2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點 分層教學(xué) 專項二 專題二 2 第2講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案

第2講三角恒等變換與解三角形年份卷別考查內(nèi)容及考題位置命題分析2018卷利用正、余弦定理求邊或角·T171.高考對此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命題形式出現(xiàn)2若無解答題，一般在選擇題或填空題各有一題，主要考查三角恒等變換、解三角形，難度一般，一般出現(xiàn)在第49題或第1315題位置上3若以解答題命題形式出現(xiàn)，主要考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問題，一般出現(xiàn)在解答題第17題位置上，難度中等.卷利用余弦定理求邊長·T6三角恒等變換·T15卷倍角公式·T4三角形的面積公式·T92017卷正、余弦定理、三角形的面積公式及兩角和的余弦公式·T17卷余弦定理、三角恒等變換及三角形的面積公式·T17卷余弦定理、三角形的面積公式·T172016卷正、余弦定理、兩角和的正弦公式·T17卷誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、給值求值問題·T9正弦定理的應(yīng)用、誘導(dǎo)公式·T13卷正、余弦定理解三角形·T8三角恒等變換與求值(基礎(chǔ)型) 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin .(2)cos(±)cos cos sin sin .(3)tan(±). 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2. 三角恒等變換的“四大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan 45°等(2)項的分拆與角的配湊：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦考法全練1已知，tan 2，則cos_解析：因為，tan 2，所以sin ，cos ，所以coscos cossin sin×.答案：2已知cos ，cos()，且，則cos()_解析：因為，所以2(0，)因為cos ，所以cos 22cos21，所以sin 2，又，所以(0，)，所以sin() ，所以cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()××.答案：3已知sin ，且sin()cos ，則tan()_解析：因為sin ，且<<，所以cos ，tan .因為sin()sin cos cos sin cos ，所以tan ， 所以tan()2.答案：2正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用(綜合型) 正弦定理及其變形在ABC中，2R(R為ABC的外接圓半徑)變形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等 余弦定理及其變形在ABC中，a2b2c22bccos A；變形：b2c2a22bccos A，cos A. 三角形面積公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.典型例題命題角度一求解三角形中的角 已知ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bcos Cbsin Ca.(1)求角B的大小；(2)若BC邊上的高等于a，求cos A的值【解】(1)由bcos Cbsin Ca，得sin Bcos Csin Bsin Csin A.因為ABC，所以sin Bcos Csin Bsin Csin(BC)，即sin Bcos Csin Bsin Csin Bcos Ccos Bsin C，因為sin C0，所以sin Bcos B.因為B(0，)，所以B.(2)設(shè)BC邊上的高為AD，則ADa.因為B，所以BDADa，所以CDa，所以ACa，ABa.由余弦定理得cos A.利用正、余弦定理求三角形的角，常見形式有：(1)已知兩邊及其夾角，先由余弦定理求第三邊，再由正弦定理求角(2)已知三邊，直接由余弦定理求角(3)已知兩邊及其中一邊的對角，先由正弦定理求另一邊的對角，再由三角形內(nèi)角和求第三角，注意此類問題有一解、兩解或無解的情況 命題角度二求解三角形中的邊與面積 如圖所示，在ABC中，點D為BC邊上一點，且BD1，E為AC的中點，AE，cos B，ADB.(1)求AD的長；(2)求ADE的面積【解】(1)在ABD中，因為cos B，B(0，)，所以sin B，所以sinBADsin(BADB)××.由正弦定理知，得AD2.(2)由(1)知AD2，依題意得AC2AE3，在ACD中，由余弦定理得AC2AD2DC22AD·DCcosADC，即94DC22×2×DCcos，所以DC22DC50，解得DC1(負(fù)值舍去)，所以SACDAD·DCsinADC×2×(1)×，從而SADESACD.利用余弦定理求邊，一般是已知三角形的兩邊及其夾角利用正弦定理求邊，必須知道兩角及其中一邊，如該邊為其中一角的對邊，要注意解的多樣性與合理性而三角形的面積主要是利用兩邊與其夾角的正弦值求解 對點訓(xùn)練1(2018·高考全國卷)在平面四邊形ABCD中，ADC90°，A45°，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解：(1)在ABD中，由正弦定理得.由題設(shè)知，所以sinADB.由題設(shè)知，ADB<90°，所以cosADB.(2)由題設(shè)及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22·BD·DC·cosBDC2582×5×2×25.所以BC5.2(2018·山西八校第一次聯(lián)考)在ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且(ac)2b23ac.(1)求角B的大??；(2)若b2，且sin Bsin(CA)2sin 2A，求ABC的面積解：(1)由(ac)2b23ac，整理得a2c2b2ac，由余弦定理得cos B，因為0<B<，所以B.(2)在ABC中，ABC，即B(AC)，故sin Bsin(AC)，由已知sin Bsin(CA)2sin 2A可得sin(AC)sin(CA)2sin 2A，所以sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Acos Csin A4sin Acos A，整理得cos Asin C2sin Acos A.若cos A0，則A，由b2，可得c，此時ABC的面積Sbc.若cos A0，則sin C2sin A，由正弦定理可知，c2a，代入a2c2b2ac，整理可得3a24，解得a，所以c，此時ABC的面積Sacsin B.綜上所述，ABC的面積為.解三角形的綜合問題(綜合型)典型例題命題角度一正、余弦定理與平面幾何的綜合(2018·成都模擬)如圖，在直角梯形ABDE中，已知ABDEDB90°，C是BD上一點，AB3，ACB15°，ECD60°，EAC45°，則線段DE的長度為_【解析】易知ACE105°，AEC30°，在直角三角形ABC中，AC，在三角形AEC中，CE，在直角三角形CED中，DECEsin 60°，所以DECEsin 60°××6.【答案】6利用正、余弦定理求解平面幾何中的問題，應(yīng)根據(jù)圖形特征及已知條件，將所給量及待求量放在同一個三角形中，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，外角和定理及正、余弦定理求解 命題角度二正、余弦定理與最值(范圍)問題的綜合 (1)(2018·濰坊模擬)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓的半徑為1，且，則ABC面積的最大值為_(2)(2018·西安模擬)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc，若ab2，則c的取值范圍為_【解析】(1)因為，所以(2cb)，由正弦定理得sin Bsin Acos B(2sin Csin B)sin Bcos A，又sin B0，所以sin Acos B(2sin Csin B)cos A，所以sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A，sin(AB)2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，又sin C0，所以cos A，sin A.設(shè)外接圓的半徑為r，則r1，由余弦定理得bcb2c2a2b2c2(2rsin A)2b2c232bc3(當(dāng)且僅當(dāng)bc時，等號成立)，所以bc3，所以SABCbcsin Abc.(2)由sin Acos Bsin Bcos Asin(AB)sin C及正弦定理，可知acos Bbcos Ac，則由(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc，得a2b2c2ab，由余弦定理可得cos C，則C，BA，由正弦定理，得，又ab2，所以2，即c，因為A，所以A，sin，則c1，2)【答案】(1)(2)1，2)解三角形中的最值與范圍問題主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍確定所求式的范圍 命題角度三正、余弦定理與實際問題的綜合 某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在C處(點C在水平地面下方，O為CH與水平地面ABO的交點)進行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個觀察點A，B兩地相距100米，BAC60°，其中A到C的距離比B到C的距離遠(yuǎn)40米A地測得該儀器在C處的俯角為OAC15°，A地測得最高點H的仰角為HAO30°，則該儀器的垂直彈射高度CH為()A210()米B140米C210米 D20()米【解析】由題意，設(shè)ACx米，則BC(x40)米，在ABC內(nèi)，由余弦定理得BC2BA2CA22BA·CA·cosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420米在ACH中，AC420米，CAH30°15°45°，CHA90°30°60°，由正弦定理：，可得CHAC·140(米)【答案】B (1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解 對點訓(xùn)練1(2018·合肥第一次質(zhì)量檢測)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(a2b)cos Cccos A0.(1)求角C；(2)若c2，求ABC周長的最大值解：(1)根據(jù)正弦定理，由已知得(sin A2sin B)cos Csin Ccos A0，即sin Acos Csin Ccos A2sin Bcos C，所以sin(AC)2sin Bcos C，因為ACB，所以sin(AC)sin(B)sin B>0，所以sin B2sin Bcos C，所以cos C.因為C(0，)，所以C.(2)由(1)及余弦定理得cos C，又c2，所以a2b212ab，所以(ab)2123ab3，即(ab)248(當(dāng)且僅當(dāng)ab2時等號成立)所以ab4，abc6.所以ABC周長的最大值為6.2(2018·武漢調(diào)研)在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足cos 2Acos 2B2cos·cos0.(1)求角A的值；(2)若b且ba，求a的取值范圍解：(1)由cos 2Acos 2B2coscos0，得2sin2B2sin2A20，化簡得sin A，又ABC為銳角三角形，故A.(2)因為ba，所以ca，所以C<，<B，所以<sin B.由正弦定理，得，所以a，由sin B得a，3)A組夯基保分專練一、選擇題1(2018·高考全國卷)已知函數(shù)f(x)2cos2xsin2x2，則()Af(x)的最小正周期為，最大值為3Bf(x)的最小正周期為，最大值為4Cf(x)的最小正周期為2，最大值為3Df(x)的最小正周期為2，最大值為4解析：選B.易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x1(2cos2x1)1cos 2x，則f(x)的最小正周期為，當(dāng)xk(kZ)時，f(x)取得最大值，最大值為4.2在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c2a，bsin Basin Aasin C，則sin B為()A.B.C. D.解析：選A.由bsin Basin Aasin C，且c2a，得ba，因為cos B，所以sin B .3(2018·洛陽第一次統(tǒng)考)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且a2c2acbc，則()A. B.C. D.解析：選B.由a，b，c成等比數(shù)列得b2ac，則有a2c2b2bc，由余弦定理得cos A，故A，對于b2ac，由正弦定理得，sin2 Bsin Asin C·sin C，由正弦定理得，.故選B.4(2018·昆明模擬)在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，則BC邊上的高等于()A1 B.C. D2解析：選A.法一：因為tanBAC3，所以sinBAC，cosBAC.由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·AB·cosBAC522×××9，所以BC3，所以SABCAB·ACsinBAC×××，所以BC邊上的高h(yuǎn)1，故選A.法二：因為tanBAC3，所以cosBAC<0，則BAC為鈍角，因此BC邊上的高小于，故選A.5ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C()A. B.C. D.解析：選B.因為sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以sin(AC)sin Asin Csin Acos C0，所以sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得sin C(sin Acos A)0.因為sin C0，所以sin Acos A0，所以tan A1，因為A(0，)，所以A.由正弦定理得sin C，又0<C<，所以C.6.如圖，在ABC中，C，BC4，點D在邊AC上，ADDB，DEAB，E為垂足若DE2，則cos A等于()A. B.C. D.解析：選C.依題意得，BDAD，BDCABDA2A.在BCD中，×，即，由此解得cos A.二、填空題7若sin，則cos_解析：依題意得coscoscos2sin212×1.答案：8(2018·高考全國卷改編)在ABC中，cos，BC1，AC5，則AB_解析：因為cos C2cos2 12×1，所以由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BCcos C2512×5×1×32，所以AB4.答案：49(2018·惠州第一次調(diào)研)已知a，b，c是ABC中角A，B，C的對邊，a4，b(4，6)，sin 2Asin C，則c的取值范圍為_解析：由，得，所以c8cos A，因為16b2c22bccos A，所以16b264cos2A16bcos2A，又b4，所以cos2A，所以c264cos2A64×164b.因為b(4，6)，所以32<c2<40，所以4<c<2.答案：(4，2)三、解答題10(2018·沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(一)在ABC中，已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且2ccos B2ab.(1)求C；(2)若ab6，ABC的面積為2，求c.解：(1)由正弦定理得2sin Ccos B2sin Asin B，又sin Asin(BC)，所以2sin Ccos B2sin(BC)sin B，所以2sin Ccos B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B，所以2sin Bcos Csin B0，因為sin B0，所以cos C.又C(0，)，所以C.(2)因為SABCabsin C2，所以ab8，由余弦定理，得c2a2b22abcos Ca2abb2(ab)2ab28，所以c2.11(2018·石家莊質(zhì)量檢測(二)已知ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且tan Atan B.(1)求角A的大小；(2)設(shè)AD為BC邊上的高，a，求AD的取值范圍解：(1)在ABC中，因為tan Atan B，所以，即，所以，則tan A，所以A.(2)因為SABCAD·BCbcsin A，所以ADbc.由余弦定理得cos A，所以0<bc3(當(dāng)且僅當(dāng)bc時等號成立)，所以0<AD.12(2018·鄭州質(zhì)量檢測(二)已知ABC內(nèi)接于半徑為R的圓，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，c3.(1)求A；(2)若AD是BC邊上的中線，AD，求ABC的面積解：(1)對于2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，由正弦定理得，bsin Basin Absin Ccsin C，即b2a2bcc2，所以cos A，因為0°<A<180°，所以A60°.(2)以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，連接DE，易知A，D，E三點共線在ABE中，ABE120°，AE2AD，在ABE中，由余弦定理得AE2AB2BE22AB·BEcos 120°，即199AC22×3×AC×，得AC2.故SABCbcsinBAC.B組大題增分專練1(2018·長春質(zhì)量監(jiān)測(二)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積Sb2sin A.(1)求的值；(2)設(shè)內(nèi)角A的平分線AD交于BC于D，AD，a，求b.解：(1)由Sbcsin Ab2sin A，可知c2b，即2.(2)由角平分線定理可知，BD，CD，在ABC中，cos B，在ABD中，cos B，即，解得b1.2(2018·貴陽模擬)已知在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，AB邊上的高h(yuǎn)c.(1)若ABC為銳角三角形，且cos A，求角C的正弦值；(2)若C，M，求M的值解：(1)作CDAB，垂足為D，因為ABC為銳角三角形，且cos A，所以sin A，tan A，所以AD，BDABAD，所以BC，由正弦定理得：sinACB.(2)因為SABCc×cabsinACBab，所以c2ab，又a2b2c22abcosACBab，所以a2b2abc2，所以a2b2c2abc2ab×ab2ab，所以M2.3(2018·合肥質(zhì)量檢測)已知ABC中，D為AC邊上一點，BC2，DBC45°.(1)若CD2，求BCD的面積；(2)若角C為銳角，AB6，sin A，求CD的長解：(1)在BCD中，CD2BC2BD22BC·BD·cos 45°，即208BD24BD，解得BD6，所以BCD的面積S×2×6×sin 45°6.(2)在ABC中，由得，解得sin C.由角C為銳角得，cos C，所以sinBDCsin(C45°).在BCD中，即，解得CD.4(2018·高考天津卷)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大?。?2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B，又由bsin Aacos ，得asin Bacos ，即sin Bcos，可得tan B.又因為B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因為a<c，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1，所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B××.17