2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性教學案 理（含解析）新人教A版

第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 [考綱傳真]　1.結合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、正周期的含義， 會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性． 1．函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù) 奇函數(shù) 定義 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 圖象特征 關于y軸對稱 關于原點對稱 2.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù) 對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． (2)最小正周期 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期． [常用結論] 1．函數(shù)奇偶性的三個重要結論 (1)如果一個奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性． 2．周期性的幾個常用結論 對f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x，周期為T，則 (1) 若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a； (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a； (3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，則T＝a－b. [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．(　　) (2)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點．(　　) (3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關于直線x＝a對稱．(　　) (4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(　　) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x B　[A為奇函數(shù)，C，D為非奇非偶函數(shù)，B為偶函數(shù)，故選B.] 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是(　　) A．－ B. C. D．－ B　[依題意b＝0，且2a＝－(a－1)， ∴b＝0且a＝，則a＋b＝.] 4．(教材改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則當x＜0時，f(x)的解析式為(　　) A．f(x)＝x(1＋x) B．f(x)＝x(1－x) C．f(x)＝－x(1＋x) D．f(x)＝x(x－1) B　[當x＜0時，－x＞0， 又x≥0時，f(x)＝x(1＋x)， 故f(－x)＝－x(1－x)． 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x(1－x)，即f(x)＝x(1－x)，故選B.] 5．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，則f(8)的值為________． 0　[∵f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0， 又f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4. ∴f(8)＝f(0)＝0.] 函數(shù)的奇偶性及其應用 【例1】　(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝________. (2)判斷下列函數(shù)的奇偶性： ①f(x)＝＋； ②f(x)＝； ③f(x)＝ (1)－　[由f(－x)＝f(x)得ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax， 整理得ln＋2ax＝0. ∵＝＝e3x， ∴l(xiāng)n e3x＋2ax＝0， ∴2ax＝－3x，即(2a＋3)x＝0對任意x恒成立， 故2a＋3＝0，所以a＝－.] (2)[解]?、儆傻脁2＝3，解得x＝±， 即函數(shù)f(x)的定義域為{－，}， 從而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． ②由得定義域為(－1,0)∪(0,1)，關于原點對稱． ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝ ＝－＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)． ③顯然函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱． ∵當x＜0時，－x＞0， 則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 當x＞0時，－x＜0， 則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)． [規(guī)律方法]　判斷函數(shù)的奇偶性的兩種方法 (1)定義法： (2)圖象法： (1)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(　　) ①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x. A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ (2)(2019·湖北重點中學聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝(ex＋e－x)ln －1，若f(a)＝1，則f(－a)＝(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 (3)若函數(shù)f(x)＝x5＋ax3＋bsin x＋2在[－3,3]上的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________. (1)D　(2)D　(3)4　[(1)由奇函數(shù)的定義，f(－x)＝－f(x)驗證， ①f(|－x|)＝f(|x|)，故為偶函數(shù)； ②f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，為奇函數(shù)； ③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，為偶函數(shù)； ④f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，為奇函數(shù)． 綜上可知②④正確，故選D. (2)令g(x)＝f(x)＋1＝(ex＋e－x)ln ，則g(－x)＝(e－x＋ex)ln ＝－(ex＋e－x)ln ＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－f(a)－2＝－3，故選D. (3)令g(x)＝x5＋ax3＋bsin x，x∈[－3,3]， 則g(x)為奇函數(shù)，f(x)＝g(x)＋2， ∴M＝f(x)max＝g(x)max＋2， m＝f(x)min＝g(x)min＋2， ∴M＋m＝4.] 函數(shù)周期性、對稱性的應用 【例2】　(1)(2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 (2)(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2,2]上，f(x)＝則f(f(15))的值為________． (1)C　(2)　[(1)由f(1＋x)＝f(1－x)可知f(x)＝f(2－x)， 又f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(2＋x)， 故f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(x)， 即函數(shù)y＝f(x)是周期為4的周期函數(shù)． 又由題意可知f(0)＝0，f(1)＝2， 所以f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0. 又50＝12×4＋2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×0＋2＋0＝2.故選C. (2)由函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函數(shù)f(x)的最小正周期是4.因為在區(qū)間(－2,2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos ＝.] [規(guī)律方法]　(1)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉化到已知區(qū)間上，進而解決問題. (2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉化到已知區(qū)間的功能.在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期. (2019·泉州檢測)奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(1)＝2，則f(4)＋f(5)＝________. 2　[∵f(x＋1)為偶函數(shù)，f(x)是奇函數(shù)， ∴f(－x＋1)＝f(x＋1)， f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0， ∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2， ∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.] 函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 ?考法1　單調(diào)性與奇偶性結合 【例3】　函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)為減函數(shù)，且f(－1)＝1，若f(x－2)≥－1，則x的取值范圍是(　　) A．(－∞，3]　　 B．(－∞，1] C．[3，＋∞) D．[1，＋∞) A　[函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且是[0，＋∞)上的減函數(shù)，故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減．又f(－1)＝1，所以f(1)＝－1，因此f(x－2)≥－1?f(x－2)≥f(1)?x－2≤1?x≤3，所以x的取值范圍是(－∞，3]，故選A.] ?考法2　周期性與奇偶性結合 【例4】　(1)(2019·四川模擬)設奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋4)＝f(x)，當x∈[4,6]時f(x)＝2x＋1，則f(x)在區(qū)間[－2,0]上的表達式為(　　) A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1 C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1 (2)(2017·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________. (1)B　(2)6　[(1)當x∈[－2,0]時，－x∈[0,2]， ∴－x＋4∈[4,6]． 又∵當x∈[4,6]時，f(x)＝2x＋1， ∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1. 又∵f(x＋4)＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)的周期為T＝4， ∴f(－x＋4)＝f(－x)． 又∵函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝2－x＋4＋1， ∴當x∈[－2,0]時，f(x)＝－2－x＋4－1.故選B. (2)∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)， ∴f(x)是周期為6的周期函數(shù)， ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)． 又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， ∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.] ?考法3　奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合 【例5】　(2019·惠州調(diào)研)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，且滿足下列三個條件： ①對任意的x1，x2∈[4,8]，當x1＜x2時，都有＞0恒成立； ②f(x＋4)＝－f(x)； ③y＝f(x＋4)是偶函數(shù)． 若a＝f(7)，b＝f(11)，c＝f(2 018)，則a，b，c的大小關系正確的是(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜b＜a B　[由①知函數(shù)f(x)在區(qū)間[4,8]上為單調(diào)遞增函數(shù)；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為8，所以c＝f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝4對稱，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(2)＝f(6)．因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[4,8]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜c＜a，故選B.] [規(guī)律方法]　函數(shù)性質(zhì)綜合應用問題的常見類型及解題方法 (1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性. (2)周期性與奇偶性結合.此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解. (3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結合.解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解. (1)(2019·山師大附中模擬)函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在[3,5]上是(　　) A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先增后減的函數(shù) D．先減后增的函數(shù) (2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間[0，＋∞)上為增函數(shù)，且f＝0，則不等式f(x)＞0的解集為________． (1)D　(2)　[(1)已知f(x＋1)＝－f(x)，則函數(shù)周期T＝2，因為函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，在[－1,0]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)在[3,5]上是先減后增的函數(shù)．故選D. (2)由已知f(x)在R上為偶函數(shù)，且f＝0， ∴f(x)＞0等價于f(|x|)＞f， 又f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)， ∴|x|＞， 即x＞或x＜－.] 1．(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(　　) A．[－2,2]　　 B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] D　[∵f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)． ∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1. 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減， ∴－1≤x－2≤1， ∴1≤x≤3.故選D.] 2．(2014·全國卷Ⅰ)設函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù) C　[A：令h(x)＝f(x)·g(x)，則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(huán)(x)， ∴h(x)是奇函數(shù)，A錯． B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)， ∴h(x)是偶函數(shù)，B錯． C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，C正確． D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，則h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)， ∴h(x)是偶函數(shù)，D錯．] 3.(2017·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________. 12　[法一：令x＞0，則－x＜0. ∴f(－x)＝－2x3＋x2. ∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)． ∴f(2)＝2×23－22＝12. 法二：f(2)＝－f(－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.] 4．(2015·全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________. 1　[∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立， ∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴l(xiāng)n a＝0，即a＝1.] 5．(2014·全國卷Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________． (－1,3)　[∵f(x)是偶函數(shù)，∴圖象關于y軸對稱．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，則f(x)的大致圖象如圖所示， 由f(x－1)>0，得－2<x－1<2， 即－1<x<3.] - 9 -