2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān) 不等式選講學(xué)案 選修4-5
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2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān) 不等式選講學(xué)案 選修4-5
選修45 不等式選講
第1課時(shí) 絕對(duì)值不等式
含有絕對(duì)值的不等式的解法.
① 理解絕對(duì)值的幾何意義.
② 會(huì)解絕對(duì)值不等式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c.
③ 了解絕對(duì)值不等式:|x-c|+|x-b|≥a的解法.
1. (選修45P5例2改編)解不等式|2x-1|>3.
解:不等式|2x-1|>3可化為2x-1<-3或2x-1>3,解得x<-1或x>2.故不等式的解集為{x| x<-1或x>2}.
2. 已知|x-a|<b(a,b∈R)的解集為{x|2<x<4},求a-b的值.
解:由|x-a|<b,得a-b<x<a+b.又|x-a|<b(a,b∈R)的解集為{x|2<x<4},所以a-b=2.
3. 求不等式|2x+1|-|5-x|>0的解集.
解:原不等式化為|2x+1|>|5-x|,
兩邊同時(shí)平方得 4x2+4x+1>25-10x+x2,
即3x2+14x-24>0,
解得原不等式的解集為(-∞,-6)∪(,+∞).
4. (選修45P6例4改編)若存在實(shí)數(shù)x滿足不等式|x-4|+|x-3|<a,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:由絕對(duì)值不等式的幾何性質(zhì)知,|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1,所以函數(shù)y=|x-4|+|x-3|的最小值為1.因?yàn)樵坏仁接袑?shí)數(shù)解,所以a的取值范圍是(1,+∞).
5. 不等式|x+1|-|x-2|>k的解集為R,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解:(解法1)根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義,設(shè)數(shù)x,-1,2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P,A,B,則原不等式等價(jià)于PA-PB>k恒成立.∵ AB=3,即|x+1|-|x-2|≥-3,∴ 故當(dāng)k<-3時(shí),原不等式恒成立.即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,-3).
(解法2)令y=|x+1|-|x-2|,
則y=
作出y=的圖象(如圖),要使|x+1|-|x-2|>k恒成立,從圖象中可以看出,只要k<-3即可.即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,-3).
1. 不等式的基本性質(zhì)
① a>b?b<a;
② a>b,b>c?a>c;
③ a>b?a+c>b+c;
④ a>b,c>d?a+c>b+d;
⑤ a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc;
⑥ a>b>0,c>d>0?ac>bd;
⑦ a>b>0?an>bn(n∈N,且n>1);
⑧ a>b>0?>(n∈N,且n>1).
2. 含有絕對(duì)值的不等式的解法
① |f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<-a;
② |f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a.
3. 含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)
① |a|+|b|≥|a+b|;
② |a|-|b|≤|a+b|;
③ |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.
[備課札記](méi)
1 含絕對(duì)值不等式的解法
1 解不等式:|x-2|+x|x+2|>2.
解:當(dāng)x≤-2時(shí),不等式化為(2-x)+x(-x-2)>2,解得-3<x≤-2;
當(dāng)-2<x<2時(shí),不等式化為(2-x)+x(x+2)>2,解得-2<x<-1或0<x<2;
當(dāng)x≥2時(shí),不等式化為(x-2)+x(x+2)>2,解得x≥2.
所以原不等式的解集為{x|-3<x<-1或x>0}.
已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1) 當(dāng)a=-3時(shí),求不等式f(x)≥3的解集;
(2) 若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
解:(1) 當(dāng)a=-3時(shí),f(x)=
當(dāng)x≤2時(shí),由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;
當(dāng)2<x<3時(shí),f(x)≥3無(wú)解;
當(dāng)x≥3時(shí),由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.
所以f(x)≥3的解集為{x|x≤1或x≥4}.
(2) f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
當(dāng)x∈[1,2]時(shí),|x-4|-|x-2|≥|x+a|?
4-x-(2-x)≥|x+a|?
-2-a≤x≤2-a.
由條件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故滿足條件的a的取值范圍為[-3,0].
, 2 含絕對(duì)值不等式的運(yùn)用)
, 2) 已知x,y∈R,且|x+y|≤,|x-y|≤,求證:|x+5y|≤1.
證明:因?yàn)閨x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|.
由絕對(duì)值不等式的性質(zhì),得
|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|=3|x+y|+2|x-y|≤3×+2×=1.
即|x+5y|≤1.
變式訓(xùn)練
設(shè)函數(shù)f(x)=+|x-a|(a>0).
(1) 求證:f(x)≥2;
(2) 若f(3)<5,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(1) 證明:由a>0,有f(x)=+|x-a|≥=+a≥2,所以f(x)≥2.
(2) 解:f(3) =+|3-a|.
當(dāng)a>3時(shí),f(3) =a+,
由f(3) <5,得3<a<;
當(dāng)0<a≤3時(shí),f(3) =6-a+,
由f(3)<5,得<a≤3.
綜上,a的取值范圍是(,).
, 3 含絕對(duì)值不等式的綜合運(yùn)用)
, 3) 已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x-3|.
(1) 求不等式f(x)≤6的解集;
(2) 若關(guān)于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1) 原不等式等價(jià)于
或或
解得≤x≤2或-<x<或-1≤x≤-,即不等式的解集為{x|-1≤x≤2}.
(2) ∵ f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,∴ |a-1|>4,解此不等式得a<-3或a>5.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-3)∪(5,+∞).
變式訓(xùn)練
已知a>0,b>0,且a2+b2=,若a+b≤m恒成立.
(1) 求m的最小值;
(2) 若2|x-1|+|x|≥a+b對(duì)任意的a,b恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
解:(1) ∵ (a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,
∴ a+b≤3,當(dāng)且僅當(dāng)=,即時(shí)取等號(hào).
∵ a+b≤m恒成立,∴ m≥3.
故m的最小值為3.
(2) 要使2|x-1|+|x|≥a+b恒成立,
則2|x-1|+|x|≥3,
∴ 或或
∴ x≤-或x≥.
∴ x的取值范圍是∪.
1. (2017·蘇北四市期末)已知a,b,c為正實(shí)數(shù),+++27abc的最小值為m,解關(guān)于x的不等式|x+1|-2x<m.
解:因?yàn)閍,b,c>0,所以+++27abc≥3+27abc=+27abc≥2=18,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí),取等號(hào),
所以m=18.
所以不等式|x+1|-2x<m,即|x+1|<2x+18,
所以-2x-18<x+1<2x+18,解得x>-,
所以原不等式的解集為.
2. (2016·江蘇卷)設(shè)a>0,|x-1|<,|y-2|<,求證:|2x+y-4|<a.
證明:∵ |x-1|<,|y-2|<,∴ |2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×+=a.
3. (2017·蘇北四市期中) 設(shè)c>0,|x-1|<,|y-1|<,求證:|2x+y-3|<c.
證明:因?yàn)閨x-1|<,所以|2x-2|<,
故|2x+y-3|=|2x-2+y-1|≤|2x-2|+|y-1|<+=c,
故|2x+y-3|<c.
4. 已知一次函數(shù)f(x)=ax-2.
(1) 當(dāng)a=3時(shí),解不等式|f(x)|<4;
(2) 解關(guān)于x的不等式|f(x)|<4;
(3) 若不等式|f(x)|≤3對(duì)任意x∈[0,1]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1) 當(dāng)a=3時(shí),則f(x)=3x-2,
∴ |f(x)|<4?|3x-2|<4?-4<3x-2<4?-2<3x<6?-<x<2,
∴ 不等式的解集為.
(2) |f(x)|<4?|ax-2|<4?-4<ax-2<4?-2<ax<6,
當(dāng)a>0時(shí),不等式的解集為{x|-<x<};
當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為{x|<x<-}.
(3) |f(x)|≤3?|ax-2|≤3?-3≤ax-2≤3?-1≤ax≤5?
∵ x∈[0,1],∴ 當(dāng)x=0時(shí),不等式組恒成立;
當(dāng)x≠0時(shí),不等式組轉(zhuǎn)化為
∵ ≥5,≤-1,∴ -1≤a≤5.
∴ a的取值范圍為[-1,5].
1. ( 2017·蘇州期初)已知a≥2,x∈R.求證:|x-1+a|+|x-a|≥3.
證明:因?yàn)閨m|+|n|≥|m-n|,
所以|x-1+a|+|x-a|≥|x-1+a-(x-a)|=|2a-1|.
又a≥2,故|2a-1|≥3.
所以|x-1+a|+|x-a|≥3.
2. 設(shè)不等式|x-2|+|3-x|<a(a∈N*)的解集為A,且2∈A,?A.
(1) 求a的值;
(2) 求函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.
解:(1) 由題意得所以1<a≤2.
因?yàn)閍∈N*,所以a=2.
(2) 因?yàn)閨x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,
所以f(x)的最小值是4.
3. 已知實(shí)數(shù)x,y滿足:|x+y|<,|2x-y|<,求證:|y|<.
證明:因?yàn)?|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,
由題設(shè)知|x+y|<,|2x-y|<,
從而3|y|<+=,所以|y|<.
4. 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
解:不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,即|x-1|+|x-2|≤對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b恒成立,只要左邊恒小于或等于右邊的最小值即可.
因?yàn)閨a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,即≥2,
也就是的最小值為2,
于是|x-1|+|x-2|≤2,
由絕對(duì)值的意義得≤x≤.
1. |ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1) |ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c.
(2) |ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.
2. |x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
方法1:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;
方法2:利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;
方法3:通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.
第2課時(shí) 不等式證明的基本方法(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(理)210~214頁(yè))
重點(diǎn)考查證明不等式的基本方法,考查運(yùn)算能力和分析解決問(wèn)題的能力.
① 了解證明不等式的基本方法:比較法,綜合法,分析法,反證法,換元法,數(shù)學(xué)歸納法,放縮法.② 能用比較法,綜合法,分析法證明簡(jiǎn)單的不等式.
1. (選修45P12例2改編)若a,b∈{x|0<x<1},試比較ab+1與a+b的大小.
解:因?yàn)?<a<1,0<b<1,所以a-1<0,b-1<0.
所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0.
故ab+1>a+b.
2. 若a,b,c∈R*,且滿足a+b+c=2,求abc的最大值.
解:因?yàn)閍,b,c∈R*,所以2=a+b+c≥3,故abc≤.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)等號(hào)成立,
所以abc的最大值為.
3. 若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2+b2+c2=4,求3a+4b+5c的最大值.
解:由柯西不等式得(3a+4b+5c)2≤(a2+b2+c2)(9+16+25)=200,所以-10≤3a+4b+5c≤10,
所以3a+4b+5c的最大值為10.
4. 已知x>0,y>0,a∈R,b∈R.求證:≤.
證明:∵ x>0,y>0,∴ x+y>0,
∴ 要證≤,
即證(ax+by)2≤(x+y)(a2x+b2y),
即證xy(a2-2ab+b2)≥0,即證(a-b)2≥0.
而(a-b)2≥0顯然成立,
∴ ≤.
5. 已知a,b>0,a+b=2,x,y>0,求證:(ax+by)(bx+ay)≥4xy.
證明:已知(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+(a2+b2)·xy,且a,b,x,y>0,所以由均值不等式得ab(x2+y2)+(a2+b2)xy≥(a2+2ab+b2)xy=(a+b)2xy=4xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)取等號(hào).
1. 不等式證明的常用方法
(1) 比較法:比較法是證明不等式的一種最基本的方法,也是一種常用方法,基本不等式就是用比較法證得的.比較法有差值、比值兩種形式,但比值法必須考慮正負(fù).
比較法證明不等式的步驟:作差(商)、變形、判斷符號(hào).其中的變形主要方法是分解因式、配方,判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述.
(2) 綜合法:綜合法就是從題設(shè)條件和已經(jīng)證明過(guò)的基本不等式出發(fā),不斷用必要條件替換前面的不等式,直到推出要證明的結(jié)論,即為“由因?qū)Ч保谑褂镁C合法證明不等式時(shí),常常用到基本不等式.
(3) 分析法:分析法就是從所要證明的不等式出發(fā),不斷地用充分條件替換前面的不等式,直至推出顯然成立的不等式,即為“執(zhí)果索因”.
2. 不等式證明的其他方法和技巧
(1) 反證法
從否定結(jié)論出發(fā),經(jīng)過(guò)邏輯推理,導(dǎo)出矛盾,證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的,從而肯定結(jié)論是正確的證明方法.
(2) 放縮法
欲證A≥B,可通過(guò)適當(dāng)放大或縮小,借助一個(gè)或多個(gè)中間量,使得A≥C1≥C2≥…≥Cn≥B,利用傳遞性達(dá)到證明的目的.
(3) 數(shù)學(xué)歸納法
3. 柯西不等式的二維形式
(1) 柯西不等式的代數(shù)形式:設(shè)a1,a2,b1,b2均為實(shí)數(shù),則(a+a)(b+b)≥(a1b1+a2b2)2(當(dāng)且僅當(dāng)a1b2=a2b1時(shí),等號(hào)成立).
(2) 柯西不等式的向量形式:設(shè)α,β為平面上的兩個(gè)向量,則|α||β|≥|α·β|.
(3) 三角形不等式:設(shè)x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,那么+≥.
4. 柯西不等式的一般形式
設(shè)n為大于1的自然數(shù),ai,bi(i=1,2,…,n)為實(shí)數(shù),則ab≥,其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)==…=時(shí)成立(當(dāng)ai=0時(shí),約定bi=0,i=1,2,…,n).
5. 算術(shù)幾何平均不等式
≥(a1,a2,…,an∈R*),
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)成立.
, 1 用比較法證明不等式)
, 1)?。?017·南京、鹽城模擬)設(shè)a≠b,求證:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).
證明:a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2=(a2+b2-2ab)2=(a-b)4.
因?yàn)閍≠b,所以(a-b)4>0,
所以a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).
已知m,n是正數(shù),求證:+≥m2+n2.
證明:∵ +-m2-n2=+==,
又m,n均為正實(shí)數(shù),∴ ≥0,
∴ +≥m2+n2,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí),等號(hào)成立.
, 2 用分析法、綜合法證明不等式)
, 2) (2017·南通、泰州模擬)設(shè)x,y,z均為正實(shí)數(shù),且xyz=1,求證:++≥xy+yz+zx.
證明:因?yàn)閤,y,z均為正實(shí)數(shù),且xyz=1,
所以+xy≥=2yz,+yz≥=2xz,+xz≥=2xy.
所以++≥xy+yz+zx.
變式訓(xùn)練
已知a,b,c均為正數(shù).求證:a2+b2+c2+≥6.
證明:因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
同理++≥++,
故a2+b2+c2+≥ab+bc+ca+++≥6.
所以原不等式成立.
, 3 均值不等式的應(yīng)用)
, 3)?。?017·南通、揚(yáng)州、泰州模擬)已知a,b,c,d是正實(shí)數(shù),且abcd=1.求證:a5+b5+c5+d5≥a+b+c+d.
證明:因?yàn)閍,b,c,d是正實(shí)數(shù),且abcd=1,
所以a5+b+c+d≥4=4a?、?
同理b5+c+d+a≥4b ②,c5+d+a+b≥4c?、?,d5+a+b+c≥4d?、?,
將①②③④式相加并整理,即得a5+b5+c5+d5≥a+b+c+d.
變式訓(xùn)練
已知x,y,z均為正數(shù),求證:++≥++.
證明:因?yàn)閤,y,z均為正數(shù),
所以+≥≥.
同理可得+≥,+≥.
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時(shí),以上三式等號(hào)都成立.
將上述三個(gè)不等式左、右兩邊分別相加,并除以2,
得++≥++.
已知正數(shù)a,b,c滿足abc=1,求(a+2)(b+2)(c+2)的最小值.
解:∵ (a+2)(b+2)(c+2)=(a+1+1)(b+1+1)(c+1+1)≥3··3··3·=27·=27,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立,
∴ (a+2)(b+2)(c+2)的最小值為27.
, 4 柯西不等式的應(yīng)用)
, 4)?。?017·蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知a,b,c為正數(shù),且a+b+c=3,求++的最大值.
解:由柯西不等式可得
(++)2≤(12+12+12)·[()2+()2+()2]=3×12,
∴ ++≤6,當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí)取等號(hào).
∴ ++的最大值是6.
變式訓(xùn)練
求函數(shù)f(x)=5+的最大值.
解:函數(shù)定義域?yàn)閇0,4],且f(x)≥0.
由柯西不等式得[52+()2][()2+()2]≥(5·+·)2,
即27×4≥(5·+·)2,
所以5+≤6.
當(dāng)且僅當(dāng)·=5,即x=時(shí),取等號(hào).
所以函數(shù)f(x)=5+的最大值為6.
(2017·南京期末)求函數(shù)y=3sin x+2的最大值.
解:y=3sin x+2=3sin x+4.
由柯西不等式得y2=(3sin x+4)2≤(32+42)·(sin2x+cos2x)=25,
所以ymax=5,此時(shí)sin x=.
所以函數(shù)y=3sin x+2的最大值為5.
1. (2017·蘇州期中)已知a,b,c,d都是正實(shí)數(shù),且a+b+c+d=1,求證:+++≥.
證明:∵ [(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)]·≥(·+·+·+·)2=(a+b+c+d)2=1,
又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=5,
∴ +++≥.
2. (2017·南京、鹽城期末)若實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+2y+z=1,求x2+y2+z2的最小值.
解:由柯西不等式,得(x+2y+z)2≤(12+22+12)·(x2+y2+z2),
即x+2y+z≤·.
因?yàn)閤+2y+z=1,所以x2+y2+z2≥,
當(dāng)且僅當(dāng)==,即x=z=,y=時(shí)取等號(hào).
綜上,(x2+y2+z2)min=.
3. (2017·鎮(zhèn)江期末)已知a>0,b>0,求證:(a2+b2+ab)·(ab2+a2b+1)≥9a2b2.
證明:因?yàn)閍>0,b>0,由均值不等式知a2+b2+ab≥3=3ab,ab2+a2b+1≥3=3ab,所以兩式相乘可得(a2+b2+ab)·(ab2+a2b+1)≥9a2b2.
4. (2017·常州期末)已知x>0,y>0,且2x+y=6,求4x2+y2的最小值.
解:(解法1)根據(jù)柯西不等式得[(2x)2+y2](12+12)≥(2x+y)2,化簡(jiǎn)得4x2+y2≥18,
當(dāng)且僅當(dāng)2x=y(tǒng)=3,即x=,y=3時(shí)取等號(hào).
因此,當(dāng)x=,y=3時(shí),4x2+y2取得最小值18.
(解法2)由2x+y=6得y=6-2x;由x>0,y>0,得0<x<3.
因此4x2+y2=4x2+(6-2x)2=8x2-24x+36=8+18.
當(dāng)x=,y=3時(shí),4x2+y2取得最小值18.
5. 已知a,b,c>0,且++=1,求證:++≤.
證明:因?yàn)椋?,所以++=2.
由柯西不等式,得(++)(++)≥(++)2,
所以++≤.
1. 已知x1,x2,x3為正實(shí)數(shù),若x1+x2+x3=1,求證:++≥1.
證明:因?yàn)閤1,x2,x3為正實(shí)數(shù),
所以+x1++x2++x3≥2+2+2=2(x1+x2+x3)=2,
當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3時(shí)取等號(hào).所以++≥1.
2. 設(shè)a,b,c均為正數(shù), abc=1.求證:++≥++.
證明:由a,b,c均為正數(shù),根據(jù)均值不等式,得+≥,+≥,+≥.
將此三式相加,得2≥++,即++≥++.
由abc=1,則有=1.
所以++≥++=++.
3. (2017·蘇北三市模擬)已知a,b,c為正實(shí)數(shù),且a3+b3+c3=a2b2c2.求證:a+b+c≥3.
證明:因?yàn)閍3+b3+c3=a2b2c2≥3,所以abc≥3,
所以a+b+c≥3≥3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí),取等號(hào).
4. 已知a,b,c∈R,a2+2b2+3c2=6,求a+b+c的最大值.
解:由柯西不等式,得[a2+(b)2+(c)2]·≥(a+b+c)2.
因?yàn)閍2+2b2+3c2=6,所以(a+b+c)2≤11,
所以-≤a+b+c≤.
所以a+b+c的最大值為,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c=時(shí)取得.
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