2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性考綱傳真1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、正周期的含義， 會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性1奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)叫作奇函數(shù)；圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)叫作偶函數(shù)2判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性，一般按照定義嚴(yán)格進(jìn)行，一般步驟是(1)考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；(2)考察表達(dá)式f(x)是否與f(x)或f(x)相等若f(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(x)f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)3函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么就稱(chēng)函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期常用結(jié)論1函數(shù)奇偶性的三個(gè)重要結(jié)論(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，那么一定有f(0)0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性2周期性的幾個(gè)常用結(jié)論對(duì)f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x，周期為T(mén)，則(1) 若f(xa)f(x)，則T2a；(2)若f(xa)，則T2a；(3)若f(xa)f(xb)，則Tab.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)yx2，x(0，)是偶函數(shù)()(2)偶函數(shù)圖像不一定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖像一定過(guò)原點(diǎn)()(3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱(chēng)()(4)函數(shù)f(x)在定義域上滿(mǎn)足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù)()答案(1)×(2)×(3)(4)2(教材改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x| Dy2xBA為奇函數(shù)，C，D為非奇非偶函數(shù)，B為偶函數(shù)，故選B.3已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是()A B.C. DB依題意b0，且2a(a1)，b0且a，則ab.4(教材改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x(1x)，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)的解析式為()Af(x)x(1x) Bf(x)x(1x)Cf(x)x(1x) Df(x)x(x1)B當(dāng)x0時(shí)，x0，又x0時(shí)，f(x)x(1x)，故f(x)x(1x)又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，f(x)x(1x)，即f(x)x(1x)，故選B.5已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x4)f(x)，則f(8)的值為_(kāi)0f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0，又f(x4)f(x)，T4.f(8)f(0)0.函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用【例1】(1)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函數(shù)，則a_.(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性：f(x)；f(x)；f(x)(1)由f(x)f(x)得ln(e3x1)axln(e3x1)ax，整理得ln2ax0.e3x，ln e3x2ax0，2ax3x，即(2a3)x0對(duì)任意x恒成立，故2a30，所以a.(2)解由得x23，解得x±，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，從而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)由得定義域?yàn)?1,0)(0,1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(x)f(x)成立，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)規(guī)律方法判斷函數(shù)的奇偶性的兩種方法(1)定義法：(2)圖像法： (1)已知yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.ABC D(2)(2019·湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)(exex)ln 1，若f(a)1，則f(a)()A1 B1C3 D3(3)若函數(shù)f(x)x5ax3bsin x2在3,3上的最大值為M，最小值為m，則Mm_.(1)D(2)D(3)4(1)由奇函數(shù)的定義，f(x)f(x)驗(yàn)證，f(|x|)f(|x|)，故為偶函數(shù)；f(x)f(x)f(x)，為奇函數(shù)；xf(x)x·f(x)xf(x)，為偶函數(shù)；f(x)(x)f(x)x，為奇函數(shù)綜上可知正確，故選D.(2)令g(x)f(x)1(exex)ln ，則g(x)(exex)ln (exex)ln g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以f(a)g(a)1g(a)1f(a)23，故選D.(3)令g(x)x5ax3bsin x，x3,3，則g(x)為奇函數(shù)，f(x)g(x)2，Mf(x)maxg(x)max2，mf(x)ming(x)min2，Mm4.函數(shù)周期性、對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用【例2】(1)(2018·全國(guó)卷)已知f(x)是定義在(，)的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f(1x)f(1x)若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0C2 D50(2)(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x4)f(x)(xR)，且在區(qū)間(2,2上，f(x)則f(f(15)的值為_(kāi)(1)C(2)(1)由f(1x)f(1x)可知f(x)f(2x)，又f(x)f(x)，且f(x)f(2x)，故f(2x)f(x)，f(4x)f(x)，即函數(shù)yf(x)是周期為4的周期函數(shù)又由題意可知f(0)0，f(1)2，所以f(2)f(0)0，f(3)f(1)f(1)2，f(4)f(0)0，f(1)f(2)f(3)f(4)20200.又5012×42，f(1)f(2)f(3)f(50)4f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)4×0202.故選C.(2)由函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x4)f(x)(xR)，可知函數(shù)f(x)的最小正周期是4.因?yàn)樵趨^(qū)間(2,2上，f(x)所以f(f(15)f(f(1)fcos .規(guī)律方法(1)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題.(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能.在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期. (2019·泉州檢測(cè))奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x1)為偶函數(shù)，且f(1)2，則f(4)f(5)_.2f(x1)為偶函數(shù)，f(x)是奇函數(shù)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x)，f(0)0，f(x1)f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x22)f(x2)f(x)，f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則f(4)f(0)0，f(5)f(1)2，f(4)f(5)022.函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用考法1單調(diào)性與奇偶性結(jié)合【例3】函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)為減函數(shù)，且f(1)1，若f(x2)1，則x的取值范圍是()A(，3B(，1C3，) D1，) A函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且是0，)上的減函數(shù)，故函數(shù)f(x)在R上遞減又f(1)1，所以f(1)1，因此f(x2)1f(x2)f(1)x21x3，所以x的取值范圍是(，3，故選A.考法2周期性與奇偶性結(jié)合【例4】(1)(2019·四川模擬)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x4)f(x)，當(dāng)x4,6時(shí)f(x)2x1，則f(x)在區(qū)間2,0上的表達(dá)式為()Af(x)2x1 Bf(x)2x41Cf(x)2x41 Df(x)2x1(2)(2017·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x4)f(x2)若當(dāng)x3,0時(shí)，f(x)6x，則f(919)_.(1)B(2)6(1)當(dāng)x2,0時(shí)，x0,2，x44,6又當(dāng)x4,6時(shí)，f(x)2x1，f(x4)2x41.又f(x4)f(x)，函數(shù)f(x)的周期為T(mén)4，f(x4)f(x)又函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)2x41，當(dāng)x2,0時(shí)，f(x)2x41.故選B.(2)f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期為6的周期函數(shù)，f(919)f(153×61)f(1)又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(1)f(1)6，即f(919)6.考法3奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合【例5】(2019·惠州調(diào)研)已知函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镽，且滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：對(duì)任意的x1，x24,8，當(dāng)x1x2時(shí)，都有0恒成立；f(x4)f(x)；yf(x4)是偶函數(shù)若af(7)，bf(11)，cf(2 018)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是()Aabc BbcaCacb DcbaB由知函數(shù)f(x)在區(qū)間4,8上為遞增函數(shù)；由知f(x8)f(x4)f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為8，所以cf(2 018)f(252×82)f(2)，bf(11)f(3)；由可知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x4對(duì)稱(chēng)，所以bf(3)f(5)，cf(2)f(6)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間4,8上為遞增函數(shù)，所以f(5)f(6)f(7)，即bca，故選B.規(guī)律方法函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題方法(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性.(2)周期性與奇偶性結(jié)合.此類(lèi)問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類(lèi)問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解. (1)(2019·山師大附中模擬)函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(x1)f(x)，若f(x)在1,0上遞減，則函數(shù)f(x)在3,5上是()A增函數(shù)B減函數(shù)C先增后減的函數(shù)D先減后增的函數(shù)(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間0，)上為增函數(shù)，且f0，則不等式f(x)0的解集為_(kāi)(1)D(2)(1)已知f(x1)f(x)，則函數(shù)周期T2，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，在1,0上遞減，所以函數(shù)f(x)在0,1上遞增，即函數(shù)f(x)在3,5上是先減后增的函數(shù)故選D.(2)由已知f(x)在R上為偶函數(shù)，且f0，f(x)0等價(jià)于f(|x|)f，又f(x)在0，)上為增函數(shù)，|x|，即x或x.1(2017·全國(guó)卷)函數(shù)f(x)在(，)遞減，且為奇函數(shù)若f(1)1，則滿(mǎn)足1f(x2)1的x的取值范圍是()A2,2B1,1C0,4 D1,3Df(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)遞減，1x21，1x3.故選D.2(2014·全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()Af(x)g(x)是偶函數(shù)B|f(x)|g(x)是奇函數(shù)Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù)D|f(x)g(x)|是奇函數(shù)CA：令h(x)f(x)·g(x)，則h(x)f(x)·g(x)f(x)·g(x)h(x)，h(x)是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤B：令h(x)|f(x)|g(x)，則h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤C：令h(x)f(x)|g(x)|，則h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函數(shù)，C正確D：令h(x)|f(x)·g(x)|，則h(x)|f(x)·g(x)|f(x)·g(x)|f(x)·g(x)|h(x)，h(x)是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤3.(2017·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)2x3x2，則f(2)_.12法一：令x0，則x0.f(x)2x3x2.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)f(x)f(x)2x3x2(x0)f(2)2×232212.法二：f(2)f(2)2×(2)3(2)212.4(2015·全國(guó)卷)若函數(shù)f(x)xln(x)為偶函數(shù)，則a_.1f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)0恒成立，xln(x)xln(x)0恒成立，xln a0恒成立，ln a0，即a1.5(2014·全國(guó)卷)已知偶函數(shù)f(x)在0，)遞減，f(2)0.若f(x1)>0，則x的取值范圍是_(1,3)f(x)是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)又f(2)0，且f(x)在0，)遞減，則f(x)的大致圖像如圖所示，由f(x1)>0，得2<x1<2，即1<x<3.- 10 -