2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 算法初步、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 第3節(jié) 統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計(jì)總體教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第三節(jié)統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計(jì)總體考綱傳真1.了解分布的意義與作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn).2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋.4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征理解用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題1統(tǒng)計(jì)圖表統(tǒng)計(jì)圖表是表達(dá)和分析數(shù)據(jù)的重要工具，常用的統(tǒng)計(jì)圖表有條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、象形統(tǒng)計(jì)圖、莖葉圖等2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)(x1x2xn)(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差：s2.標(biāo)準(zhǔn)差：s(x1)2(x2)2(xn)2其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項(xiàng)，n是樣本容量，是平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原始測(cè)量單位相同，在統(tǒng)計(jì)中，通常用標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度3頻率分布直方圖與頻率分布折線圖(1)頻率分布直方圖：每個(gè)小矩形的寬度為xi(分組的寬度)，高為，小矩形的面積恰為相應(yīng)的頻率fi，我們稱這樣的圖形為頻率分布直方圖(2)頻率分布折線圖在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加上一個(gè)區(qū)間，從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開始，用線段依次連接頻率分布直方圖中各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)就得到頻率分布折線圖4用樣本估計(jì)總體通常我們對(duì)總體作出的估計(jì)一般分成兩種，一種是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，另一種是用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1頻率分布直方圖的3個(gè)結(jié)論(1)頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差xi稱為組距，縱坐標(biāo)，頻率組距×.(2)在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積總和等于1，因?yàn)樵陬l率分布直方圖中組距是一個(gè)固定值，所以各小長(zhǎng)方形高的比也就是頻率比(3)小長(zhǎng)方形的高，所有小長(zhǎng)方形高的和為.2平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均數(shù)是ma.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為s2.數(shù)據(jù)x1a，x2a，xna的方差也為s2；數(shù)據(jù)ax1，ax2，axn的方差為a2s2.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中. ()(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越高()(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次()答案(1)(2)×(3)(4)×2(教材改編)一個(gè)容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為()A4B8C12D16B設(shè)頻數(shù)為n，則0.25，n32×8.3(教材改編)若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A91.5和91.5B91.5和92C91和91.5D92和92A這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96，中位數(shù)是91.5，平均數(shù)91.5.4某校為了了解教科研工作開展?fàn)顩r與教師年齡之間的關(guān)系，將該校不小于35歲的80名教師按年齡分組，分組區(qū)間為35,40)，40,45)，45,50)，50,55)，55,60，由此得到頻率分布直方圖如圖，則這80名教師中年齡小于45歲的有_人48由頻率分布直方圖可知45歲以下的教師的頻率為5×(0.0400.080)0.6，所以共有80×0.648(人)5已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是_0.15個(gè)數(shù)的平均數(shù)5.1，所以它們的方差s2(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1.莖葉圖的應(yīng)用1(2019·成都檢測(cè))某學(xué)生在一門功課的22次考試中，所得分?jǐn)?shù)莖葉圖如圖所示，則此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為 ()A117B118C118.5D119.5B22次考試中，所得分?jǐn)?shù)最高的為98，最低的為56，所以極差為985642，將分?jǐn)?shù)從小到大排列，中間兩數(shù)為76,76，所以中位數(shù)為76，所以此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為4276118.2(2019·泉州質(zhì)檢)某中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個(gè)小組，在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是89，則nm的值是 ()A5 B6 C7 D8B由甲組學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是88，可得88，解得m3.由乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是89，可得n9，所以nm6，故選B.規(guī)律方法莖葉圖中的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏(3)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計(jì)數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小樣本的數(shù)字特征及應(yīng)用1(2019·濟(jì)南一中質(zhì)檢)2018年2月20日，摩拜單車在濟(jì)南推出“做文明騎士，周一摩拜單車免費(fèi)騎”活動(dòng)為了解單車使用情況，記者隨機(jī)抽取了五個(gè)投放區(qū)域，統(tǒng)計(jì)了半小時(shí)內(nèi)被騎走的單車數(shù)量，繪制了如圖所示的莖葉圖，則該組數(shù)據(jù)的方差為 ()A9 B4 C3 D2B由莖葉圖得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(8789909193)90.方差為(8790)2(8990)2(9090)2(9190)2(9390)24.2甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則 ()甲乙A甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)B甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)C甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差D甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差C甲的平均數(shù)是6，中位數(shù)是6，極差是4，方差是2；乙的平均數(shù)是6，中位數(shù)是5，極差是4，方差是，故選C3甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績(jī)?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是_甲甲乙9，s×(910)2(98)2(99)2(99)2(99)2，s×(910)2(910)2(97)2(99)2(99)2s，故甲更穩(wěn)定規(guī)律方法(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明地描述；平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大小(2)在計(jì)算平均數(shù)、方差時(shí)可利用平均數(shù)、方差的有關(guān)結(jié)論頻率分布直方圖及應(yīng)用考法1求樣本的頻率、頻數(shù)【例1】(2019·石家莊檢測(cè))某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5,30，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()A56 B60 C120 D140D由直方圖可知每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為(0.160.080.04)×2.50.7，則每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為0.7×200140.故選D考法2頻率分布直方圖與樣本的數(shù)字特征的綜合【例2】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)將數(shù)據(jù)按照0，0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖(1)求直方圖中a的值；(2)設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；(3)估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)解(1)由頻率分布直方圖可知：月均用水量在0,0.5)內(nèi)的頻率為0.08×0.50.04.同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5×a0.5×a，解得a0.30.(2)由(1)知，該市100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0.060.040.020.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.1236 000.(3)設(shè)中位數(shù)為x噸因?yàn)榍?組的頻率之和為0.040.080.150.210.250.73>0.5，又前4組的頻率之和為0.040.080.150.210.48<0.5，所以2x<2.5.由0.50×(x2)0.50.48，解得x2.04.故可估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸規(guī)律方法1.頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法(1)×組距頻率；(2)頻率，樣本容量，樣本容量×頻率頻數(shù)2頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和易錯(cuò)警示：1.頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是，而不是頻率，切莫與條形圖混淆2制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗(yàn)該表是否正確 (1)為了了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5組頻數(shù)和為62，設(shè)視力在4.6到4.8之間的學(xué)生數(shù)為a，最大頻率為0.32，則a的值為()A64 B54 C48 D27B前兩組中的頻數(shù)為100×(0.050.11)16.因?yàn)楹笪褰M頻數(shù)和為62，所以前三組為38.所以第三組頻數(shù)為22.又最大頻率為0.32的最大頻數(shù)為0.32×10032.所以a223254.(2)某班100名學(xué)生期中考試語文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為這組數(shù)據(jù)的平均分，根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績(jī)的平均分；若這100名學(xué)生語文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0,90之外的人數(shù)分?jǐn)?shù)段50,60)60,70)70,80)80,90xy11213445解估計(jì)這次語文成績(jī)的平均分55×0.0565×0.475×0.385×0.295×0.0573.所以這100名學(xué)生語文成績(jī)的平均分為73分分別求出語文成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段50,60)，60,70)，70,80)，80,90的人數(shù)依次為0.05×1005,0.4×10040,0.3×10030,0.2×10020.所以數(shù)學(xué)成績(jī)分?jǐn)?shù)段在50,60)，60,70)，70,80)，80,90的人數(shù)依次為5,20,40,25.所以數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0,90之外的人數(shù)有100(5204025)10(人)1(2018·全國(guó)卷)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半A設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入的總量為x，則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入的總量為2x.建設(shè)前種植收入為0.6x，建設(shè)后種植收入為0.74x，故A不正確；建設(shè)前其他收入為0.04x，建設(shè)后其他收入為0.1x，故B正確；建設(shè)前養(yǎng)殖收入為0.3x，建設(shè)后養(yǎng)殖收入為0.6x，故C正確；建設(shè)后養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入總量的58%，故D正確2(2017·全國(guó)卷)為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()Ax1，x2，xn的平均數(shù)Bx1，x2，xn的標(biāo)準(zhǔn)差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位數(shù)B因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評(píng)估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差故選B.3(2017·全國(guó)卷)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)A對(duì)于選項(xiàng)A，由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，觀察折線圖的變化趨勢(shì)可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，D，由圖可知顯然正確故選A4(2016·全國(guó)卷)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15 ，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5 .下面敘述不正確的是()A各月的平均最低氣溫都在0 以上B七月的平均溫差比一月的平均溫差大C三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D平均最高氣溫高于20 的月份有5個(gè)D對(duì)于選項(xiàng)A，由圖易知各月的平均最低氣溫都在0 以上，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，七月的平均最高氣溫點(diǎn)與平均最低氣溫點(diǎn)間的距離大于一月的平均最高氣溫點(diǎn)與平均最低氣溫點(diǎn)間的距離，所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，三月和十一月的平均最高氣溫均為10 ，所以C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，平均最高氣溫高于20 的月份有七月、八月，共2個(gè)月份，故D錯(cuò)誤- 11 -