2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第1節(jié) 不等式的性質(zhì)與一元二次不等式教學(xué)案 理(含解析)北師大版
第一節(jié)不等式的性質(zhì)與一元二次不等式考綱傳真1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實(shí)際背景.2.會從實(shí)際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.4.會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,會設(shè)計(jì)求解的程序框圖1兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的性質(zhì)(1)對稱性:a>bb<a;(2)傳遞性:a>b,b>ca>c;(3)可加性:a>bac>bc;a>b,c>dac>bd;(4)可乘性:a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc;a>b>0,c>d>0ac>bd;(5)乘方法則:a>b>0an>bn(n2,nN);(6)開方法則:a>b>0>(n2,nN);(7)倒數(shù)性質(zhì):設(shè)ab>0,則a<b>.3“三個(gè)二次”的關(guān)系判別式b24ac>00<0二次函數(shù)yax2bxc(a>0)的圖像一元二次方程ax2bxc0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1,x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1x2沒有實(shí)數(shù)根ax2bxc>0(a>0)的解集x|x<x1或x>x2x|xx1Rax2bxc<0(a>0)的解集x|x1<x<x21若ab0,m0,則;若ba0,m0,則.2(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法口訣:大于取兩邊,小于取中間3恒成立問題的轉(zhuǎn)化:af(x)恒成立af(x)max;af(x)恒成立af(x)min.4能成立問題的轉(zhuǎn)化:af(x)能成立af(x)min;af(x)能成立af(x)max.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“×”)(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集為(x1,x2),則必有a0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)沒有實(shí)數(shù)根,則不等式ax2bxc0的解集為R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的條件是a0且b24ac0.()答案(1)×(2)(3)×(4)×2(教材改編)設(shè)A(x3)2,B(x2)(x4),則A與B的大小關(guān)系為()AABBABCAB DABBAB(x3)2(x2)(x4)x26x9x26x810,AB,故選B3(教材改編)若ab0,cd0,則一定有()A. BC. DBcd0,cd0,ab0,acbd,即.故選B4不等式x23x4>0的解集為_(用區(qū)間表示)(4,1)由x23x4>0得x23x4<0,解得4<x<1,所以不等式x23x4>0的解集為(4,1)5(教材改編)若不等式ax2bx20的解集為,則ab_.14由題意知x1,x2是方程ax2bx20的兩個(gè)根,則解得(經(jīng)檢驗(yàn)知滿足題意)ab14.比較大小及不等式性質(zhì)的應(yīng)用1設(shè),0,那么2的取值范圍是()A.BC. DD,0,2,即2,0.2,故選D2已知a,b,c滿足cba,且ac0,那么下列選項(xiàng)中一定成立的是()Aabac Bc(ba)0Ccb2ab2 Dac(ac)0Acba,且ac0,c0,a0,acab,即A選項(xiàng)正確3設(shè)f(x)ax2bx,若1f(1)2,3f(1)4,則f(2)的取值范圍是_6,10法一:(待定系數(shù)法)由題意知f(2)4a2b,設(shè)存在實(shí)數(shù)m,n,使得4a2bm(ab)n(ab),即4a2b(mn)a(mn)b,所以解得所以f(2)4a2b(ab)3(ab)又3ab4,33(ab)6,所以6(ab)3(ab)10,即f(2)的取值范圍是6,10法二:(運(yùn)用方程思想)由得所以f(2)4a2b3f(1)f(1)又所以63f(1)f(1)10,即f(2)的取值范圍是6,10規(guī)律方法1.用同向不等式求差范圍的技巧adxybc.這種方法在三角函數(shù)中求角的范圍時(shí)經(jīng)常用到2比較大小的三種常用方法(1)作差法:直接作差判斷正負(fù)即可(2)作商法:直接作商與1的大小比較,注意兩式的符號(3)函數(shù)的單調(diào)性法:把比較的兩個(gè)數(shù)看成一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)值,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式:(1)32xx20;(2)x2(a1)xa<0.解(1)原不等式化為x22x30,即(x3)(x1)0,故所求不等式的解集為x|1x3(2)原不等式可化為(xa)(x1)<0,當(dāng)a>1時(shí),原不等式的解集為(1,a);當(dāng)a1時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)a<1時(shí),原不等式的解集為(a,1)母題探究將本例(2)中不等式改為ax2(a1)x1<0,求不等式的解集解若a0,原不等式等價(jià)于x1<0,解得x>1.若a<0,原不等式等價(jià)于(x1)>0,解得x<或x>1.若a>0,原不等式等價(jià)于(x1)<0.當(dāng)a1時(shí),1,(x1)<0無解;當(dāng)a>1時(shí),<1,解(x1)<0得<x<1;當(dāng)0<a<1時(shí),>1,解 (x1)<0得1<x<.綜上所述:當(dāng)a<0時(shí),解集為;當(dāng)a0時(shí),解集為x|x>1;當(dāng)0<a<1時(shí),解集為;當(dāng)a1時(shí),解集為;當(dāng)a>1時(shí),解集為.規(guī)律方法1.解一元二次不等式的一般方法和步驟:(1)化:把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式(2)判:計(jì)算對應(yīng)方程的判別式,根據(jù)判別式判斷方程有沒有實(shí)根(無實(shí)根時(shí),不等式解集為R或)(3)求:求出對應(yīng)的一元二次方程的根(4)寫:利用“大于取兩邊,小于取中間”寫出不等式的解集2解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟:(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式(2)判斷方程的根的個(gè)數(shù),討論判別式與0的關(guān)系(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集,確定方程有兩個(gè)根時(shí),要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集形式 (1)已知不等式ax2bx1>0的解集是,則不等式x2bxa0的解集是()Ax|2<x<3Bx|x2或x3C.D(2)不等式1的解集為_(1)B(2)(1)不等式ax2bx1>0的解集是,ax2bx10的解是x1和x2,且a<0,解得則不等式x2bxa0即為x25x60,解得x2或x3.(2)將原不等式移項(xiàng)通分得0,等價(jià)于解得x或x5.原不等式的解集為.一元二次不等式恒成立問題考法1在R上恒成立,求參數(shù)的范圍【例2】不等式(a2)x22(a2)x4<0對一切xR恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2,2當(dāng)a20,即a2時(shí),不等式即為4<0,對一切xR恒成立,當(dāng)a2時(shí),則有即2<a<2.綜上,可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,2考法2在指定區(qū)間上恒成立,求參數(shù)的范圍【例3】設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1.若對于x1,3,f(x)<m5恒成立,求m的取值范圍解要使f(x)<m5在x1,3上恒成立,即m2m6<0在x1,3上恒成立有以下兩種方法:法一:令g(x)m2m6,x1,3當(dāng)m>0時(shí),g(x)在1,3上是增函數(shù),所以g(x)maxg(3)7m6<0,所以m<,所以0<m<;當(dāng)m0時(shí),6<0恒成立;當(dāng)m<0時(shí),g(x)在1,3上是減函數(shù),所以g(x)maxg(1)m6<0,所以m<6,所以m<0.綜上所述:m的取值范圍是.法二:因?yàn)閤2x12>0,又因?yàn)閙(x2x1)6<0,所以m<.因?yàn)楹瘮?shù)y在1,3上的最小值為,所以只需m<即可所以m的取值范圍是.考法3變換主元,求x的范圍【例4】對任意的k1,1,函數(shù)f(x)x2(k4)x42k的值恒大于零,則x的取值范圍是_x|x<1或x>3對任意的k1,1,x2(k4)x42k>0恒成立,即g(k)(x2)k(x24x4)>0,在k1,1時(shí)恒成立只需g(1)>0且g(1)>0,即解得x<1或x>3.規(guī)律方法一元二次不等式恒成立問題的求解思路(1)形如f(x)0或f(x)0(xR)的不等式確定參數(shù)的范圍時(shí),結(jié)合一元二次方程,利用判別式來求解(2)形如f(x)0或f(x)0(xa,b)的不等式確定參數(shù)范圍時(shí),常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值(3)形如f(x)0或f(x)0(參數(shù)ma,b)的不等式確定x的范圍時(shí),要注意變換主元,一般地,知道誰的范圍,就選誰當(dāng)主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù) (1)若不等式x2ax20在區(qū)間1,5上有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2)求使不等式x2(a6)x93a0(|a|1)恒成立的x的取值范圍(1)設(shè)f(x)x2ax2,由題知a280,所以方程x2ax20恒有一正一負(fù)兩根,于是不等式x2ax20在區(qū)間1,5上有解的充要條件是f(5)0,即a.(2)解將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9,因?yàn)閒(a)0在|a|1時(shí)恒成立,所以(1)若x3,則f(a)0,不符合題意,舍去(2)若x3,則由一次函數(shù)的單調(diào)性,可得即解得x2或x4.綜上可知,使原不等式恒成立的x的取值范圍是(,2)(4,)1(2016·全國卷)設(shè)集合Ax|x24x3<0,Bx|2x3>0,則AB()A.BC. DDx24x30,1x3,Ax|1x32x30,x,B.ABx|1x3.故選D2.(2016·全國卷)設(shè)集合Sx|(x2)(x3)0,Tx|x>0,則ST()A2,3 B(,23,)C3,) D(0,23,)D由題意知Sx|x2或x3,則STx|0x2或x3故選D- 8 -