2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和教學(xué)案 理(含解析)新人教A版
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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和教學(xué)案 理(含解析)新人教A版
第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和考綱傳真1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系1等差數(shù)列(1)定義:一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示數(shù)學(xué)語言表示為an1and(nN*),d為常數(shù)(2)等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是A,其中A叫做a,b的等差中項(3)等差數(shù)列的通項公式:ana1(n1)d,可推廣為anam(nm)d.(4)等差數(shù)列的前n項和公式:Snna1d.2等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系(1)ana1(n1)d可化為andna1d的形式當d0時,an是關(guān)于n的一次函數(shù);當d0時,數(shù)列為遞增數(shù)列;當d0時,數(shù)列為遞減數(shù)列(2)數(shù)列an是等差數(shù)列,且公差不為0SnAn2Bn(A,B為常數(shù))常用結(jié)論1已知數(shù)列an的通項公式是anpnq(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列an一定是等差數(shù)列,且公差為p.2若數(shù)列an與bn均為等差數(shù)列,且前n項和分別是Sn和Tn,則.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“×”)(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN*,都有2an1anan2.()(3)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)()(4)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)()答案(1)×(2)(3)×(4)×2等差數(shù)列an中,a4a810,a106,則公差d等于()A. B. C2 DAa4a82a610,a65,又a106,公差d.故選A.3(教材改編)設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,若a62且S530,則S8等于()A31 B32 C33 D34B設(shè)數(shù)列an的公差為d,法一:由S55a330得a36,又a62,S832.法二:由得S88a1d8×28×32.4在等差數(shù)列an中,a17,公差為d,前n項和為Sn,當且僅當n8時Sn取得最大值,則d的取值范圍為_由題意可知即解得1d.5(教材改編)在等差數(shù)列an中,若a3a4a5a6a7450,則a2a8_.180an為等差數(shù)列,a3a4a5a6a75a5450,a590,a2a82a5180.等差數(shù)列基本量的運算1若等差數(shù)列an的前5項和S525,且a23,則a7()A12 B13 C14 D15B由題意得S55a325,a35,公差da3a22,a7a25d35×213.故選B.2已知在等差數(shù)列an中,a120,an54,Sn3 700,則數(shù)列的公差d,項數(shù)n分別為()Ad0.34,n100 Bd0.34,n99Cd,n100 Dd,n99C由得解得故選C.3(2018·寧德二模)已知等差數(shù)列an滿足a3a514,a2a633,則a1a7()A33 B16 C13 D12C由得解得或當a11,d2時,a716×213,a1a713;當a113,d2時,a7136×(2)1,a1a713.綜上可知a1a713.故選C.4(2018·西寧一模)我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)·均輸中記載了這樣一個問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等,問各得幾何?”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列,問五人各得多少錢?”(“錢”是古代一種重量單位)這個問題中,等差數(shù)列的通項公式為()An(nN*,n5)B.n(nN*,n5)C.n(nN*,n5)Dn(nN*,n5)D由題意可設(shè)五人所得依次對應(yīng)等差數(shù)列中的a1,a2,a3,a4,a5,公差為d,則通項公式為an(n1)×n(nN*,n5),故選D.規(guī)律方法解決等差數(shù)列運算問題的思想方法(1)方程思想:等差數(shù)列的基本量為首項a1和公差d,通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含a1,d,n,an,Sn五個量,可“知三求二”.(2)整體思想:當所給條件只有一個時,可將已知和所求都用a1,d表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.(3)利用性質(zhì):運用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程.等差數(shù)列的判定與證明【例1】數(shù)列an滿足an1,a11.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的前n項和Sn,并證明.解(1)證明:an1,化簡得2,即2,故數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知2n1,所以Snn2.證明:1.規(guī)律方法等差數(shù)列的四個判定方法(1)定義法:證明對任意正整數(shù)n都有an1an等于同一個常數(shù).(2)等差中項法:證明對任意正整數(shù)n都有2an1anan2.(3)通項公式法:得出anpnq后,再根據(jù)定義判定數(shù)列an為等差數(shù)列.(4)前n項和公式法:得出SnAn2Bn后,再使用定義法證明數(shù)列an為等差數(shù)列. 已知數(shù)列an滿足a11,且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2,a3;(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列,并求an的通項公式解(1)由已知,得a22a14,則a22a14,又a11,所以a26.由2a33a212,得2a3123a2,所以a315.(2)由已知nan1(n1)an2n(n1),得2,即2,所以數(shù)列是首項1,公差d2的等差數(shù)列則12(n1)2n1,所以an2n2n.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】(1)設(shè)數(shù)列an,bn都是等差數(shù)列,且a125,b175,a2b2100,則a37b37等于()A0B37C100D37(2)(2019·商洛模擬)等差數(shù)列an中,a13a8a15120,則2a9a10的值是()A20 B22 C24 D8(3)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若S39,S636,則a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27(1)C(2)C(3)B(1)設(shè)an,bn的公差分別為d1,d2,則(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2,所以anbn為等差數(shù)列又a1b1a2b2100,所以anbn為常數(shù)列,所以a37b37100.(2)因為a13a8a155a8120,所以a824,所以2a9a10a10a8a10a824.(3)由an是等差數(shù)列,得S3,S6S3,S9S6為等差數(shù)列即2(S6S3)S3(S9S6),得到S9S62S63S345.規(guī)律方法等差數(shù)列的常用性質(zhì)和結(jié)論(1)在等差數(shù)列an中,若mnpq2k(m,n,p,q,kN*),則amanapaq2ak.(2)在等差數(shù)列an中,數(shù)列Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差數(shù)列. (1)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若m1,且am1am1a10,S2m139,則m等于()A39 B20 C19 D10(2)設(shè)等差數(shù)列an,bn的前n項和分別為Sn,Tn,若對任意的nN*,都有,則的值為()A. B. C. D.(1)B(2)C(1)數(shù)列an為等差數(shù)列,則am1am12am,則am1am1a10可化為2ama10,解得am1.又S2m1(2m1)am39,則m20.故選B.(2)由題意可知b3b13b5b11b1b152b8,.故選C.等差數(shù)列前n項和的最值問題【例3】在等差數(shù)列an中,已知a120,前n項和為Sn,且S10S15,求當n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值解a120,S10S15,10×20d15×20d,d.法一:由an20(n1)×n,得a130.即當n12時,an0,當n14時,an0.當n12或n13時,Sn取得最大值,且最大值為S12S1312×20×130.法二:Sn20n·n2n2.nN*,當n12或n13時,Sn有最大值,且最大值為S12S13130.法三:由S10S15,得a11a12a13a14a150.5a130,即a130.當n12或n13時,Sn有最大值,且最大值為S12S13130.規(guī)律方法求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Snan2bn,通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解.(2)鄰項變號法.當a1>0,d<0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm;當a1<0,d>0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.易錯警示:易忽視nN. (1)設(shè)數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若S65a110d,則Sn取最大值時,n的值為()A5 B6 C5或6 D11(2)已知等差數(shù)列an的首項a120,公差d2,則前n項和Sn的最大值為_(1)C(2)110(1)由題意得S66a115d5a110d,化簡得a15d,所以a60,故當n5或6時,Sn最大(2)因為等差數(shù)列an的首項a120,公差d2,Snna1d20n×2n221n22,又因為nN*,所以n10或n11時,Sn取得最大值,最大值為110.1(2018·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若3S3S2S4,a12,則a5()A12B10C10D12B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,3S3S2S4,32a1d4a1d,解得da1,a12,d3,a5a14d24×(3)10.故選B.2(2017·全國卷)等差數(shù)列an的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則an前6項的和為()A24 B3 C3 D8A由已知條件可得a11,d0,由aa2a6可得(12d)2(1d)(15d),解得d2.所以S66×124.故選A.3(2016·全國卷)已知等差數(shù)列an前9項的和為27,a108,則a100()A100 B99 C98 D97Can是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,S99a527,a53.又a108,a100a199d199×198.故選C.4(2018·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和,已知a17,S315.(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值解(1)設(shè)an的公差為d,由題意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通項公式為an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以當n4時,Sn取得最小值,最小值為16.- 8 -