2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第5節(jié) 獨立重復(fù)試驗與二項分布教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第五節(jié)獨立重復(fù)試驗與二項分布考綱傳真1.了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念.2.理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單問題1條件概率在已知B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率叫作B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，用符號P(A|B)來表示，其公式為P(A|B)(P(B)0)2相互獨立事件(1)一般地，對兩個事件A，B，如果P(AB)P(A)P(B)，則稱A，B相互獨立(2)如果A，B相互獨立，則A與，與B，與也相互獨立(3)如果A1，A2，An相互獨立，則有P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)3獨立重復(fù)試驗與二項分布(1)獨立重復(fù)試驗在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，其中Ai(i1,2，n)是第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)(2)二項分布進行n次試驗，如果滿足以下條件：每次試驗只有兩個相互對立的結(jié)果，可以分別稱為“成功”和“失敗”；每次試驗“成功”的概率均為p，“失敗”的概率均為1p；各次試驗是相互獨立的用X表示這n次試驗中成功的次數(shù)，則P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)若一個隨機變量X的分布列如上所述，稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，簡記為XB(n，p)基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)相互獨立事件就是互斥事件()(2)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)P(B)()(3)公式P(AB)P(A)P(B)對任意兩個事件都成立()(4)二項分布是一個概率分布列，是一個用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n表示的概率分布列，它表示了n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布()答案(1)×(2)(3)×(4)2設(shè)隨機變量XB，則P(X3)等于()A.BC.DAXB，P(X3)C6.故選A.3已知P(B|A)，P(AB)，則P(A)等于()A. B C. DC由P(AB)P(A)P(B|A)，得P(A)，P(A).4某人射擊，一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為_PC0.620.4C0.63.5天氣預(yù)報，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為_038設(shè)甲地降雨為事件A，乙地降雨為事件B，則兩地恰有一地降雨為AB，P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.2×0.70.8×0.30.38.條件概率1從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)()A.BC.DB法一：P(A)，P(AB).由條件概率計算公式，得P(B|A).法二：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4個事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2,4)一種情形，即n(AB)1.故由古典概型概率P(B|A).2某校組織由5名學(xué)生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生A和B都不是第一個出場，B不是最后一個出場”的前提下，學(xué)生C第一個出場的概率為()A. B C. DA因為“A和B都不是第一個出場，B不是最后一個出場”的安排方法中，另外3人中任何一個第一個出場的概率相等，故“C第一個出場”的概率是.3(2019·運城模擬)有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為_072設(shè)“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長為幼苗”為事件AB(發(fā)芽，又成活為幼苗)出芽后的幼苗成活率為P(B|A)0.8，P(A)0.9，根據(jù)條件概率公式得P(AB)P(B|A)·P(A)0.8×0.90.72，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.規(guī)律方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)，這是求條件概率的通法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A).相互獨立事件的概率【例1】某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況規(guī)定一名運動員出線記1分，未出線記0分假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為，他們出線與未出線是相互獨立的(1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率；(2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員的得分之和為隨機變量，求隨機變量的分布列解(1)記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事件B，“丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D，則P(D)1P( )1××.(2)由題意可得，的所有可能取值為0,1,2,3，則P(0)P( )××；P(1)P( )P( )P( )××××××；P(2)P(AB)P(AC)P(BC)××××××；P(3)P(ABC)××.所以的分布列為0123P規(guī)律方法1.求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，先將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件或轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，再求概率2求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法：(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解(2)直接計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算 設(shè)某人有5發(fā)子彈，他向某一目標(biāo)射擊時，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為.若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完(1)求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率；(2)求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列解記“第k發(fā)子彈命中目標(biāo)”為事件Ak(k1,2,3,4,5)，則A1，A2，A3，A4，A5相互獨立，且P(Ak)，P().(1)法一：他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P(A1)P(A2)P(A1)P()P()P(A2)××.法二：由獨立重復(fù)試驗的概率計算公式知，他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為PC××.(2)X的所有可能取值為2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P( )××，P(X3)P(A1 )P(A2A3)×2×2，P(X4)P(A1A3A4)P(A2 )3×3×，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).綜上，X的分布列為X2345P獨立重復(fù)試驗與二項分布【例2】(2019·佛山模擬)某企業(yè)對新擴建的廠區(qū)進行綠化，移栽了銀杏、垂柳兩種大樹各2株假定銀杏移栽的成活率為，垂柳移栽的成活率為，且各株大樹是否成活互不影響(1)求兩種大樹各成活1株的概率；(2)設(shè)為兩種大樹成活的株數(shù)之和，求隨機變量的分布列解(1)記“銀杏大樹成活1株”為事件A，“垂柳大樹成活1株”為事件B，則“兩種大樹各成活1株”為事件AB由題可知P(A)C··，P(B)C··，由于事件A與B相互獨立，所以P(AB)P(A)·P(B).(2)由題意知的所有可能取值為0,1,2,3,4.P(0)2·2；P(1)C···2C···2；P(2)2·22·2；P(3)C···2C···2；P(4)2·2.所以的分布列為01234P規(guī)律方法獨立重復(fù)試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略(1)在求n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率(2)在根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，求得概率 某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495，(495,500，(510,515由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列解(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.055×0.010.3，所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.312(件)(2)重量超過505的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0,1,2，X服從超幾何分布P(X0)，P(X1)，P(X2)，X的分布列為X012P(3)根據(jù)樣本估計總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為.從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2次獨立重復(fù)試驗，質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且YB，P(Xk)C2kk，所以P(Y0)C·2，P(Y1)C··，P(Y2)C·2.Y的分布列為Y012P1(2015·全國卷)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為()A0.648 B0.432C0.36 D0.312A3次投籃投中2次的概率為P(k2)C×0.62×(10.6)，投中3次的概率為P(k3)0.63，所以通過測試的概率為P(k2)P(k3)C×0.62×(10.6)0.630.648.故選A.2(2014·全國卷)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A0.8 B0.75C0.6 D0.45A已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P0.8.- 8 -