2020版高考數(shù)學一輪復習 第7章 立體幾何 第6節(jié) 立體幾何中的向量方法教學案 理（含解析）北師大版

第六節(jié)立體幾何中的向量方法考綱傳真能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用1異面直線的夾角設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則a與b的夾角a，bl1與l2的夾角范圍0a，b0<關系cosa，bcos |cosa，b|2.直線與平面的夾角設直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線l與平面的夾角為，則sin |cosa，n|.3二面角(1)如圖，AB，CD是二面角­l­的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，(2)如圖，n1，n2分別是二面角­l­的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)點到平面的距離如圖所示，已知AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則B到平面的距離為|.基礎自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)兩直線的方向向量的夾角就是兩條直線的夾角()(2)直線的方向向量和平面的法向量的夾角就是直線與平面所成的角()(3)兩個平面的法向量的夾角是這兩個平面所成的二面角()(4)兩異面直線夾角的范圍是，直線與平面所成角的范圍是，二面角的范圍是0，()答案(1)×(2)×(3)×(4)2已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為()A.BC.或 D或Cm(0,1,0)，n(0,1,1)，m·n1，|m|1，|n|，cosm，n，m，n.兩平面所成的二面角為或，故選C.3.如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點，則B1M與D1N夾角的余弦值為()A. BC. DA以D為原點建立空間直角坐標系D­xyz，如圖，設AB2，則N(1,0,0)，D1(0,0,2)，M(1,1,0)，B1(2,2,2)，(1，1，2)，(1,0，2)，·143，|，|，cos，0，B1M與D1N夾角的余弦值為.故選A.4已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，則l與的夾角為_設l與所成的角為，則sin |cosm，n|，又，.5過正方形ABCD的頂點A作線段PA平面ABCD，若ABPA，則平面ABP與平面CDP所成的銳二面角為_45°如圖，建立空間直角坐標系，設ABPA1，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由題意，AD平面PAB，設E為PD的中點，連接AE，則AEPD，又CD平面PAD，CDAE，從而AE平面PCD(0,1,0)，分別是平面PAB，平面PCD的法向量，且，45°.故平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為45°.求異面直線的夾角1已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABC120°，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1夾角的余弦值為()A.BC. DC在平面ABC內(nèi)過點B作AB的垂線，以B為原點，以該垂線，BA，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系B­xyz，則A(0,2,0)，B1(0,0,1)，C，C1，(0，2,1)，cos，故選C.2.如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60°.(1)求證：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB與AC夾角的余弦值解(1)證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以ACBD因為PA平面ABCD，所以PABD又因為ACPAA，所以BD平面PAC.(2)設ACBDO.因為BAD60°，PAAB2，所以BO1，AOCO.如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系Oxyz，則P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)設PB與AC所成角為，則cos .即PB與AC夾角的余弦值為.規(guī)律方法用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系；(2)確定異面直線上兩個點的坐標，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線夾角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值求直線與平面的夾角【例1】(2018·合肥一模)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，BFDE，M為棱AE的中點(1)求證：平面BDM平面EFC；(2)若DE2AB，求直線AE與平面BDM夾角的正弦值解(1)連接AC，交BD于點N，連接MN，則N為AC的中點，又M為AE的中點，MNEC.MN平面EFC，EC平面EFC，MN平面EFC.BF，DE都垂直底面 ABCD，BFDE.BFDE，四邊形BDEF為平行四邊形，BDEF.BD平面EFC，EF平面EFC，BD平面EFC.又MNBDN，平面BDM平面EFC.(2)DE平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，DA，DC，DE兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系D­xyz.設AB2，則DE4，從而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A( 2,0,0)，E(0,0,4)，(2,2,0)，(1,0,2)，設平面BDM的法向量為n(x，y，z)，則得令x2，則y2，z1，從而n(2，2，1)為平面BDM的一個法向量(2,0,4)，設直線AE與平面BDM所成的角為，則sin |cosn，|，直線AE與平面BDM夾角的正弦值為.規(guī)律方法利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角 如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，ABAA12，點P，Q分別為A1B1，BC的中點(1)求異面直線BP與AC1夾角的余弦值；(2)求直線CC1與平面AQC1夾角的正弦值解如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，設AC，A1C1的中點分別為O，O1，連接OB，OO1，則OBOC，OO1OC，OO1OB，如圖所示，建立空間直角坐標系O­xyz.因為ABAA12，所以A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)(1)因為P為A1B1的中點，所以P，從而，(0,2,2)，故|cos，|.因此，異面直線BP與AC1夾角的余弦值為.(2)因為Q為BC的中點，所以Q，因此，(0,2,2)，(0,0,2)設n(x，y，z)為平面AQC1的法向量，則即不妨取n(，1,1)設直線CC1與平面AQC1所成角為，則sin |cos，n|，所以直線CC1與平面AQC1夾角的正弦值為.求二面角【例2】(2018·湖北二模)如圖1，等腰直角三角形ABC的底邊AB2，點D在線段AC上，DEAB于點E，現(xiàn)將ADE沿DE折起到PDE的位置(如圖2) 圖1圖2(1)求證：PBDE；(2)若PEBE，直線PD與平面PBC的夾角為30°，求平面PDE與平面PBC所成的銳二面角的正弦值解(1)證明：DEPE，DEBE，PEBEE，DE平面PBE，又PB平面PBE，PBDE.(2)由題知DEPE，DEEB，且PEEB，DE，BE，PE兩兩互相垂直分別以，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系E­xyz.設|PE|a(0a1)，則B(0,2a,0)，D(a,0,0)，C(1,1a,0)，P(0,0，a)，(0,2a，a)，(1，1,0)設平面PBC的法向量為n(x，y，z)，則平面PBC的一個法向量為n(a，a,2a)，直線PD與平面PBC的夾角為30°，且(a,0，a)，sin 30°，a2(舍)或a.平面PBC的一個法向量為n.易知平面PDE的一個法向量為m(0,1,0)，設所求的銳二面角為，則cos ，所以sin ，即平面PDE與平面PBC所成的銳二面角的正弦值為.規(guī)律方法利用向量計算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳(鈍)二面角(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小 (2019·南昌重點中學聯(lián)考)如圖，四邊形ABCD是矩形，沿對角線AC將ACD折起，使得點D在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在邊AB上(1)求證：平面ACD平面BCD；(2)當2時，求二面角D­AC­B的余弦值解(1)證明：如圖，設點D在平面ABC內(nèi)的射影為點E，連接DE，則DE平面ABC，所以DEBC.因為四邊形ABCD是矩形，所以ABBC，所以BC平面ABD，所以BCAD又ADCD，所以AD平面BCD，而AD平面ACD，所以平面ACD平面BCD(2)以點B為原點，線段BC所在的直線為x軸，線段AB所在的直線為y軸，建立空間直角坐標系，如圖所示設ADa，則AB2a，所以A(0，2a,0)，C(a,0,0)由(1)知ADBD，又2，所以DBA30°，DAB60°，所以AEADcosDABa，BEABAEa，DEADsinDABa，所以D，所以，(a,2a,0)設平面ACD的法向量為m(x，y，z)，則即取y1，則x2，z，所以m.因為平面ABC的一個法向量為n(0,0,1)，所以cosm，n.所以二面角D­AC­B的余弦值為.1(2018·全國卷)如圖所示，在三棱錐P­ABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O為AC的中點(1)證明：PO平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且二面角M­PA­C為30°，求PC與平面PAM夾角的正弦值解(1)證明：因為APCPAC4，O為AC的中點，所以OPAC，且OP2.連接OB因為ABBCAC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB由OPOB，OPAC，OBACO，知PO平面ABC.(2)如圖，以O為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系O­xyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，(0,2,2)取平面PAC的一個法向量(2,0,0)設M(a,2a,0)(0a2)，則(a,4a,0)設平面PAM的法向量為n(x，y，z)由·n0，·n0得可取n(a4)，a，a)，所以cos，n.由已知可得|cos，n|，所以，解得a4(舍去)或a，所以n.又(0,2，2)，所以cos，n.所以PC與平面PAM夾角的正弦值為.2(2016·全國卷)如圖所示，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB5，AC6，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置，OD.(1)證明：DH平面ABCD；(2)求二面角B­DA­C的正弦值解(1)證明：由已知得ACBD，ADCD又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，從而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD(2)如圖，以H為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，建立空間直角坐標系H­xyz，則H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)，(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)設m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，則即所以可取m(4,3，5)設n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，則即所以可取n(0，3,1)于是cosm，n，sinm，n.因此二面角B­DA­C的正弦值是.- 12 -