2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

第三節(jié)圓的方程考綱傳真1.掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圓心，半徑2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2r2.常用結(jié)論1圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程為x2y2r2.2以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)方程x2y2a2表示半徑為a的圓()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圓()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是AC0，B0，D2E24AF>0.()答案(1)(2)×(3)×(4)2圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22D由題意得圓的半徑為，故該圓的方程為(x1)2(y1)22，故選D.3方程x2y24mx2y5m0表示圓的充要條件是()A.m1 Bm或m1Cm Dm1B由16m220m40得m或m1.故選B.4若點(diǎn)(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,1) B(0,1)C(，1)(1，) Da±1.A由題意可得(1a)2(1a)24，即1a1.故選A.5(教材改編)圓C的圓心在x軸上，并且過(guò)點(diǎn)A(1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為_(kāi)(x2)2y210設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)，點(diǎn)A(1,1)和B(1,3)在圓C上，|CA|CB|，即，解得a2，所以圓心為C(2,0)，半徑|CA|，圓C的方程為(x2)2y210.圓的方程【例1】(1)圓E經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(0,1)，B(2,0)，C(0，1)，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.2y2B.2y2C.2y2 D.2y2(2)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，B(1,1)且圓心在直線xy20上的圓的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24(1)C(2)C(1)設(shè)圓E的一般方程為x2y2DxEyF0，由題意得解得x2y2x10，即2y2.故選C.(2)圓心在直線xy20上，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,2a)圓的半徑r，解得a1，r2，圓的方程為(x1)2(y1)24.故選C.規(guī)律方法求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程.(2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值. (1)(2018·合肥二模)已知圓C：(x6)2(y8)24，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以O(shè)C為直徑的圓的方程為()A(x3)2(y4)2100 B(x3)2(y4)2100C(x3)2(y4)225 D(x3)2(y4)225(2)圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)(1)C(2)(x2)2(y1)24(1)由題意可知圓心C為(6,8)，則以O(shè)C為直徑的圓的方程為(x3)2(y4)225.故選C.(2)設(shè)圓C的圓心為(a，b)(b0)，由題意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【例2】已知M(x，y)為圓C：x2y24x14y450上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解(1)由圓C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r2.又|QC|4，|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直線MQ的斜率k.設(shè)直線MQ的方程為y3k(x2)，即kxy2k30.由直線MQ與圓C有交點(diǎn)，所以2，可得2k2，的最大值為2，最小值為2.母題探究(1)(變化結(jié)論)在本例的條件下，求yx的最大值和最小值(2)(變換條件)若本例中條件“點(diǎn)Q(2,3)”改為“點(diǎn)Q是直線3x4y10上的動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，試求|MQ|的最小值解(1)設(shè)yxb，則xyb0.當(dāng)直線yxb與圓C相切時(shí)，截距b取到最值，2，b9或b1.因此yx的最大值為9，最小值為1.(2)圓心C(2,7)到直線3x4y10上動(dòng)點(diǎn)Q的最小值為點(diǎn)C到直線3x4y10的距離，|QC|mind7.又圓C的半徑r2，|MQ|的最小值為72.規(guī)律方法與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的三種幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題.(2)形如taxby形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題.(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題.(1)設(shè)P(x，y)是曲線x2(y4)24上任意一點(diǎn)，則的最大值為()A.2 B.C5 D6(2)一束光線從點(diǎn)A(1,1)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x2)2(y3)21上的最短路徑的長(zhǎng)是()A4 B5C31 D2(1)A(2)A(1)的幾何意義為點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)A(1,1)之間的距離易知點(diǎn)A(1,1)在圓x2(y4)24的外部，由數(shù)形結(jié)合可知的最大值為22.故選A.(2)由題意可得圓心C(2,3)，半徑r1，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A(1，1)，求得|AC|5，故最短路徑為|AC|r514，故選A.與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題【例3】(2019·衡水調(diào)研)已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程解(1)法一：設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y0.因?yàn)锳CBC，所以kAC·kBC1，又kAC，kBC，所以·1，化簡(jiǎn)得x2y22x30.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2y22x30(y0)法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|AB|2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x1)2y24(y0)(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x，y，所以x02x3，y02y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x1)2y24(y0)，將x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x2)2y21(y0)規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解.(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解.(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解.(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解.動(dòng)點(diǎn)A在圓x2y21上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A(x3)2y24 B(x3)2y24C(2x3)24y21 D.2y2C設(shè)中點(diǎn)M(x，y)，則動(dòng)點(diǎn)A(2x3,2y)點(diǎn)A在圓x2y21上，(2x3)2(2y)21，即(2x3)24y21.故選C.1(2018·全國(guó)卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2,6 B4,8C，3 D2，3A圓心(2,0)到直線的距離d2，所以點(diǎn)P到直線的距離d1，3根據(jù)直線的方程可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以ABP的面積S|AB|d1d1.因?yàn)閐1，3，所以S2,6，即ABP面積的取值范圍是2,62(2015·全國(guó)卷)過(guò)三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|()A2 B8C4 D10C設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，則解得圓的方程為x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4，故選C.3(2015·全國(guó)卷)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)2y2由題意知a4，b2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)由圓心在x軸的正半軸上知圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，(0，2)，(4,0)三點(diǎn)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2y2r2(0<m<4，r>0)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y2.- 7 -