2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8節(jié) 函數(shù)與方程教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

第八節(jié)　函數(shù)與方程 [考綱傳真]　結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù)． 1．函數(shù)的零點(diǎn) (1)定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)． (2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)． (3)零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0. 2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象 與x軸的交點(diǎn) (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點(diǎn) 零點(diǎn)個(gè)數(shù) 2 1 0 [常用結(jié)論] 1．f(a)·f(b)＜0是連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件． 2．若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，且f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(a)·f(b)＜0?函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上只有一個(gè)零點(diǎn)． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．(　　) (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)＜0.(　　) (3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．(　　) (4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0時(shí)沒有零點(diǎn)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　) A．(0,1)　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) C　[由題意得f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0， f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， f(4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0， ∴f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(2,3)．] 3．(教材改編)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對(duì)應(yīng)值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6 則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有(　　) A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) B　[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0， 故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,6]內(nèi)至少有3個(gè)零點(diǎn)．] 4．函數(shù)f(x)＝x－x的零點(diǎn)有________個(gè)． 1　[如圖所示，函數(shù)f(x)＝x－x的零點(diǎn)有1個(gè)．] 5．函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 　[∵函數(shù)f(x)的圖象為直線， 由題意可得f(－1)·f(1)＜0， ∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1， ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.] 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間 1．函數(shù)f(x)＝ln x－的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1)　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) B　[由題意知函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因?yàn)閒(1)＜0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2)．故選B.] 2．若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(　　) A．(a，b)和(b，c)內(nèi) B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi) C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi) A　[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0， 由函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理可知：在區(qū)間(a，b)(b，c)內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)； 又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)， 因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選A.] 3．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的零點(diǎn)在(k∈Z)內(nèi)，那么k＝________. 5　[∵f′(x)＝＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f＝ln －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零點(diǎn)在內(nèi)，則整數(shù)k＝5.] [規(guī)律方法]　判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法 (1)解方程，當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上來判斷. (2)利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷. (3)數(shù)形結(jié)合畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間內(nèi)是否有交點(diǎn)來判斷. 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 【例1】　(1)函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (1)D　(2)C　[依題意，在考慮x＞0時(shí)可以畫出函數(shù)y＝ln x與y＝x2－2x的圖象(如圖)，可知兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2x＋1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，綜上，函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)．故選D. (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即x＝0是函數(shù)f(x)的1個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng)x＞0時(shí)，令f(x)＝ex＋x－3＝0，則ex＝－x＋3，分別畫出函數(shù)y＝ex和y＝－x＋3的圖象，如圖所示，兩函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)． 根據(jù)對(duì)稱性知，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f(x)也有1個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.] [規(guī)律方法]　函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法 (1)直接求零點(diǎn)，令f(x)＝0，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)； (2)零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)； (3)利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù). (1)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知函數(shù)f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． (1)B　(2)3　[(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0， 可得|log0.5x|＝x. 設(shè)g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x. 在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖象一定有2個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)．故選B. (2)依題意得 由此解得 由g(x)＝0得f(x)＋x＝0， 該方程等價(jià)于① 或② 解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.因此，函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.] 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 【例2】　(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實(shí)數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則(　　) A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a) C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0 (2)已知函數(shù)f(x)＝其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________． (1)A　(2)(3，＋∞)　[(1)∵f(x)＝ex＋x－2， ∴f′(x)＝ex＋1＞0， 則f(x)在R上為增函數(shù)， 又f(0)＝e0－2＜0，f(1)＝e－1＞0， 且f(a)＝0，∴0＜a＜1.∵g(x)＝ln x＋x2－3， ∴g′(x)＝＋2x. 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)， 又g(1)＝ln 1－2＝－2＜0，g(2)＝ln 2＋1＞0，且g(b)＝0，∴1＜b＜2，∴a＜b， ∴故選A. (2)畫出f(x)的草圖如圖所示，若存在實(shí)數(shù)b，使得f(x)＝b有3個(gè)不同的根， 則4m－m2＜m，即m2－3m＞0， 又m＞0，解得m＞3.] [規(guī)律方法]　已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍. (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決. (3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解. (1)已知函數(shù)f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝ln x－1的零點(diǎn)依次為a，b，c，則(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c (2)函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) (1)A　(2)C　[(1)在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝ex，y＝ln x與y＝－x，y＝－1的圖象如圖所示． 由圖可知a＜b＜c， 故選A. (2)∵函數(shù)f(x)＝2x－－a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)＜0， ∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.] 1．(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,0)　　　 B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) C　[函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)＝－x－a有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝－x－a有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y＝－x－a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示， 由圖可知，－a≤1，解得a≥－1，故選C.] 2．(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點(diǎn)，則a＝(　　) A．－ B. C. D．1 C　[法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1， 令t＝x－1，則g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù)． ∵f(x)有唯一零點(diǎn)，∴g(t)也有唯一零點(diǎn)． 又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得a＝. 故選C. 法二：f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x. ex－1＋e－x＋1≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”． 又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”． 若a＞0，則a(ex－1＋e－x＋1)≥2a， 要使f(x)有唯一零點(diǎn)，則必有2a＝1，即a＝. 若a≤0，則f(x)的零點(diǎn)不唯一． 故選C.] - 7 -