并將最終結果中的t用x代換，即可求得函數(shù)f(x)的解析式． (3)待定系數(shù)法：將已知類型的函數(shù)以確定的形式表達，并利用已知條件求出其中的參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式． 一次函數(shù)解析式為y＝ax＋b(a≠0)．二次函數(shù)解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (4)解方程(組)法：采用解方程或方程組的方法，消去不需要的函數(shù)式子，得到f(x)的表達式，這種方法也稱為消去法． (5)賦值法：利用恒等式將特殊值代入，求出特定函數(shù)的解析式．這種方法靈活性強，必須針對不同的類型選取不同的特殊值． 　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2，g(x)為一次函數(shù)，且一次項系數(shù)大于零，若f[g(x)]＝4x2－20x＋25，求g(x)的表達式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)； (4)設f(x)是R上的函數(shù)，f(0)＝1，并且對于任意的實數(shù)x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋y(2x＋1)，求f(x)． 解　(1)由g(x)為一次函數(shù)，設g(x)＝ax＋b(a>0)， ∵f[g(x)]＝4x2－20x＋25， ∴(ax＋b)2＝4x2－20x＋25， 即a2x2＋2abx＋b2＝4x2－20x＋25， 從而a2＝4,2ab＝－20，b2＝25， 解得a＝2，b＝－5，故g(x)＝2x－5(x∈R)． (2)解法一(配湊法)： ∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 解法二(換元法)： 令＋1＝t(t≥1)，則x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)． ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)將f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x中的x用－x替換，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.于是得到關于f(x)，f(－x)的方程組 解得f(x)＝x2－2x. (4)由已知條件得f(0)＝1，又f(x＋y)＝f(x)＋y(2x＋1)， 設y＝－x， 則f(x－x)＝f(x)＋(－x)(2x＋1)， ∴f(x)＝2x2＋x＋1. 題型四 根據圖象求分段函數(shù)的解析式 例4　根據如圖所示的函數(shù)f(x)的圖象，寫出函數(shù)的解析式． [解]　當－3≤x<－1時，設f(x)＝ax＋b(a≠0)，將點(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x－； 當－1≤x<1時，同理，可設f(x)＝cx＋d(c≠0)，將點(－1，－2)，(1,1)代入，可得f(x)＝x－； 當1≤x<2時，f(x)＝1. 所以f(x)＝ 金版點睛 由圖象求函數(shù)的解析式，需充分挖掘圖象中提供的點的坐標，合理利用待定系數(shù)法求解.對于分段函數(shù)，需觀察各段圖象的端點是空心點還是實心點，正確寫出各段解析式對應的自變量的范圍. 　已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是由圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成的，求此函數(shù)的解析式． 解　設左側的射線對應的解析式為y＝kx＋b(x≤1)． ∵點(1,1)，(0,2)在射線上， ∴解得 ∴左側射線對應的函數(shù)的解析式為y＝－x＋2(x≤1)． 同理，當x≥3時，函數(shù)的解析式為y＝x－2(x≥3)． 設拋物線的一部分對應的二次函數(shù)的解析式為y＝a(x－2)2＋2(1<x<3，a<0)． ∵點(1,1)在拋物線上，∴a＋2＝1，即a＝－1. ∴當1<x<3時，函數(shù)的解析式為y＝－x2＋4x－2(1<x<3)． 綜上，函數(shù)的解析式為y＝ 題型五 分段函數(shù)求值 例5　(1)設f(x)＝則f(5)的值是(　　) A．24 B．21 C．18 D．16 (2)設函數(shù)f(x)＝則f[f(3)]＝(　　) A. B．3 C. D. (3)已知函數(shù)f(x)＝若f(x)＝－3，則x＝________. [解析]　(1)f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21，f(5)＝f(21)＝24. (2)∵f(3)＝<1， ∴f[f(3)]＝2＋1＝. (3)若x≤1，由x＋1＝－3，得x＝－4. 若x>1，由1－x2＝－3，得x2＝4， 解得x＝2或x＝－2(舍去)． 綜上可得，所求x的值為－4或2. [答案]　(1)A　(2)D　(3)－4或2 金版點睛 1．求分段函數(shù)函數(shù)值的方法 (1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間． (2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止． 2．已知函數(shù)值求字母取值的步驟 (1)先對字母的取值范圍分類討論． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通過解方程求出字母的值． (4)檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內． 3．若題目是含有多層“f”的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理． 　(1)已知函數(shù)f(x)＝若f[f(0)]＝a，則實數(shù)a＝________； (2)已知f(x)＝求f{f[f(－3)]}． 答案　(1)　(2)見解析 解析　(1)依題意知f(0)＝3×0＋2＝2，則f[f(0)]＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝. (2)∵－3<0，∴f(－3)＝0， ∴f[f(－3)]＝f(0)＝π. 又π>0，∴f{f[f(－3)]}＝f(π)＝π＋1， 即f{f[f(－3)]}＝π＋1. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知函數(shù)y＝f(x)的對應關系如下表，函數(shù)y＝g(x)的圖象是如圖的曲線ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，則f[g(2)]的值為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　B 解析　由函數(shù)g(x)的圖象知，g(2)＝1，則f[g(2)]＝f(1)＝2. 2．下列圖形是函數(shù)y＝x|x|的圖象的是(　　) 答案　D 解析　∵f(x)＝分別畫出y＝x2(取x≥0部分)及y＝－x2(取x<0部分)即可． 3．對a，b∈R，記max{a，b}＝函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是(　　) A．0 B. C. D．3 答案　C 解析　分別作出y＝|x＋1|和y＝|x－2|的圖象，則實線部分為f(x)的圖象，由圖象可得，其最小值為.故選C. 4．如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中點A，B，C的坐標分別為(0,4)，(2,0)，(4,2)，則f{f[f(2)]}＝________，f(x)的值域是________． 答案　2　[0,4] 解析　∵f(2)＝0，∴f[f(2)]＝f(0)＝4， ∴f{f[f(2)]}＝f(4)＝2. 由圖象可知，f(x)的值域是[0,4]． 5．已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值． 解　由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋b. ∴ax＋1＋b＝3x＋2，∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1. - 12 -