2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第1章 集合與常用邏輯用語 第2節(jié) 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

第二節(jié)　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 [考綱傳真]　1.理解命題的概念.2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義． 1．命題 用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題及其相互關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系 (2)四種命題的真假關(guān)系 ①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； ②兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 3．充分條件與必要條件 (1)若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件； (2)若p?q，且qp，則p是q的充分不必要條件； (3)若pq且q?p，則p是q的必要不充分條件； (4)若p?q，則p是q的充要條件； (5)若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件． [常用結(jié)論] 1．在四種形式的命題中，真命題的個(gè)數(shù)只能為0,2,4. 2．p是q的充分不必要條件，等價(jià)于綈q是綈p的充分不必要條件．其他情況依次類推． 3．集合與充要條件：設(shè)p，q成立的對象構(gòu)成的集合分別為A，B，p是q的充分不必要條件?AB；p是q的必要不充分條件?AB；p是q的充要條件?A＝B. [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命題．(　　) (2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”．(　　) (3)當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件．(　　) (4)“若p不成立，則q不成立”等價(jià)于“若q成立，則p成立”．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)命題“若α＝，則sin α＝”的逆否命題是(　　) A．若α≠，則sin α≠ B．若α＝，則sin α≠ C．若sin α≠，則α≠ D．若sin α≠，則α＝ C　[“若p，則q”的逆否命題是“若綈q，則 綈p”，顯然綈q：sin α≠，綈p：α≠，所以該命題的逆否命題是“若≠，則α≠”．] 3．“x＝1”是“(x－1)(x＋2)＝0”的(　　) A．充分不必要條件　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[若x＝1，則(x－1)(x＋2)＝0顯然成立，但反之不一定成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，則x＝1或－2.] 4．(教材改編)下列命題是真命題的是(　　) A．矩形的對角線相等 B．若a＞b，c＞d，則ac＞bd C．若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則a是奇數(shù) D．命題“若x2＞0, 則x＞1”的逆否命題 A　[令a＝c＝0，b＝d＝－1，則ac＜bd，故B錯(cuò)誤；當(dāng)a＝2時(shí)，a是素?cái)?shù)但不是奇數(shù)，故C錯(cuò)誤；取x＝－1，則x2＞0，但x＜1，故D錯(cuò)誤．] 5．已知命題“若x＞1，則2x＜3x”，則在它的逆命題、否命題、逆否命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[原命題“若x＞1，則2x＜3x”，則它的逆命題：若2x＜3x，則x＞1，若x＝1時(shí)也滿足2x＜3x，所以逆命題是假命題；否命題：若x≤1，則2x≥3x，由逆命題與否命題真假性相同知，否命題是假命題；逆否命題：若2x≥3x，則x≤1，為真命題．故選B.] 四種命題的關(guān)系及其真假的判斷 1．某食品的廣告詞為“幸福的人們都擁有”，這句話的等價(jià)命題是(　　) A．不擁有的人們會幸福　　 B．幸福的人們不都擁有 C．擁有的人們不幸福 D．不擁有的人們不幸福 D　[原命題與其逆否命題等價(jià)，故選D.] 2．若命題A的逆命題為B，命題A的否命題為C，則B是C的(　　) A．逆命題 B．否命題 C．逆否命題 D．都不對 C　[根據(jù)題意，設(shè)命題A為“若p，則q”，則命題B為“若q，則p”，命題C為“若綈p，則綈q”； 顯然，B與C是互為逆否命題．故選C.] 3．下列命題中的真命題是(　　) ①“若x2＋y2≠0，則x，y不全為零”的否命題； ②“正多邊形都相似”的逆命題； ③“若m＞0，則x2＋x－m＝0有實(shí)根”的逆否命題； ④“若x＝3，則x是無理數(shù)”的逆否命題． A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④ B　[①“若x2＋y2≠0，則x，y不全為零”的否命題為“若x2＋y2＝0，則x，y全為零”，是真命題；②“正多邊形都相似”的逆命題是“相似的多邊形是正多邊形”，為假命題；③“若m＞0，則x2＋x－m＝0有實(shí)根”是真命題，故其逆否命題也是真命題；④“若x＝3，則x是無理數(shù)”是真命題，故其逆否命題也是真命題．故選B.] [規(guī)律方法]　(1)寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需注意： ①對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫； ②若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提. (2)判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例即可. (3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假. 充分條件、必要條件的判定 【例1】　(1)(2018·天津高考)設(shè)x∈R，則“＜”是“x3＜1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2019·西安八校聯(lián)考)在△ABC中，“·＞0”是“△ABC是鈍角三角形”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (1)A　(2)A　[(1)由＜得0＜x＜1，則x3＜1成立； 取x＝－1，則(－1)3＜1，但＝＞.故選A. (2)由·＞0，得·＜0，即cos B＜0，所以B＞90°，△ABC是鈍角三角形；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，B不一定是鈍角．所以“·＞0”是“△ABC是鈍角三角形”的充分不必要條件，故選A.] [規(guī)律方法]　充分條件、必要條件的三種判斷方法 (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題． (2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題． (3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題． (1)(2019·湘東五校聯(lián)考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是(　　) A．m＞ B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1 (2)給定兩個(gè)命題p，q.若綈p是q的必要不充分條件，則p是綈q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (1)C　(2)A　[(1)若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，則Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此當(dāng)不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立時(shí)，必有m＞0，但當(dāng)m＞0時(shí)，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m＞0. (2)因?yàn)榻恜是q的必要不充分條件，所以q?綈p，但綈pq，其等價(jià)于p?綈q，但綈qp，故選A.] 充分條件、必要條件的應(yīng)用 【例2】　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________． [0,3]　[由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P. 則∴0≤m≤3. 即所求m的取值范圍是[0,3]．] [母題探究]　把本例中的“必要條件”改為“充分條件”，求m的取值范圍． [解]　由x∈P是x∈S的充分條件，知P?S，則解得m≥9， 即所求m的取值范圍是[9，＋∞)． [規(guī)律方法]　根據(jù)充要條件求解參數(shù)范圍的方法 解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解. 易錯(cuò)警示：求解參數(shù)范圍時(shí)，要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn). (1)已知條件p：x2－2ax＋a2－1＞0，條件q：x＞2，且q是p的充分而不必要條件，則a的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3] (2)已知命題p：x2＋2x－3＞0；命題q：x＞a，且綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3] (1)B　(2)A　[(1)由x2－2ax＋a2－1＞0得(x－a＋1)(x－a－1)＞0，解得x＞a＋1或x＜a－1，故p：x＞a＋1或x＜a－1.又q：x＞2，且q是p的充分而不必要條件，所以a＋1≤2，解得a≤1，故選B. (2)由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件．故a≥1.故選A.] 1．(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)有下面四個(gè)命題 p1：若復(fù)數(shù)z滿足∈R，則z∈R； p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R； p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝2； p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則∈R. 其中的真命題為(　　) A．p1，p3　　 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 B　[設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)． 對于p1，若∈R，即＝∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題． 對于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0. 當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2為假命題． 對于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因?yàn)閍1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題． 對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題．故選B.] 2．(2014·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的極值點(diǎn)，則(　　) A．p是q的充分必要條件 B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 C．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 C　[當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)，x＝x0不一定是f(x)的極值點(diǎn)， 比如，y＝x3在x＝0時(shí)，f′(0)＝0，但在x＝0的左右兩側(cè)f′(x)的符號相同，因而x＝0不是y＝x3的極值點(diǎn)． 由極值的定義知，x＝x0是f(x)的極值點(diǎn)必有f′(x0)＝0. 綜上知，p是q的必要條件，但不是充分條件．] - 6 -