2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第六講 解析幾何 微專題1 直線與圓學(xué)案 理

微專題1直線與圓命 題 者 說(shuō)考 題 統(tǒng) 計(jì)考 情 點(diǎn) 擊2018·全國(guó)卷·T6·直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用2018·北京高考·T7·點(diǎn)到直線距離的最值2017·全國(guó)卷·T10·直線與圓的位置關(guān)系2016·全國(guó)卷·T4·圓的方程、點(diǎn)到直線的距離1.圓的方程近兩年為高考全國(guó)課標(biāo)卷命題的熱點(diǎn)，需重點(diǎn)關(guān)注。此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式呈現(xiàn)。2.直線與圓的方程偶爾單獨(dú)命題，單獨(dú)命題時(shí)有一定的深度，對(duì)直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上。考向一 直線的方程【例1】(1)已知直線l1：(k3)x(4k)y10與直線l2：2(k3)x2y30平行，則k的值是()A1或3 B1或5C3或5 D1或2(2)在ABC中，A(1,1)，B(m，)(1<m<4)，C(4,2)，則當(dāng)ABC的面積最大時(shí)，m()A BC D解析(1)當(dāng)k4時(shí)，直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率存在，所以兩直線不平行；當(dāng)k4時(shí)，兩直線平行的一個(gè)必要條件是k3，解得k3或k5；但必須滿足(截距不等)才是充要條件，經(jīng)檢驗(yàn)知滿足這個(gè)條件。故選C。(2)由兩點(diǎn)間距離公式可得|AC|，直線AC的方程為x3y20，所以點(diǎn)B到直線AC的距離d，從而ABC的面積S|AC|d|m32|，又1<m<4，所以1<<2，所以當(dāng)，即m時(shí)，S取得最大值。故選B。答案(1)C(2)B直線方程應(yīng)用的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)求解兩條直線平行的問題時(shí)，在利用A1B2A2B10建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的情況。(2)求直線方程時(shí)應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式，同時(shí)要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意。 變|式|訓(xùn)|練1(2018·江門模擬)已知三條直線l1：4xy1，l2：xy0，l3：2xmy3，若l1關(guān)于l2對(duì)稱的直線與l3垂直，則實(shí)數(shù)m的值是()A8 B C8 D解析易知直線l1：4xy1關(guān)于直線l2：xy0對(duì)稱的直線方程為x4y1，又l3：2xmy3。故由題意得1×24×(m)0，所以m。故選D。答案D2(2018·河南名校聯(lián)考)已知m，n，a，bR，且滿足3m4n6,3a4b1，則的最小值為()AB C1 D解析此題可理解為點(diǎn)A(m，n)和點(diǎn)B(a，b)分別在直線l1：3x4y6與l2：3x4y1上，求A、B兩點(diǎn)距離的最小值，|AB|，因?yàn)閘1l2，所以|AB|min1。故選C。答案C考向二 圓的方程【例2】(1)(2018·珠海聯(lián)考)已知圓C與直線xy0及xy40都相切，圓心在直線xy0上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22(2)(2018·貴陽(yáng)摸底)過(guò)點(diǎn)M(2,2)的直線l與坐標(biāo)軸的正方向分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OAB的面積為8，則OAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_。解析(1)由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，a)，則有，即|a|a2|，解得a1。故圓心坐標(biāo)為(1，1)，半徑r，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)22。故選B。(2)解法一：設(shè)直線l的方程為1(a>0，b>0)，由直線l過(guò)點(diǎn)M(2,2)，得1，又SOABab8，所以a4，b4，不妨設(shè)A(4,0)，B(0,4)，OAB外接圓的方程為x2y2DxEyF0，則將O，A，B的坐標(biāo)分別代入得解得所以O(shè)AB外接圓的方程為x2y24x4y0，標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y2)28。解法二：設(shè)直線l的方程為1(a>0，b>0)，由直線l過(guò)點(diǎn)M(2,2)，得1。又SOABab8，所以a4，b4，所以O(shè)AB是等腰直角三角形，且M是斜邊AB的中點(diǎn)，則OAB外接圓的圓心是點(diǎn)M(2,2)，半徑|OM|2，所以O(shè)AB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x2)2(y2)28。答案(1)B(2)(x2)2(y2)28求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：通過(guò)已知條件，利用相應(yīng)的幾何知識(shí)求圓的圓心，半徑。(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)。 變|式|訓(xùn)|練1拋物線y24x與過(guò)其焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，則過(guò)M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_。解析由題意知，A(1,2)，B(1，2)，M(1,0)，AMB是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y24。答案(x1)2y242在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_。解析解法一：由題意得：半徑等于 ，當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)取等號(hào)，所以半徑最大為r，所求圓為(x1)2y22。解法二：直線mxy2m10，ym(x2)1恒過(guò)點(diǎn)M(2，1)，如圖，設(shè)C(1,0)，則M為切點(diǎn)時(shí)半徑最大，且rmax|CM|，所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y22。答案(x1)2y22考向三 直線與圓的位置關(guān)系微考向1：直線與圓的相交弦【例3】(1)已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|，則直線l的方程為_。(2)設(shè)直線xya0與圓x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若AOB為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a的值為()A± B± C±3 D±9解析(1)直線l的方程為ykx1，圓心C(2,3)到直線l的距離d，由R2d22得1，解得k2或，所求直線l的方程為y2x1或yx1。(2)由題意知：圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為2，則AOB的邊長(zhǎng)為2，所以AOB的高為，即圓心到直線xya0的距離為，所以，解得a±。故選B。答案(1)y2x1或yx1(2)B(1)直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過(guò)圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較。(2)弦長(zhǎng)的求解方法根據(jù)半徑，弦心距，半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形，構(gòu)成三者間的關(guān)系r2d2(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)，弦長(zhǎng)l2。根據(jù)公式：l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，x1，x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)，或根據(jù)l|y1y2|求解。求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解。 變|式|訓(xùn)|練(2018·合肥一模)設(shè)圓x2y22x2y20的圓心為C，直線l過(guò)(0,3)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則直線l的方程為()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x0，圓心到直線l的距離為d1，所以|AB|22，符合題意。當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx3，因?yàn)閳Ax2y22x2y20即(x1)2(y1)24，所以圓心為C(1,1)，圓的半徑r2，易知圓心C(1,1)到直線ykx3的距離d，因?yàn)閐22r2，所以34，解得k，所以直線l的方程為yx3，即3x4y120。綜上，直線l的方程為3x4y120或x0。故選B。答案B微考向2：直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用【例4】(1)(2018·全國(guó)卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2,6 B4,8C，3 D2，3(2)(2018·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P(cos，sin)到直線xmy20的距離。當(dāng)，m變化時(shí)，d的最大值為()A1 B2C3 D4解析(1)因?yàn)橹本€xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)。所以A(2,0)，B(0，2)，則|AB|2。因?yàn)辄c(diǎn)P在圓(x2)2y22上，所以圓心為(2,0)，則圓心到直線的距離d12。故點(diǎn)P到直線xy20的距離d2的取值范圍為，3。則SABP|AB|d2d22,6。故選A。(2)解法一：因?yàn)閏os2sin21，所以P點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，又xmy20表示過(guò)點(diǎn)(2,0)且斜率不為0的直線，如圖，可得點(diǎn)(1,0)到直線x2的距離即為d的最大值。故選C。解法二：由題意可得d，因?yàn)?sin()1，所以d，1，所以當(dāng)m0時(shí)，d取最大值3。故選C。答案(1)A(2)C利用圓的圖形特征求解有關(guān)距離的最值問題往往比一些常規(guī)的方法簡(jiǎn)單、便捷。 變|式|訓(xùn)|練1(2018·太原五中模擬)已知kR，點(diǎn)P(a，b)是直線xy2k與圓x2y2k22k3的公共點(diǎn)，則ab的最大值為()A15 B9C1 D解析由題意得，圓心到直線xy2k的距離d，且k22k3>0，解得3k1，因?yàn)?ab(ab)2(a2b2)4k2(k22k3)3k22k3，所以當(dāng)k3時(shí)，ab取得最大值9。故選B。答案B2(2018·山西晉中二模)由直線yx1上的一點(diǎn)P向圓(x3)2y21引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為_。解析設(shè)圓心M到直線yx1的距離為d，則d2，所以|PM|的最小值為2。所以切線長(zhǎng)l。則切線長(zhǎng)的最小值為。答案1(考向一)已知直線l1：ax(a2)y10，l2：xay20，其中aR，則“a3”是“l(fā)1l2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析直線l1l2的充要條件是a(a2)a0，所以a(a3)0，所以a0或a3。故選A。答案A2(考向二)(2018·安徽“江南十?！甭?lián)考)已知圓C的圓心在直線xy0上，圓C與直線xy0相切，且在直線xy30上截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的方程為_。解析因?yàn)樗髨A的圓心在直線xy0上，所以設(shè)所求圓的圓心為(a，a)。又因?yàn)樗髨A與直線xy0相切，所以半徑r|a|。又所求圓在直線xy30上截得的弦長(zhǎng)為，圓心(a，a)到直線xy30的距離d，所以d22r2，即2a2，解得a1，所以圓C的方程為(x1)2(y1)22。答案(x1)2(y1)223(考向三)(2018·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)調(diào)研)已知圓C1：(x2a)2y24和圓C2：x2(yb)21只有一條公切線，若a，bR且ab0，則的最小值為()A2 B4 C8 D9解析由題意可知，圓C1的圓心為(2a,0)，半徑為2，圓C2的圓心為(0，b)，半徑為1，因?yàn)閮蓤A只有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，所以21，即4a2b21。所以·(4a2b2)5529，當(dāng)且僅當(dāng)，且4a2b21，即a2，b2時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為9。故選D。答案D4(考向三)(2018·南寧、柳州聯(lián)考)過(guò)點(diǎn)(，0)作直線l與曲線y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于_。解析令P(，0)，如圖，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|·|OB|·sinAOBsinAOB，當(dāng)AOB90°時(shí)，AOB的面積取得最大值，此時(shí)過(guò)點(diǎn)O作OHAB于點(diǎn)H，則|OH|，于是sinOPH，易知OPH為銳角，所以O(shè)PH30°，則直線AB的傾斜角為150°，故直線AB的斜率為tan150°。答案5(考向三)某學(xué)校有2 500名學(xué)生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，為了了解學(xué)生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學(xué)生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a，b，且直線axby80與以A(1，1)為圓心的圓交于B，C兩點(diǎn)，且BAC120°，則圓C的方程為_。解析由題意，所以a40，b24，所以直線axby80，即5x3y10，A(1，1)到直線的距離為，因?yàn)橹本€axby80與以A(1，1)為圓心的圓交于B，C兩點(diǎn)，且BAC120°，所以r，所以圓C的方程為(x1)2(y1)2。答案(x1)2(y1)29