2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第1節(jié) 不等式的性質(zhì)與一元二次不等式教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第一節(jié)不等式的性質(zhì)與一元二次不等式考綱傳真1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景.2.會從實(shí)際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.4.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計(jì)求解的程序框圖1兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a>bb<a；(2)傳遞性：a>b，b>ca>c；(3)可加性：a>bac>bc；a>b，c>dac>bd；(4)可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc；a>b>0，c>d>0ac>bd；(5)乘方法則：a>b>0an>bn(n2，nN)；(6)開方法則：a>b>0>(n2，nN)；(7)倒數(shù)性質(zhì)：設(shè)ab>0，則a<b>.3“三個(gè)二次”的關(guān)系判別式b24ac>00<0二次函數(shù)yax2bxc(a>0)的圖像一元二次方程ax2bxc0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1x2沒有實(shí)數(shù)根ax2bxc>0(a>0)的解集x|x<x1或x>x2x|xx1Rax2bxc<0(a>0)的解集x|x1<x<x21若ab0，m0，則；若ba0，m0，則.2(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法口訣：大于取兩邊，小于取中間3恒成立問題的轉(zhuǎn)化：af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)min.4能成立問題的轉(zhuǎn)化：af(x)能成立af(x)min；af(x)能成立af(x)max.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集為(x1，x2)，則必有a0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的條件是a0且b24ac0.()答案(1)×(2)(3)×(4)×2(教材改編)設(shè)A(x3)2，B(x2)(x4)，則A與B的大小關(guān)系為()AABBABCAB DABBAB(x3)2(x2)(x4)x26x9x26x810，AB，故選B3(教材改編)若ab0，cd0，則一定有()A. BC. DBcd0，cd0，ab0，acbd，即.故選B4不等式x23x4>0的解集為_(用區(qū)間表示)(4,1)由x23x4>0得x23x4<0，解得4<x<1，所以不等式x23x4>0的解集為(4,1)5(教材改編)若不等式ax2bx20的解集為，則ab_.14由題意知x1，x2是方程ax2bx20的兩個(gè)根，則解得(經(jīng)檢驗(yàn)知滿足題意)ab14.比較大小及不等式性質(zhì)的應(yīng)用1設(shè)，0，那么2的取值范圍是()A.BC. DD，0，2，即2，0.2，故選D2已知a，b，c滿足cba，且ac0，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是()Aabac Bc(ba)0Ccb2ab2 Dac(ac)0Acba，且ac0，c0，a0，acab，即A選項(xiàng)正確3設(shè)f(x)ax2bx，若1f(1)2,3f(1)4，則f(2)的取值范圍是_6,10法一：(待定系數(shù)法)由題意知f(2)4a2b，設(shè)存在實(shí)數(shù)m，n，使得4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(mn)b，所以解得所以f(2)4a2b(ab)3(ab)又3ab4,33(ab)6，所以6(ab)3(ab)10，即f(2)的取值范圍是6,10法二：(運(yùn)用方程思想)由得所以f(2)4a2b3f(1)f(1)又所以63f(1)f(1)10，即f(2)的取值范圍是6,10規(guī)律方法1.用同向不等式求差范圍的技巧adxybc.這種方法在三角函數(shù)中求角的范圍時(shí)經(jīng)常用到2比較大小的三種常用方法(1)作差法：直接作差判斷正負(fù)即可(2)作商法：直接作商與1的大小比較，注意兩式的符號(3)函數(shù)的單調(diào)性法：把比較的兩個(gè)數(shù)看成一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)32xx20；(2)x2(a1)xa<0.解(1)原不等式化為x22x30，即(x3)(x1)0，故所求不等式的解集為x|1x3(2)原不等式可化為(xa)(x1)<0，當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為(1，a)；當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)a<1時(shí)，原不等式的解集為(a,1)母題探究將本例(2)中不等式改為ax2(a1)x1<0，求不等式的解集解若a0，原不等式等價(jià)于x1<0，解得x>1.若a<0，原不等式等價(jià)于(x1)>0，解得x<或x>1.若a>0，原不等式等價(jià)于(x1)<0.當(dāng)a1時(shí)，1，(x1)<0無解；當(dāng)a>1時(shí)，<1，解(x1)<0得<x<1；當(dāng)0<a<1時(shí)，>1，解 (x1)<0得1<x<.綜上所述：當(dāng)a<0時(shí)，解集為；當(dāng)a0時(shí)，解集為x|x>1；當(dāng)0<a<1時(shí)，解集為；當(dāng)a1時(shí)，解集為；當(dāng)a>1時(shí)，解集為.規(guī)律方法1.解一元二次不等式的一般方法和步驟：(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式(2)判：計(jì)算對應(yīng)方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒有實(shí)根(無實(shí)根時(shí)，不等式解集為R或)(3)求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集2解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式(2)判斷方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式與0的關(guān)系(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式 (1)已知不等式ax2bx1>0的解集是，則不等式x2bxa0的解集是()Ax|2<x<3Bx|x2或x3C.D(2)不等式1的解集為_(1)B(2)(1)不等式ax2bx1>0的解集是，ax2bx10的解是x1和x2，且a<0，解得則不等式x2bxa0即為x25x60，解得x2或x3.(2)將原不等式移項(xiàng)通分得0，等價(jià)于解得x或x5.原不等式的解集為.一元二次不等式恒成立問題考法1在R上恒成立，求參數(shù)的范圍【例2】不等式(a2)x22(a2)x4<0對一切xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2,2當(dāng)a20，即a2時(shí)，不等式即為4<0，對一切xR恒成立，當(dāng)a2時(shí)，則有即2<a<2.綜上，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,2考法2在指定區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的范圍【例3】設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1.若對于x1,3，f(x)<m5恒成立，求m的取值范圍解要使f(x)<m5在x1,3上恒成立，即m2m6<0在x1,3上恒成立有以下兩種方法：法一：令g(x)m2m6，x1,3當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)7m6<0，所以m<，所以0<m<；當(dāng)m0時(shí)，6<0恒成立；當(dāng)m<0時(shí)，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)m6<0，所以m<6，所以m<0.綜上所述：m的取值范圍是.法二：因?yàn)閤2x12>0，又因?yàn)閙(x2x1)6<0，所以m<.因?yàn)楹瘮?shù)y在1,3上的最小值為，所以只需m<即可所以m的取值范圍是.考法3變換主元，求x的范圍【例4】對任意的k1,1，函數(shù)f(x)x2(k4)x42k的值恒大于零，則x的取值范圍是_x|x<1或x>3對任意的k1,1，x2(k4)x42k>0恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)>0，在k1,1時(shí)恒成立只需g(1)>0且g(1)>0，即解得x<1或x>3.規(guī)律方法一元二次不等式恒成立問題的求解思路(1)形如f(x)0或f(x)0(xR)的不等式確定參數(shù)的范圍時(shí)，結(jié)合一元二次方程，利用判別式來求解(2)形如f(x)0或f(x)0(xa，b)的不等式確定參數(shù)范圍時(shí)，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值(3)形如f(x)0或f(x)0(參數(shù)ma，b)的不等式確定x的范圍時(shí)，要注意變換主元，一般地，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù) (1)若不等式x2ax20在區(qū)間1,5上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2)求使不等式x2(a6)x93a0(|a|1)恒成立的x的取值范圍(1)設(shè)f(x)x2ax2，由題知a280，所以方程x2ax20恒有一正一負(fù)兩根，于是不等式x2ax20在區(qū)間1,5上有解的充要條件是f(5)0，即a.(2)解將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9，因?yàn)閒(a)0在|a|1時(shí)恒成立，所以(1)若x3，則f(a)0，不符合題意，舍去(2)若x3，則由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得即解得x2或x4.綜上可知，使原不等式恒成立的x的取值范圍是(，2)(4，)1(2016·全國卷)設(shè)集合Ax|x24x3<0，Bx|2x3>0，則AB()A.BC. DDx24x30，1x3，Ax|1x32x30，x，B.ABx|1x3.故選D2.(2016·全國卷)設(shè)集合Sx|(x2)(x3)0，Tx|x>0，則ST()A2,3 B(，23，)C3，) D(0,23，)D由題意知Sx|x2或x3，則STx|0x2或x3故選D- 8 -