2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 綜合法與分析法、反證法教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第五節(jié)綜合法與分析法、反證法考綱傳真1.了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法；了解綜合法和分析法的思考過(guò)程和特點(diǎn).2.了解反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn)1綜合法從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，通過(guò)演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明，這樣的思維方法稱(chēng)為綜合法2分析法從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個(gè)結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等，這樣的思維方法稱(chēng)為分析法3反證法(1)定義：在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個(gè)前提下，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說(shuō)明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立這種證明方法叫作反證法(2)反證法的證明步驟是：作出否定結(jié)論的假設(shè)；進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；否定假設(shè)，肯定結(jié)論基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)綜合法的思維過(guò)程是由因?qū)Ч鸩綄ふ乙阎谋匾獥l件()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(3)用反證法證明時(shí)，推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾()(4)在解決問(wèn)題時(shí)，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程()答案(1)(2)×(3)×(4)2要證a2b21a2b20 ，只要證明()A2ab1a2b20Ba2b210C1a2b20D(a21)(b21)0Da2b21a2b20(a21)(b21)0.3用反證法證明命題：“已知a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A方程x2axb0沒(méi)有實(shí)根B方程x2axb0至多有一個(gè)實(shí)根C方程x2axb0至多有兩個(gè)實(shí)根D方程x2axb0恰好有兩個(gè)實(shí)根A“方程x2axb0至少有一個(gè)實(shí)根”的反面是“方程x2axb0沒(méi)有實(shí)根”，故選A4已知a，b，x均為正數(shù)，且a>b，則與的大小關(guān)系是_>>0，>.5(教材改編)在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_(kāi)三角形等邊由題意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC為等邊三角形綜合法1已知m1，a，b，則以下結(jié)論正確的是()AabBabCabDa，b大小不定Ba，b.而0(m1)，即ab.2已知函數(shù)f(x)(a0，且a1)(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值證明(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，任取一點(diǎn)(x，y)，它關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1x，1y)由已知y，則1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)(2)由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.規(guī)律方法綜合法證題的思路分析法1若a，b(1，)，證明.證明要證，只需證()2()2，只需證ab1ab0，即證(a1)(1b)0.因?yàn)閍1，b1，所以a10,1b0，即(a1)(1b)0成立，所以原不等式成立2已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.求證：.證明要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60°，由余弦定理，得，b2c2a22accos 60°，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立規(guī)律方法分析法的證題思路(1)分析法的證題思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證(2)證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證反證法考法1證明否定性命題【例1】設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列解(1)設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn.則Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn1a1qn，兩式相減得(1q)Sna1a1qna1(1qn)，當(dāng)q1時(shí)，Sn，當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1a1na1，所以Sn(2)證明：假設(shè)數(shù)列an1是等比數(shù)列，則(a11)(a31)(a21)2，即a1a3a1a31a2a21，因?yàn)閍n是等比數(shù)列，公比為q，所以a1a3a，a2a1q，a3a1q2，所以a1(1q2)2a1q.即q22q10，(q1)20，q1，這與已知q1矛盾，所以假設(shè)不成立，故數(shù)列an1不是等比數(shù)列考法2證明“至多”“至少”命題【例2】已知a，b，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)，用反證法證明三個(gè)方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根證明假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根則14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0，上述三個(gè)式子相加得：a22abb2b22bcc2c22aca20，即(ab)2(bc)2(ca)20.所以abc這與a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)相矛盾因此假設(shè)不成立，故三個(gè)方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根規(guī)律方法用反證法證明數(shù)學(xué)命題需把握的三點(diǎn)(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，但是推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的 設(shè)a>0，b>0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a<2與b2b<2不可能同時(shí)成立證明由ab，a>0，b>0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)，等號(hào)成立，即ab2.(2)假設(shè)a2a<2與b2b<2同時(shí)成立，則由a2a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab1矛盾故a2a<2與b2b<2不可能同時(shí)成立- 7 -