2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 函數(shù) 1 生活中的變量關(guān)系 2 對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 2.3 映射學(xué)案 北師大版必修1

2.3映射學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.了解映射、一一映射的概念(重點(diǎn))2初步了解映射與函數(shù)間的聯(lián)系與區(qū)別(易混點(diǎn))3感受對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)和映射概念中的作用(重點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)映射的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2通過學(xué)習(xí)有關(guān)映射的概念提升邏輯推理素養(yǎng).閱讀教材P32的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題1映射的概念兩個(gè)非空集合A與B間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系f，而且對(duì)于A中的每一個(gè)元素x，B中總有唯一的一個(gè)元素y與它對(duì)應(yīng)，就稱這種對(duì)應(yīng)為從A到B的映射，記作f：AB.2像與原像的概念在映射f：AB中，A中的元素x稱為原像，B中的對(duì)應(yīng)元素y稱為x的像，記作f：xy.思考1：映射f：AB的原像集一定是A，像集一定是B嗎？提示原像集一定是A，像集不一定是B.當(dāng)B中存在元素沒有原像時(shí)，像集不是B.3一一映射的概念閱讀教材P33的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題一一映射是一種特殊的映射，它滿足：(1)A中每一個(gè)元素在B中都有唯一的像與之對(duì)應(yīng)；(2)A中的不同元素的像也不同；(3)B中的每一個(gè)元素都有原像思考2：對(duì)于一一映射f：AB，若A中有n個(gè)元素，則B中一定也有n個(gè)元素嗎？提示B中一定有n個(gè)元素4函數(shù)與映射的關(guān)系閱讀教材P33的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集，f是A到B的一個(gè)映射，那么映射f：AB就叫作A到B的函數(shù)即函數(shù)是一種特殊的映射，是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射思考3：f：學(xué)生該學(xué)生的學(xué)籍號(hào)，是映射，但它是函數(shù)嗎？提示不是函數(shù)，因?yàn)榧蠈W(xué)生不是數(shù)集1設(shè)集合A1,2,3，Ba，b，c，則從集合A到B的一一映射的個(gè)數(shù)為()A4 B6C9 D12B共6個(gè)2設(shè)AZ，B0,1，從A到B的映射是“求被2除的余數(shù)”，則A中元素3的像是_1因?yàn)?(2)×21，所以，3的像是1.3下列集合A到集合B的映射f不是函數(shù)的有_A1,0,1，B1,0,1，f：A中的數(shù)平方；A0,1，B1,0,1，f：A中的數(shù)開方；AN，BQ，f：A中的數(shù)取倒數(shù)當(dāng)xA時(shí)，yx2B，是函數(shù)，當(dāng)x1，y±1，不是函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，像不存在4設(shè)f：xax1為從集合A到B的映射，若f(2)3，則f(3)_.5由f(2)3，得2a13，解得a2，所以f(3)2×315.映射、一一映射的判斷【例1】已知集合Ax|0x3，By|0y1判斷下列對(duì)應(yīng)是否是集合A到集合B的映射，是否是一一映射，并說明理由(1)f：xyx；(2)f：xy(x2)2；(3)f：xy(x1)2.思路探究根據(jù)映射、一一映射的定義判斷解(1)因?yàn)?x3，所以0x1，所以對(duì)集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的像，所以對(duì)應(yīng)f：AB是集合A到集合B的映射對(duì)于集合B中的每一個(gè)元素y，由x3y及0y1，有03y3,0x3.即集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原像，且這樣的原像只有一個(gè)，所以對(duì)應(yīng)f：AB是一一映射；(2)因?yàn)?x3，所以2x21，所以0(x2)24，所以集合A中的某些元素，如x0，在集合B中沒有像，因此對(duì)應(yīng)f：AB不是映射，更不是一一映射；(3)因?yàn)?x3，所以1x12,0(x1)21，所以集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的像，所以對(duì)應(yīng)f：AB是映射對(duì)于集合A中的元素x0和x2，都對(duì)應(yīng)于集合B中的同一個(gè)元素，所以不是一一映射1映射應(yīng)滿足存在性：集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都有對(duì)應(yīng)元素；唯一性：集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)2一一映射，在對(duì)應(yīng)是映射的基礎(chǔ)上，若B中沒有剩余元素，且對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”，則為一一映射1下列集合A到集合B的對(duì)應(yīng)中是一一映射的為_(填序號(hào))AN，BZ，f：xyx；AR，BR，f：xy；A4，1,1,4，B2，1,1,2，f：xy±；A平面內(nèi)邊長(zhǎng)不同的等邊三角形，B平面內(nèi)半徑不同的圓，f：作等邊三角形的內(nèi)切圓是映射，不是一一映射，因?yàn)榧螧中有些元素(正整數(shù))沒有原像是映射，是一一映射不同的正實(shí)數(shù)有不同的唯一的倒數(shù)且仍是正實(shí)數(shù)，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)都存在倒數(shù)不是映射，因?yàn)榧螦中的元素(如4)對(duì)應(yīng)集合B中的兩個(gè)元素(2和2)是一一映射求像與原像【例2】設(shè)f：AB是一個(gè)映射，其中AB(x，y)|x，yR，f：(x，y)(xy，xy)(1)求A中元素(1,2)的像；(2)求B中元素(1,2)的原像思路探究從f：(x，y)(xy，xy)入手，其中(x，y)是原像，(xy，xy)是像解(1)當(dāng)x1，y2時(shí)，xy123，xy121.所以(1,2)的像是(3,1)(2)由得所以(1,2)的原像是.1(變條件)設(shè)AZ，Bx|x2n1，nZ，CR，且從A到B的映射是f：x2x1，從B到C的映射是g：y，則經(jīng)過兩次映射，A中元素1在C中的像為_f：12×111，g：1.2(變結(jié)論)已知f：xy|x|1是從集合R到R的一個(gè)映射，若b不是該映射的像，則b的取值范圍是_(，1)y|x|11，該映射的像集是1，)b的取值范圍是(，1)在求像和原像時(shí)要分清原像和像，特別注意原像到像的對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)A中元素求像，只需將原像代入對(duì)應(yīng)關(guān)系即可.對(duì)B中元素求原像，可先設(shè)出它的原像，然后利用對(duì)應(yīng)關(guān)系列出方程(組)求解.求映射個(gè)數(shù)探究問題1已知集合Aa，b，B1,2,3，試建立一個(gè)從A到B像集為1,2的映射提示：或2對(duì)于探究1中的集合A，B，可以建立多少個(gè)從A到B的映射？提示：像集分別為1，2，3的映射各1個(gè)；像集分別為1,2，1,3，2,3的映射各2個(gè)，所以，從A到B可以建立9個(gè)映射3對(duì)于探究1中的集合A，B，可以建立多少個(gè)從B到A的映射？提示：像集分別為a，b的映射各1個(gè)，像集為a，b的映射有6個(gè)，如下：所以，從B到A可以建立8個(gè)映射【例3】已知集合Aa，b，B1,2,3，映射f：AB，則滿足f(a)f(b)的映射有多少個(gè)？思路探究建立映射就是給原像找像，一種找法對(duì)應(yīng)一個(gè)映射，為了避免重與漏，可以按f(a)的可能取值分類尋找解因?yàn)閒(a)f(b)，所以，當(dāng)f(a)1時(shí)，f(b)1,2,3；當(dāng)f(a)2時(shí)，f(b)2,3；當(dāng)f(a)3時(shí)，f(b)3.所以，滿足條件的映射共6個(gè)1確定映射，就是給每個(gè)原像找像，每種找法對(duì)應(yīng)一個(gè)映射2對(duì)于求滿足某些特定要求的映射個(gè)數(shù)時(shí)，可將映射具體化、形象化(如列表、畫圖等)2設(shè)Aa，b，c，B1,0,1，若從A到B的映射滿足f(a)f(b)f(c)，求這樣的映射f的個(gè)數(shù)解列表如下：f(b)f(c)f(a)1011100101101由上表可知，所求的映射有7個(gè)1映射的特征(1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y與之對(duì)應(yīng)(2)唯一性：A中任意元素x在B中都有唯一元素y與之對(duì)應(yīng)(3)方向性：f：AB與f：BA一般是不同的映射2一一映射和映射的區(qū)別與聯(lián)系映射f：AB一一映射f：AB對(duì)應(yīng)方式“多對(duì)一”或“一對(duì)一”一對(duì)一原像B中的一些元素可能沒有原像B中的任何元素都有唯一的原像像A中的幾個(gè)元素可能對(duì)應(yīng)同一個(gè)像A中的任何元素都對(duì)應(yīng)不同的像方向性B到A不一定是映射B到A是一一映射1思考辨析(1)對(duì)于映射f：AB，集合B中的每一個(gè)元素都有原像()(2)若AZ，BQ，則f：xy是由集合A到集合B的映射()(3)f：xyx1是由自然數(shù)集到自然數(shù)集的一一映射()解析(1)×；(2)×， 0A，但沒有像；(3)×，0N，但沒有原像答案(1)×(2)×(3)×2若映射f：xyx1，則1的像是_當(dāng)x1時(shí)，y×11.3若映射f：xyx23x2，則2的原像是_1或4當(dāng)x23x22時(shí)，x1或4.所以，2的原像為1或4.4判斷下列對(duì)應(yīng)是否是從集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函數(shù)？(1)A平面內(nèi)的圓，B平面內(nèi)的矩形，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：“作圓的內(nèi)接矩形”；(2)ABZ，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：xyx1；(3)ABN，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：xy(x2)2.解(1)不是映射，(2)與(3)是映射，也是函數(shù)，其中(2)是一一映射- 7 -