2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算考綱傳真1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于1個單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量平行(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)>0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)<0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0( a)() a；()aa a；(ab)ab3.共線向量定理a是一個非零向量，若存在一個實(shí)數(shù)，使得ba，則向量b與a共線1若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則()2.(，為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則1.3一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點(diǎn)指向最后一個向量終點(diǎn)的向量，即An1An，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量4與非零向量a共線的單位向量為±.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反()(2)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上()(3)若ab，bc，則ac.()(4)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立()答案(1)×(2)×(3)×(4)2化簡得()A.BC.D0D()0，故選D3(教材改編)如圖，ABCD的對角線交于點(diǎn)M，若a，b，用a，b表示為()A.abBabCabDabD由題意可知ba，又2，(ba)ba，故選D4如圖，設(shè)P，Q兩點(diǎn)把線段AB三等分，則下列向量表達(dá)式錯誤的是()A. BC. DD向量具有大小和方向兩個要素，故，所以D錯誤，故選D5已知a與b是兩個不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則_.由已知得abk(b3a)，得平面向量的概念1給出下列命題：兩個具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；若a0(為實(shí)數(shù))，則必為零；已知，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中正確命題的個數(shù)為()A1B2C3D4A錯誤兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn)正確因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小錯誤當(dāng)a0時，無論為何值，a0.錯誤當(dāng)0時，ab，此時，a與b可以是任意向量2給出下列命題：若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；若|a|b|，則ab或ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且，則ABCD為平行四邊形；ab的充要條件是|a|b|且ab；其中真命題的序號是_錯誤兩個向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)錯誤|a|b|，但a，b方向不確定，所以a，b不一定相等或相反正確因?yàn)?，所以|且；又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形錯誤當(dāng)ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件規(guī)律方法(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，不要與線段的共線、平行混為一談.(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖像的移動混為一談.平面向量的線性運(yùn)算【例1】(1)(2018·全國卷)在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則()A. BC. D(2)(2019·棗莊模擬)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若(R)，則()A2 B3 C2 D3(3)在ABC中，點(diǎn)M，N滿足2，.若xy，則x_；y_.(1)A(2)D(3)(1)×()，故選A.(2)由可知()，又，解得3，故選D(3)()xy，x，y.規(guī)律方法向量線性運(yùn)算的解題策略(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解 (1)(2019·山西師大附中模擬)在ABC中，P是直線BN上一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為()A4 B1 C1 D4(2)(2019·皖南八校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，3，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則()A.BCD(1)B(2)B(1)，5.又m，m2，由B，P，N三點(diǎn)共線可知，m21，m1.(2)根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則得，.因?yàn)?，所以，故選B向量共線定理及其應(yīng)用【例2】設(shè)兩個非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線解(1)證明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共線，又它們有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(2)kab和akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1) Ba，b是兩個不共線的非零向量，kk10，k210，k±1.母題探究若將本例(1)中“2a8b”改為“amb”，則m為何值時，A，B，D三點(diǎn)共線？解(amb)3(ab)4a(m3)b，即4a(m3)b若A，B，D三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使.即4a(m3)b(ab)解得m7.故當(dāng)m7時，A，B，D三點(diǎn)共線規(guī)律方法共線向量定理的三個應(yīng)用(1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)，使ab，則a與b共線(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)，使，則A，B，C三點(diǎn)共線(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值易錯警示：證明三點(diǎn)共線時，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn) (1)已知向量e1與e2不共線，且向量e1me2，ne1e2，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m，n滿足的條件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1(2)經(jīng)過OAB重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)m，n，m，nR，則的值為_(1)A(2)3(1)因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以一定存在一個確定的實(shí)數(shù)，使得，所以有e1me2ne1e2，由此可得所以mn1.(2)設(shè)a，b，則(ab)，nbma，(ab)maaB由P，G，Q共線得，存在實(shí)數(shù)使得，即nbmaab，從而消去，得3.1(2015·全國卷)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()A.BC.DA以，為基底利用向量的加減運(yùn)算和平面向量基本定理求解().故選A.2(2015·全國卷)設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實(shí)數(shù)_.ab與a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得- 9 -