2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第二節(jié)　基本不等式 [考綱傳真]　1.了解基本不等式的證明過程.2.會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． 1．基本不等式≥ (1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0. (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b. 2．幾個(gè)重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)＋≥2(a，b同號(hào)且不為零)； (3)ab≤ (a，b∈R)； (4)≤(a，b∈R)． 3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 4．利用基本不等式求最值問題 已知x>0，y>0，則 (1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是(簡記：和定積最大)． 重要不等式鏈 若a≥b＞0，則a≥≥≥≥≥b. [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝x＋的最小值是2． (　　) (2)函數(shù)f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4． (　　) (3)x>0，y>0是＋≥2的充要條件． (　　) (4)若a>0，則a3＋的最小值為2． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)設(shè)x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(　　) A．80　 B．77　　　C．81　　　D．82 C　[xy≤＝81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時(shí)，等號(hào)成立．故選C．] 3．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2 C．＋> D．＋≥2 D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，當(dāng)a<0，b<0時(shí)，明顯錯(cuò)誤． 對(duì)于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.] 4．若x＞1，則x＋的最小值為________． 5　[x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝5， 當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝3時(shí)等號(hào)成立．] 5．若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＝1，則x2＋2y2的最小值為________． 2　[由xy＝1得x2＋2y2≥2＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)x2＝2y2時(shí)等號(hào)成立．] 利用基本不等式求最值 ?考法1　直接法或配湊法求最值 【例1】　(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________． (2)已知x＜，則f(x)＝4x－2＋的最大值為________． (1)　(2)1　[(1)由題知a－3b＝－6，因?yàn)?a＞0,8b＞0，所以2a＋≥2×＝2×＝，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝，即a＝－3b，a＝－3，b＝1時(shí)取等號(hào)． (2)因?yàn)閤＜，所以5－4x＞0， 則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立． 故f(x)＝4x－2＋的最大值為1.] ?考法2　常數(shù)代換法求最值 【例2】　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則＋的最小值為________． 4　[因?yàn)閍＋b＝1， 所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．] [拓展探究]　(1)若本例條件不變，求的最小值； (2)若將本例條件改為a＋2b＝3，如何求解＋的最小值． [解]　(1) ＝ ＝· ＝5＋2≥5＋4＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號(hào)成立． (2)因?yàn)閍＋2b＝3，所以a＋b＝1. 所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． [規(guī)律方法]　利用基本不等式求最值的三種思路 利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有三種思路： (1)利用基本不等式直接求解． (2)對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解．常用的方法有：拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等． (3)條件變形，進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值． (1)若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于(　　) A．1＋　　 B．1＋ C．3 D．4 (2)(2018·平頂山模擬)若對(duì)于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)≤ (3)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＝2，則＋的最小值為________． (1)C　(2)A　(3)　[(1)當(dāng)x>2時(shí)，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝(x>2)，即x＝3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，即a＝3，選C． (2)由x＞0，得＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立．則a≥，故選A． (3)∵正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＝2， 則＋＝(2x＋y) ＝≥ ＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)取等號(hào)． ∴＋的最小值為.] 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 【例3】　某廠家擬定在2018年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m(m≥0)萬元滿足x＝3－(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動(dòng)，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2018年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)． (1)將2018年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)； (2)該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤最大？ [解]　(1)由題意知，當(dāng)m＝0時(shí)，x＝1(萬件)， 所以1＝3－k?k＝2，所以x＝3－， 每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×(元)，所以 2018年的利潤y＝1.5x×－8－16x－m ＝－＋29(m≥0)． (2)因?yàn)閙≥0，＋(m＋1)≥2＝8， 所以y≤－8＋29＝21，當(dāng)且僅當(dāng)＝m＋1?m＝3(萬元)時(shí)，ymax＝21(萬元)． 故該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大為21萬元． [規(guī)律方法]　利用基本不等式解決實(shí)際問題的3個(gè)注意點(diǎn) (1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)． (2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值． (3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解． 經(jīng)市場調(diào)查，某旅游城市在過去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人數(shù)f(t)(萬人)近似地滿足f(t)＝4＋，而人均消費(fèi)g(t)(元)近似地滿足g(t)＝120－|t－20|. (1)求該城市的旅游日收益W(t)(萬元)與時(shí)間t(1≤t≤30，t∈N*)的函數(shù)關(guān)系式； (2)求該城市旅游日收益的最小值． [解]　(1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|) ＝ (2)當(dāng)t∈[1,20]時(shí)，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5時(shí)取最小值)． 當(dāng)t∈(20,30]時(shí)，因?yàn)閃(t)＝559＋－4t遞減， 所以t＝30時(shí)，W(t)有最小值W(30)＝443， 所以t∈[1,30]時(shí)，W(t)的最小值為441萬元． - 7 -