2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和教學(xué)案 理（含解析）新人教A版

第四節(jié)數(shù)列求和考綱傳真1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法1公式法(1)等差數(shù)列的前n項和公式：Snna1d；(2)等比數(shù)列的前n項和公式：Sn2幾種數(shù)列求和的常用方法(1)分組求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減(2)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和裂項時常用的三種變形：；.(3)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解(4)倒序相加法：如果一個數(shù)列an與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解(5)并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.常用結(jié)論常用求和公式(1)1234n.(2)13572n1n2.(3)24682nn2n.(4)1222n2.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)已知等差數(shù)列an的公差為d，則有.()(2)當n2時，.()(3)求Sna2a23a3nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得()(4)如果數(shù)列an是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列，那么SkmmSk.()答案(1)(2)(3)×(4)2(教材改編)數(shù)列an的前n項和為Sn，若an，則S5等于()A1B.C. D.Ban，S5a1a2a51.3數(shù)列an的通項公式是an，前n項和為9，則n等于()A9 B99C10 D100Ban，Sna1a2an()()()()1，令19，得n99，故選B.4數(shù)列12n1的前n項和為()A12n B22nCn2n1 Dn22nCSn(111)(20212n1)n2nn1.故選C.5數(shù)列an的前n項和為Sn，已知Sn1234(1)n1·n，則S17_.9S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.分組轉(zhuǎn)化法求和【例1】(2018·合肥檢測)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足S424，S763.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn2an(1)n·an，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)因為an為等差數(shù)列，所以an2n1.(2)因為bn2an(1)n·an22n1(1)n·(2n1)2×4n(1)n·(2n1)，所以Tn2×(41424n)3579(1)n·(2n1)Gn.當n2k(kN*)時，Gn2×n，所以Tnn；當n2k1(kN*)時，Gn2×(2n1)n2，所以Tnn2，所以Tn.規(guī)律方法分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an bn±cn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求an的前n項和(2)通項公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和易錯警示：注意在含有字母的數(shù)列中對字母的分類討論 (2016·北京高考)已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項和解(1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(nN*)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因為a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，)(2)由(1)知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.從而數(shù)列cn的前n項和Sn13(2n1)133n1n2.裂項相消法求和【例2】(2019·唐山五校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足：(32n1)，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog3，求.解(321)3，當n2時，因為(32n1)(32n21)32n1，當n1時，32n1也成立，所以an.(2)bnlog3(2n1)，因為，所以.規(guī)律方法(1)利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.(2)將通項公式裂項后，有時侯需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等. (2019·銀川質(zhì)檢)正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，證明：對于任意的nN*，都有Tn.解(1)S(n2n1)Sn(n2n)0，Sn(n2n)(Sn1)0，Snn2n或Sn1(舍去)當n1時，a1S12，當n2時，anSnSn12n，an2n(nN*)(2)bn.Tn1又nN*，Tn.錯位相減法求和【例3】已知數(shù)列an的首項a13，前n項和為Sn，an12Sn3，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式(2)設(shè)bnlog3an，求數(shù)列的前n項和Tn.解(1)由an12Sn3，得an2Sn13(n2)，兩式相減得an1an2(SnSn1)2an，故an13an(n2)，所以當n2時，an是以3為公比的等比數(shù)列因為a22S132a139，3，所以an是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，an3n.(2)an3n，故bnlog3anlog33nn，n·n，Tn1×2×23×3n×n，Tn1×22×33×4(n1)×nn×n1.，得Tn23nn×n1n×n1n1，所以Tnn.規(guī)律方法錯位相減法求和的具體步驟步驟1寫出Snc1c2cn；步驟2等式兩邊同乘等比數(shù)列的公比q，即qSnqc1qc2qcn；步驟3兩式錯位相減轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列求和；步驟4兩邊同除以1q，求出Sn.同時注意對q是否為1進行討論. (2017·天津高考)已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN*)，bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項和(nN*)解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因為q>0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18由S1111b4，可得a15d16聯(lián)立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以數(shù)列an的通項公式為an3n2，數(shù)列bn的通項公式為bn2n.(2)設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項和為Tn，由a2n6n2，b2n12×4n1，得a2nb2n1(3n1)×4n，故Tn2×45×428×43(3n1)×4n，4Tn2×425×438×44(3n4)×4n(3n1)×4n1，得3Tn2×43×423×433×4n(3n1)×4n14(3n1)×4n1(3n2)×4n18，得Tn×4n1.所以數(shù)列a2nb2n1的前n項和為×4n1.1(2017·全國卷)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a33，S410，則 _.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由得Snn×1×1，2. 22.2(2015·全國卷)Sn為數(shù)列an的前n項和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.，得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an>0，得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，則Tnb1b2bn.- 8 -