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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學(xué)案 理(含解析)北師大版

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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學(xué)案 理(含解析)北師大版

第二節(jié)基本不等式考綱傳真1.了解基本不等式的證明過程.2.會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題1基本不等式:(1)基本不等式成立的條件:a0,b0.(2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)(3)其中稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)2兩個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a,bR),當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)(2)ab2(a,bR),當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)3利用基本不等式求最值已知x0,y0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí),xy有最小值是2(簡記:積定和最小)(2)如果和xy是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí),xy有最大值是(簡記:和定積最大)1.2(a,b同號(hào)),當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)2ab2.3.(a0,b0)基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)不等式a2b22ab與成立的條件是相同的()(2)函數(shù)yx的最小值是2.()(3)函數(shù)f(x)sin x,x(0,)的最小值為4.()(4)x0且y0是2的充要條件()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2(教材改編)設(shè)x0,y0,且xy18,則xy的最大值為()A80B77C81D82Cx0,y0,即xy281,當(dāng)且僅當(dāng)xy9時(shí),(xy)max81.3若直線1(a0,b0)過點(diǎn)(1,1),則ab的最小值等于()A2 B3 C4 D5C由題意得1.又a0,b0,ab(ab)2224.當(dāng)且僅當(dāng),即ab2時(shí)等號(hào)成立,故選C.4若函數(shù)f(x)x(x>2)在xa處取最小值,則a等于()A1 B1C3 D4C當(dāng)x>2時(shí),x2>0,f(x)(x2)2224,當(dāng)且僅當(dāng)x2(x>2),即x3時(shí)取等號(hào),即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí),x3,即a3,選C.5(教材改編)若把總長為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場地,則矩形場地的最大面積是_m2.25設(shè)矩形的一邊為x m,矩形場地的面積為y,則另一邊為×(202x)(10x)m,則yx(10x)225,當(dāng)且僅當(dāng)x10x,即x5時(shí),ymax25.利用基本不等式求最值考法1配湊法求最值【例1】(1)設(shè)0x2,則函數(shù)y的最大值為()A2BC.D(2)若x,則f(x)4x2的最大值為_(1)D(2)1(1)0x2,42x0,x(42x)×2x(42x)×2×42.當(dāng)且僅當(dāng)2x42x,即x1時(shí)等號(hào)成立即函數(shù)y的最大值為.(2)因?yàn)閤,所以54x0,則f(x)4x2323231.當(dāng)且僅當(dāng)54x,即x1時(shí),等號(hào)成立故f(x)4x2的最大值為1.考法2常數(shù)代換法求最值【例2】已知x>0,y>0,且2x8yxy0,求:(1)xy的最小值;(2)xy的最小值解(1)由2x8yxy0,得1,又x>0,y>0,則12 ,得xy64,當(dāng)且僅當(dāng)x4y,即x16,y4時(shí)等號(hào)成立故xy的最小值為64.(2)法一:(消元法)由2x8yxy0,得x,因?yàn)閤0,y0,所以y2,則xyy(y2)1018,當(dāng)且僅當(dāng)y2,即y6,x12時(shí)等號(hào)成立故xy的最小值為18.法二:(常數(shù)代換法)由2x8yxy0,得1,則xy·(xy)10102 18,當(dāng)且僅當(dāng)y6,x12時(shí)等號(hào)成立,故xy的最小值為18.規(guī)律方法(1)利用配湊法求最值,主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式(2)常數(shù)代換法主要解決形如“已知xyt(t為常數(shù)),求的最值”的問題,先將轉(zhuǎn)化為·,再用基本不等式求最值注意:應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提:“一正”“二定”“三相等” (1)已知x0,y0,x3yxy9,則x3y的最小值為_(2)(2019·皖南八校聯(lián)考)函數(shù)yloga(x4)1(a0,a1)的圖像恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線1上,且m0,n0,則3mn的最小值為()A13 B16C116 D28(1)6(2)B(1)x0,y0,x3yxy9,9(x3y)xy×x×3y×2,當(dāng)且僅當(dāng)x3y時(shí),等號(hào)成立,由因?yàn)閤0,y0,計(jì)算得出x3y的最小值為6.(2)函數(shù)yloga(x4)1(a0,a1)的圖像恒過A(3,1),由點(diǎn)A在直線1上可得,1,即1,故3mn(3mn)103,因?yàn)閙0,n0,所以22(當(dāng)且僅當(dāng),即mn時(shí)取等號(hào)),故3mn103103×216,故選B利用基本不等式解決實(shí)際問題【例3】隨著社會(huì)的發(fā)展,汽車逐步成為人們的代步工具,家庭轎車的持有量逐年上升,交通堵塞現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生,據(jù)調(diào)查某段公路在某時(shí)段內(nèi)的車流量y(單位:千輛/時(shí))與汽車的平均速度v(單位:千米/時(shí))之間有函數(shù)關(guān)系:y(v0)(1)在該時(shí)段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)車流量y最大?最大車流量約為多少?(結(jié)果保留兩位小數(shù))(2)為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量至少為10千輛/時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?解(1)由題知,v0,則y,當(dāng)且僅當(dāng)v,即v40時(shí)取等號(hào)所以ymax10.23.故當(dāng)v40時(shí),車流量y最大,最大約為10.23千輛/時(shí)(2)由y10,得1,即90vv28v1 600,整理得v282v1 6000,即(v32)(v50)0,解得32v50.所以為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量至少為10千輛/時(shí),汽車的平均速度應(yīng)大于等于32千米/時(shí)且小于等于50千米/時(shí)規(guī)律方法解實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后,只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時(shí),一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解. 要制作一個(gè)容積為4 m3,高為1 m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元,則該容器的最低總造價(jià)是()A80元 B120元 C160元 D240元C設(shè)底面相鄰兩邊的邊長分別為x m,y m,總造價(jià)為T元,則xy·14xy4.T4×20(2x2y)×1×108020(xy)8020×28020×4160(當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào))故該容器的最低總造價(jià)是160元基本不等式的綜合應(yīng)用【例4】(1)已知a0,b0,若不等式恒成立,則m的最大值為()A9 B12 C18 D24(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差是d,其前n項(xiàng)和是Sn(nN*),若a1d1,則的最小值是_(1)B(2)(1)由,得m(a3b)6.又62612(當(dāng)且僅當(dāng),即a3b時(shí)等號(hào)成立),m12,m的最大值為12.(2)ana1(n1)dn,Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n4時(shí)取等號(hào)的最小值是. (1)當(dāng)xR時(shí),32x(k1)3x20恒成立,則k的取值范圍是()A(,1)B(,21)C(1,21) D(21,21)(2)已知函數(shù)f(x)|lg x|,ab0,f(a)f(b),則的最小值等于_(1)B(2)2(1)由32x(k1)·3x20,解得k13x.3x0,3x2(當(dāng)且僅當(dāng)3x,即xlog3時(shí),等號(hào)成立),3x的最小值為2.又當(dāng)xR時(shí),32x(k1)3x20恒成立,當(dāng)xR時(shí),k1min,即k12,即k21.(2)由f(x)|lg x|,且f(a)f(b)可知|lg a|lg b|,又ab0,lg alg b,即lg ab0,ab1.(ab)2,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立,的最小值為2.- 8 -

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