2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示考綱傳真1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a0，b0，a，b共線x1y2x2y10.常用結(jié)論1若a與b不共線，且ab0，則0.2若G是ABC的重心，則0，()基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)在ABC中，向量，的夾角為ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，則向量ab()A(2，1)B(2,1)C(1,0) D(1,2)Da(1,1)，b(1，1)，a，bab(1,2)，故選D.3在下列向量組中，可以把向量a(3,2)表示出來的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)BA項(xiàng)中e1e2，C項(xiàng)中e22e1，D項(xiàng)中e1e2，只有B項(xiàng)中e1，e2不共線，故a可以由e1(1,2)，e2(5，2)表示，故選B.4設(shè)向量a(2,4)與向量b(x,6)共線，則實(shí)數(shù)x等于()A2B3 C4D6B由ab可知2×64x0，x3.故選B.5(教材改編)已知ABCD的頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(1,5)設(shè)D(x，y)，則由，得(4,1)(5x,6y)，即解得平面向量基本定理及其應(yīng)用1如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()Ae1與e1e2Be12e2與e12e2Ce1e2與e1e2 De13e2與6e22e1D選項(xiàng)A中，設(shè)e1e2e1，則無解；選項(xiàng)B中，設(shè)e12e2(e12e2)，則無解；選項(xiàng)C中，設(shè)e1e2(e1e2)，則無解；選項(xiàng)D中，e13e2(6e22e1)，所以兩向量是共線向量故選D.2在ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，則的值為()A.B. C.D1A因?yàn)镸為邊BC上任意一點(diǎn)，所以可設(shè)xy(xy1)因?yàn)镹為AM的中點(diǎn)，所以xy.所以(xy).故選A.3如圖，以向量a，b為鄰邊作OADB，用a，b表示，.解ab，ab，ab.ab，ab，ababab.綜上，ab，ab，ab.規(guī)律方法平面向量基本定理應(yīng)用的實(shí)質(zhì)和一般思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例1】(1)向量a，b滿足ab(1,5)，ab(5，3)，則b為()A(3,4) B(3,4)C(3，4) D(3，4)(2)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中，如圖所示，若cab(，R)，則()A1B2 C3D4(1)A(2)D(1)ab(1,5)，ab(5，3)，a(2,1)，b(3,4)，故選A.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系可得a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab(，R)解得2，.4.規(guī)律方法1.巧借方程思想求坐標(biāo)：若已知向量?jī)啥它c(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中注意方程思想的應(yīng)用.2.向量問題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算的代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算問題. (1)已知A(1,4)，B(3,2)，向量(2,4)，D為AC的中點(diǎn)，則()A(1,3)B(3,3)C(3，3) D(1，3)(2)若向量a(2,1)，b(1,2)，c，則c可用向量a，b表示為()Acab BcabCcab Dcab(1)B(2)A(1)D為AC的中點(diǎn)，()，又(4,2)，(2,4)，(6,6)(3,3)，故選B.(2)設(shè)cxayb，易知cab.故選A.向量共線的坐標(biāo)表示【例2】已知a(1,0)，b(2,1)(1)當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a2b共線；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值解(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab與a2b共線，2(k2)(1)×50，k.(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)，(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三點(diǎn)共線，8m3(2m1)0，m.規(guī)律方法與向量共線有關(guān)的題型與解法(1)證三點(diǎn)共線：可先證明相關(guān)的兩向量共線，再說明兩向量有公共點(diǎn)；(2)已知向量共線，求參數(shù)：可利用向量共線的充要條件列方程(組)求解. (1)已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab與3ab平行，則實(shí)數(shù)x的值是_(2)已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值是_(1)2(2)(1)由題意得ab(3,1x)，3ab(1,3x)，則由ab與3ab平行得3×(3x)1×(1x)0，解得x2.(2)(4k，7)，(2k，2)A，B，C三點(diǎn)共線，共線，2×(4k)7×(2k)，解得k.1(2015·全國卷)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4) D(1,4)A(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)故選A.2(2018·全國卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，則_.2ab(4,2)，因?yàn)閏(1，)，且c(2ab)，所以1×24，即.3(2016·全國卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_.6a(m,4)，b(3，2)，ab，2m4×30，m6.- 6 -