2020版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第10章 概率 第1節(jié) 隨機事件的概率教學案 文（含解析）北師大版

第一節(jié)　隨機事件的概率 [考綱傳真]　1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個互斥事件的概率加法公式． 1．概率 (1)定義：在相同的條件下，大量重復(fù)進行同一試驗時，隨機事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動，即隨機事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性．這時這個常數(shù)叫作隨機事件A的概率，記作P(A)，有0≤P(A)≤1. (2)頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，因此，人們用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值． 2．互斥事件與對立事件 (1)互斥事件：在一個隨機試驗中，我們把一次試驗下不能同時發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件． (2)對立事件：在每一次試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，并且一定有一個發(fā)生的事件A和稱為對立事件． 3．概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(A)＝1. (3)不可能事件的概率：P(A)＝0. (4)互斥事件的概率加法公式： ①P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)． ②P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)． (5)對立事件的概率：P()＝1－P(A)． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的． (　　) (2)在大量的重復(fù)實驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值． (　　) (3)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件． (　　) (4)6張獎券中只有一張有獎，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎的概率小于乙中獎的概率． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改編)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是(　　) A．至多有一次中靶　 B．兩次都中靶 C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶 D　[“至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”．] 3．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　) A．必然事件 B．隨機事件 C．不可能事件 D．無法確定 B　[拋擲10次硬幣正面向上的次數(shù)可能為0,1,2，…，10，都有可能發(fā)生，正面向上5次是隨機事件．] 4．(教材改編)有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5，23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5，35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3. 根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在[27.5,43.5]內(nèi)的概率約是________． 　[由條件可知，落在[27.5,43.5]內(nèi)的數(shù)據(jù)有11＋12＋7＋3＝33(個)，故所求概率約是＝.] 5．(2019·濟南模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________． 0.35　[∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.] 隨機事件之間的關(guān)系 1．在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　) A．至多有一張移動卡　 B．恰有一張移動卡 C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡 A　[至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”，“2張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件．] 2．對飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一次擊中飛機}，D＝{至少有一次擊中飛機}，其中彼此互斥的事件是________，互為對立事件的是________． A與B，A與C，B與C，B與D　B與D　[設(shè)I為對飛機連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因為A∩B＝?，B∩C＝?，A∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，B與C，A與C，B與D為互斥事件．而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事件．] [規(guī)律方法]　判斷互斥、對立事件的兩種方法 (1)定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．對立事件是互斥事件的充分不必要條件． (2)集合法：①由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥． ②事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集． 隨機事件的概率與頻率 【例1】　(2016·全國卷Ⅱ)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表： 出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10 (1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值； (2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值； (3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值． [解]　(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為＝0.55，故P(A)的估計值為0.55. (2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為＝0.3，故P(B)的估計值為0.3. (3)由所給數(shù)據(jù)得 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a. [規(guī)律方法]　1.概率與頻率的關(guān)系 頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值． 2．隨機事件概率的求法 利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率． 某保險公司利用簡單隨機抽樣的方法，對投保的車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下： 賠付金額(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 車輛數(shù)(輛) 500 130 100 150 120 (1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率； (2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4 000元的概率． [解]　(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 由于投保額為2 800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3 000和4 000元， 所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. (2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主是新司機的有0.1×1 000＝100(位)，而賠付金額為4 000元的車輛中車主為新司機的有0.2×120＝24(位)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24， 由頻率估計概率是P(C)＝0.24. 互斥事件與對立事件概率公式的應(yīng)用 【例2】　某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1張獎券的中獎概率； (3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率． [解]　(1)P(A)＝， P(B)＝＝， P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分別為，，. (2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C． ∵A，B，C兩兩互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＝，故1張獎券的中獎概率約為. (3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝， 故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為. [規(guī)律方法]　復(fù)雜事件的概率的兩種求法 (1)直接求法，將所求事件分解為一些彼此互斥的事件，運用互斥事件的概率求和公式計算． (2)間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就比較簡便． 某學校在教師外出家訪了解學生家長對孩子的學習關(guān)心情況活動中，一個月內(nèi)派出的教師人數(shù)及其概率如下表所示： 派出人數(shù) ≤2 3 4 5 ≥6 概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04 (1)求有4人或5人外出家訪的概率； (2)求至少有3人外出家訪的概率． [解]　(1)設(shè)派出2人及以下為事件A,3人為事件B,4人為事件C,5人為事件D,6人及以上為事件E，則有4人或5人外出家訪的事件為事件C或事件D，C，D為互斥事件，根據(jù)互斥事件概率的加法公式可知， P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4. (2)至少有3人外出家訪的對立事件為2人及以下，所以由對立事件的概率可知，P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9. - 7 -