2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線方程教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第一節(jié)　直線的傾斜角與斜率、直線方程 [考綱傳真]　1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系． 1．直線的傾斜角 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時(shí)針?lè)较蚶@著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，它的傾斜角為0°. (2)傾斜角的范圍為0°≤α＜180°. 2．斜率公式 (1)直線l的傾斜角為α≠90°，則斜率k＝tan α，當(dāng)α＝90°時(shí)，直線斜率不存在． (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝. 3．直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 ＝ 不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面內(nèi)所有直線都適用 牢記傾斜角α與斜率k的關(guān)系 (1)當(dāng)α∈且由0增大到時(shí)，k的值由0增大到＋∞. (2)當(dāng)α∈時(shí)，k也是關(guān)于α的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)α在此區(qū)間內(nèi)由增大到π(α≠π)時(shí)，k的值由－∞趨近于0(k≠0)． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置． (　　) (2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率． (　　) (3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大． (　　) (4)過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示． (　　) (5)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．(教材改編)若過(guò)點(diǎn)M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為(　　) A．1　　　　B．4　　　　C．1或3　　　　D．1或4 A　[由題意得＝1，解得m＝1.] 3．直線x－y＋a＝0的傾斜角為(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° B　[設(shè)直線的傾斜角為α，則tan α＝，∵0°≤α＜180°，∴α＝60°.] 4．(教材改編)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是(　　) A．x＋y＝2 B．x＋y＝1 C．x＝1或y＝1 D．x＋y＝2或x＝y(tǒng) D　[若直線過(guò)原點(diǎn)，則直線為y＝x，符合題意，若直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線為＋＝1，代入點(diǎn)(1,1)，解得m＝2，直線方程整理得x＋y－2＝0，故選D．] 5．如果A·C<0且B·C<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過(guò)(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[由已知得直線Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－>0，在y軸上的截距－>0，故直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，不經(jīng)過(guò)第三象限．] 直線的傾斜角和斜率 1．(2019·石家莊模擬)直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是(　　) A.　　　　 B. C．∪ D．∪ B　[由直線方程可得該直線的斜率為－，又－1≤－＜0，所以傾斜角的取值范圍是.] 2．若點(diǎn)A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三點(diǎn)共線，則a的值為_(kāi)_____． 4　[因?yàn)閗AC＝＝1，kAB＝＝a－3. 由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以a－3＝1，即a＝4.] 3．直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為_(kāi)_________． (－∞，－]∪[1，＋∞)　[如圖， ∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．] [規(guī)律方法]　直線傾斜角的范圍是[0，π)，根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種情況討論． 易錯(cuò)警示：由直線的斜率k求傾斜角α的范圍時(shí)，要對(duì)應(yīng)正切函數(shù)的圖像來(lái)確定，要注意圖像的不連續(xù)性． 直線的方程 【例1】　根據(jù)所給條件求直線的方程： (1)直線過(guò)點(diǎn)(－4,0)，傾斜角的正弦值為； (2)直線過(guò)點(diǎn)(－3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12. [解]　(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式． 設(shè)傾斜角為α，則sin α＝(0≤α＜π)， 從而cos α＝±，則k＝tan α＝±. 故所求直線方程為y＝±(x＋4)． 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. (2)由題設(shè)知橫截距與縱截距都不為0，設(shè)直線方程為＋＝1，又直線過(guò)點(diǎn)(－3,4)，從而＋＝1，解得a＝－4或a＝9. 故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. [規(guī)律方法]　在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件．若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況． 一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為_(kāi)_______． x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0　[設(shè)所求直線的方程為＋＝1. ∵A(－2,2)在直線上，∴－＋＝1. ① 又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，∴|a|·|b|＝1. ② 由①②可得(1)或(2) 由(1)解得或方程組(2)無(wú)解． 故所求的直線方程為＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0為所求直線的方程．] 直線方程的綜合應(yīng)用 【例2】　過(guò)點(diǎn)P(4,1)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程； (2)當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程． [解]　設(shè)直線l：＋＝1(a＞0，b＞0)， 因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)，所以＋＝1. (1)＋＝1≥2＝， 所以ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)，△AOB的面積最小， 此時(shí)直線l的方程為＋＝1，即x＋4y－8＝0. (2)因?yàn)椋?，a＞0，b＞0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝6，b＝3時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，直線l的方程為＋＝1，即x＋2y－6＝0. [規(guī)律方法]　與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題的解題思路 (1)借助直線方程，用y表示x或用x表示y； (2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的函數(shù)； (3)利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值． 已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值． [解]　由題意知直線l1，l2恒過(guò)定點(diǎn)P(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2－a，直線l2在x軸上的截距為a2＋2， 所以四邊形的面積S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2) ＝a2－a＋4＝＋， 當(dāng)a＝時(shí)，四邊形的面積最小， 故實(shí)數(shù)a的值為. - 6 -