2020版高考數(shù)學一輪復習 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第1節(jié) 排列與組合教學案 理（含解析）新人教A版

第一節(jié)排列與組合考綱傳真1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.3.理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題.4.理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題1兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理條件完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結論完成這件事共有Nmn種不同的方法完成這件事共有Nmn種不同的方法2.排列、組合的定義排列的定義從n個不同元素中取出m(mn)個元素按照一定的順序排成一列組合的定義合成一組3.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數(shù)從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)公式An(n1)(n2)(nm1)C性質(zhì)An！，0！1CC，CCC基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列()(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事()(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的()(4)kCnC.()答案(1)×(2)(3)(4)2(教材改編)圖書館的一個書架有三層，第一層有3本不同的數(shù)學書，第二層有5本不同的語文書，第三層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取1本書，不同的取法有()A12B16C64 D120B書架上共有35816本不同的書，從中任取一本共有16種不同的取法，故選B.3(教材改編)用數(shù)字1,2,3,4,5組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為()A8 B24C48 D120C末位只能從2,4中選一個，其余的三個數(shù)字任意排列，故這樣的偶數(shù)共有AC4×3×2×248個故選C.4某市委從組織機關10名科員中選3人擔任駐村第一書記，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A85 B56C49 D28C法一(直接法)：甲、乙兩人均入選，有CC種方法，甲、乙兩人只有1人入選，有CC種方法，由分類加法計數(shù)原理，共有CCCC49種選法法二(間接法)：從9人中選3人有C種方法，其中甲、乙均不入選有C種方法，滿足條件的選排方法有CC843549種5將6名教師分到三所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有_種不同的分法360將6名教師分組，分3步完成：第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種取法；第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C種取法；第3步，余下的3名教師作為一組，有C種取法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有CCC60(種)取法將這三組教師分配到三所中學，有A6(種)分法，故共有60×6360(種)不同的分法兩個計數(shù)原理的綜合應用【例1】(1)從甲地到乙地每天有直達汽車4班，從甲到丙地，每天有5個班車，從丙地到乙地每天有3個班車，則從甲地到乙地不同的乘車方法有()A12種 B19種C32種 D60種(2)如圖，用6種不同的顏色分別給圖中A，B，C，D四塊區(qū)域涂色，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有()A400種 B460種C480種 D496種(1)B(2)C(1)分兩類：一類是直接從甲到乙，有n14種方法；另一類是從甲經(jīng)丙再到乙，可分為兩步，有n25×315種方法由分類計數(shù)原理可得：從甲到乙的不同乘車方法nn1n241519.故選B.(2)完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色當使用4種顏色時：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D有3種，完成此事共有6×5×4×3360種方法；當使用3種顏色時，A，D使用同一種顏色，從A，D開始，有6種方法，B有5種，C有4種，完成此事共有6×5×4120種方法由分類加法計數(shù)原理可知：不同的涂法有360120480(種)規(guī)律方法與兩個計數(shù)原理有關問題的解題策略(1)在綜合應用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步，但在分步時可能又會用到分類加法計數(shù)原理.(2)對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，化抽象為直觀. (1)五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數(shù)為_五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有_種(2)用0,1,2,3,4,5,6這7個數(shù)字可以組成_個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)(用數(shù)字作答)(1)4554(2)420(1)五名學生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學生落實，每個學生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法五名學生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性圖(1)(2)當末位數(shù)字是0時，如圖(1)所示，共有A個不同的四位偶數(shù)；圖(2)當末位數(shù)字是2或4或6時，如圖(2)所示，共有AAC個不同的四位偶數(shù)；即共有AAAC1205×5×4×3420個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)排列問題【例2】3名女生和5名男生排成一排(1)若女生全排在一起，有多少種排法？(2)若女生都不相鄰，有多少種排法？(3)若女生不站兩端，有多少種排法？(4)其中甲必須排在乙左邊(可不鄰)，有多少種排法？(5)其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有多少種排法？解(1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個整體，這樣同5名男生合在一起有6個元素，排成一排有A種排法，而其中每一種排法中，3名女生之間又有A種排法，因此共有A·A4 320種不同排法(2)(插空法)先排5名男生，有A種排法，這5名男生之間和兩端有6個位置，從中選取3個位置排女生，有A種排法，因此共有A·A14 400種不同排法(3)法一(位置分析法)：因為兩端不排女生，只能從5名男生中選2人排，有A種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有A種排法，因此共有A·A14 400種不同排法法二(元素分析法)：從中間6個位置選3個安排女生，有A種排法，其余位置無限制，有A種排法，因此共有A·A14 400種不同排法. (4)8名學生的所有排列共A種，其中甲在乙左邊與乙在甲左邊的各占，因此符合要求的排法種數(shù)為A20 160.(5)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置法一(特殊元素法)：甲在最右邊時，其他的可全排，有A種不同排法；甲不在最右邊時，可從余下6個位置中任選一個，有A種而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個中的任一個上，有A種，其余人全排列，共有A·A·A種不同排法由分類加法計數(shù)原理知，共有AA·A·A30 960種不同排法法二(特殊位置法)：先排最左邊，除去甲外，有A種排法，余下7個位置全排，有A種排法，但應剔除乙在最右邊時的排法A·A種，因此共有A·AA·A30 960種排法法三(間接法)：8名學生全排列，共A種，其中，不符合條件的有甲在最左邊時，有A種排法，乙在最右邊時，有A種排法，其中都包含了甲在最左邊，同時乙在最右邊的情形，有A種排法因此共有A2AA30 960種排法規(guī)律方法求解排列應用問題的六種常用方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法相隔問題把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法 (1)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A144 B120C72 D24(2)旅游體驗師小明受某網(wǎng)站邀請，決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為()A24 B18C16 D10(1)D(2)D(1)先把3把椅子隔開擺好，它們之間和兩端共有4個位置，再把3人帶椅子插放在4個位置，共有A24(種)方法故選D.(2)分兩種情況，第一種：最后體驗甲景區(qū)，則有A種可選的路線；第二種：不在最后體驗甲景區(qū)，則有C·A種可選的路線所以小李可選的旅游路線數(shù)為AC·A10.故選D.組合問題【例3】某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生當選；(2)兩隊長當選；(3)至少有一名隊長當選；(4)至多有兩名女生當選解(1)只有一名女生當選等價于有一名女生和四名男生當選故共有C·C350種(2)兩隊長當選，共有C·C165種(3)至少有一名隊長當選含有兩類：只有一名隊長當選，有兩名隊長當選故共有C·CC·C825種(或采用排除法：CC825(種)(4)至多有兩名女生當選含有三類：有兩名女生當選，只有一名女生當選，沒有女生當選故選法共有C·CC·CC966種規(guī)律方法組合問題的常見類型與處理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復雜時，逆向思維，間接求解. (1)某單位擬安排6位員工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天若6位員工中的甲不值9日，乙不值11日，則不同的安排方法共有()A30種 B36種C42種 D48種(2)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A232 B252C472 D484(1)C(2)C(1)若甲在11日值班，則在除乙外的4人中任選1人在11日值班，有C種選法，9日、10日有CC種安排方法，共有CCC24(種)安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有CCC種安排方法，共有12種安排方法；若甲、乙都在10日值班，則共有CC6(種)安排方法所以總共有2412642(種)安排方法(2)分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法共有CC264(種)；第二類，不含有紅色卡片，不同的取法共有C3C22012208(種)由分類加法計數(shù)原理知，不同的取法有264208472(種)排列、組合的綜合應用【例4】(1)將5名同學分到甲、乙、丙3個小組，若甲小組至少2人，乙、丙組至少1人，則不同的分配方案種數(shù)為()A80 B120C140 D50(2)如果一個三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1a2，且a2a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為()A240 B204C729 D920(1)A(2)A(1)先將5名同學分成3組，有兩種分配方案，一是三組人數(shù)分別為2,2,1，分組方法有15(種)，然后將有2人的兩組分給甲、乙或甲、丙，分配方法是15×(AA)60(種)；二是三組人數(shù)分別為3,1,1，分組方法有10(種)，然后將1人的兩組分給乙、丙兩組，分配方法是10×A20(種)故共有602080(種)(2)如果這個三位數(shù)含0，則0必在末位，共有這樣的凸數(shù)C個；如果這個三位數(shù)不含0，則這樣的凸數(shù)共有CAC個即共有2CCA240個規(guī)律方法1.排列組合綜合題思路，先選后排，先組合后排列.當有多個限制條件時，應以其中一個限制條件為標準分類，限制條件多時，多考慮用間接法，但需確定一個總數(shù).2.(1)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時，通常有三種類型：不均勻分組；均勻分組；部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法.(2)對于相同元素的“分配”問題，常用的方法是采用“隔板法”. (1)(2019·長春質(zhì)檢)要將甲、乙、丙、丁4名同學分到A，B，C三個班級中，要求每個班級至少分到一人，則甲被分到A班的分法種數(shù)為()A6 B12C24 D36(2)(2017·浙江高考)從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有_種不同的選法(用數(shù)字作答)(1)B(2)660(1)甲和另一個人一起分到A班有CA6種分法，甲一個人分到A班的方法有：CA6種分法，共有12種分法故選B.(2)法一：只有1名女生時，先選1名女生，有C種方法；再選3名男生，有C種方法；然后排隊長、副隊長位置，有A種方法由分步乘法計數(shù)原理，知共有CCA480(種)選法有2名女生時，再選2名男生，有C種方法；然后排隊長、副隊長位置，有A種方法由分步乘法計數(shù)原理，知共有CA180(種)選法所以依據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有480180660(種)不同的選法法二：不考慮限制條件，共有AC種不同的選法，而沒有女生的選法有AC種，故至少有1名女生的選法有ACAC840180660(種)1.(2017·全國卷)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A12種 B18種C24種 D36種D由題意可得其中1人必須完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得安排方式為C·C·A36(種)，或列式為C·C·C3××236(種)故選D.2(2016·全國卷)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A24 B18C12 D9B從E到G需要分兩步完成：先從E到F，再從F到G.從F到G的最短路徑，只要考慮縱向路徑即可，一旦縱向路徑確定，橫向路徑即可確定，故從F到G的最短路徑共有3條如圖，從E到F的最短路徑有兩類：先從E到A，再從A到F，或先從E到B，再從B到F.因為從A到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同，所以從A到F，從B到F最短路徑的條數(shù)都是3，所以從E到F的最短路徑有336(條)所以小明到老年公寓的最短路徑條數(shù)為6×318.3.(2018·全國卷)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_種(用數(shù)字填寫答案)16法一：可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有CC12(種)；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有CC4(種)根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少有1位女生入選的不同的選法有16種法二：從6人中任選3人，不同的選法有C20(種)，從6人中任選3人都是男生，不同的選法有C4(種)，所以至少有1位女生入選的不同的選法有20416(種)- 8 -