2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和考綱傳真1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系1等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列用符號(hào)表示為an1and(nN*，d為常數(shù))(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)通項(xiàng)公式：ana1(n1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Snna1.3等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n和a2n1也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列(6)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列(7)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n.1等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，若a10，d0，則Sn有最大值，即所有正項(xiàng)之和最大，若a10，d0，則Sn有最小值，即所有負(fù)項(xiàng)之和最小2兩個(gè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則有.3等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列也是等差數(shù)列基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nN*，都有2an1anan2()(2)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的()(3)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)()(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)()答案(1)(2)(3)×(4)×2(教材改編)等差數(shù)列11,8,5，中49是它的第幾項(xiàng)()A第19項(xiàng)B第20項(xiàng)C第21項(xiàng)D第22項(xiàng)C由題意知an11(n1)×(3)3n14，令3n1449得n21，故選C3在等差數(shù)列an中，若a24，a42，則a6等于()A1 B0 C1D6Ba2，a4，a6成等差數(shù)列，則a60，故選B4小于20的所有正奇數(shù)的和為_(kāi)100小于20的正奇數(shù)組成首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為19的等差數(shù)列，共有10項(xiàng)，因此它們的和S10100.5(教材改編)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S2S6，a41，則a5_.1由S2S6得a3a4a5a60，即a4a50，又a41，則a51.等差數(shù)列基本量的運(yùn)算1已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a6a1854，S19437，則a2 018的值是()A4 039 B4 038C2 019D2 038A設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意可知解得所以a2 01852017×24 039，故選A2(2019·武漢模擬)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1a78，a22，則數(shù)列an的公差d等于()A1 B2 C3 D4C由題意知解得故選C3張丘建算經(jīng)卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾初日織五尺，今一月日織九匹三丈”其意思為今有一女子擅長(zhǎng)織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì))共織390尺布則該女子最后一天織布的尺數(shù)為()A18 B20 C21 D25C用an表示第n天織布的尺數(shù)，由題意知，數(shù)列an是首項(xiàng)為5，項(xiàng)數(shù)為30的等差數(shù)列所以390，即390，解得a3021，故選C4設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a128，S99，則S16_.72設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知，得解得S1616×3×(1)72.規(guī)律方法等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的通性通法(1)等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題等差數(shù)列的判定與證明【例1】已知數(shù)列an中，a1，an2(n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn(nN*)(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由解(1)證明：因?yàn)閍n2(n2，nN*)，bn(nN*)，所以bn1bn1.又b1.所以數(shù)列bn是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知bnn，則an11.設(shè)f(x)1，則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù)所以當(dāng)n3時(shí)，an取得最小值1，當(dāng)n4時(shí)，an取得最大值3.拓展探究本例中，若將條件變?yōu)閍1，nan1(n1)ann(n1)，試求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解由已知可得1，即1，又a1，是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，(n1)·1n，ann2n.規(guī)律方法等差數(shù)列的四個(gè)判定方法(1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an1an等于同一個(gè)常數(shù)(2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an1anan2后，可遞推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根據(jù)定義得出數(shù)列an為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：得出anpnq后，得an1anp對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列an為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：得出SnAn2Bn后，根據(jù)Sn，an的關(guān)系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列an為等差數(shù)列 (2019·貴州模擬)已知數(shù)列an滿足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式解(1)由已知，得a22a14，則a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)由已知nan1(n1)an2n(n1)，得2，即2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差d2的等差數(shù)列則12(n1)2n1，所以an2n2n.等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用考法1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用【例2】(1)(2019·長(zhǎng)沙模擬)數(shù)列an滿足2anan1an1(n2)，且a2a4a612，則a3a4a5等于()A9 B10C11D12(2)(2019·銀川模擬)已知等差數(shù)列an的公差為d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，則m的值為()A8 B12 C6 D4(1)D(2)A(1)數(shù)列an滿足2anan1an1(n2)，則數(shù)列an是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a3a4a5a2a4a612.(2)由a3a6a10a1332得4a832，即a88.又d0，所以等差數(shù)列an是單調(diào)數(shù)列，由am8，知m8，故選A考法2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【例3】(1)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27(2)已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a12 014，6，則S2 019_.(1)B(2)8 076(1)由an是等差數(shù)列，得S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，即a7a8a945，故選B(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列設(shè)其公差為d，則6d6，d1.故2 018d2 0142 0184，S2 0198 076.規(guī)律方法應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)在等差數(shù)列an中，若mnpq2k(m、n、p、q、kN*)，則amanapaq2ak是常用的性質(zhì)(2)掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，悉心研究每個(gè)性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法，認(rèn)真分析項(xiàng)數(shù)、序號(hào)、項(xiàng)的值的特征，這是解題的突破口 (1)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1010，S2030，則S30_.(2)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若am10，S2m1110，則m_.(3)等差數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若，則_.(1)60(2)6(3)(1)由題意知，S10，S20S10，S30S20成等差數(shù)列則2(S20S10)S10(S30S20)，即4010(S3030)，解得S3060.(2)S2m1110，解得m6.(3).等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值【例4】(1)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a113，S3S11，當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是()A5 B6 C7 D8C(1)法一：由S3S11，得a4a5a110，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a7a80.根據(jù)首項(xiàng)等于13可推知這個(gè)數(shù)列遞減，從而得到a70，a80，故n7時(shí)，Sn最大法二：由S3S11，可得3a13d11a155d，把a(bǔ)113代入，得d2，故Sn13nn(n1)n214n.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)n7時(shí)Sn最大法三：根據(jù)a113，S3S11，知這個(gè)數(shù)列的公差不等于零，且這個(gè)數(shù)列的和是先遞增后遞減根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，以及二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性，可得只有當(dāng)n7時(shí)，Sn取得最大值(2)已知等差數(shù)列an的前三項(xiàng)和為3，前三項(xiàng)的積為8.求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn.解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2a1d，a3a12d.由題意得解得或所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.當(dāng)an3n5時(shí)，a2，a3，a1分別為1，4,2，不成等比數(shù)列；當(dāng)an3n7時(shí)，a2，a3，a1分別為1,2，4，成等比數(shù)列，滿足條件故|an|3n7|記數(shù)列3n7的前n項(xiàng)和為Sn，則Snn2n.當(dāng)n2時(shí)，Tn|a1|a2|an|(a1a2an)n2n，當(dāng)n3時(shí)，Tn|a1|a2|a3|an|(a1a2)(a3a4an)Sn2S2n2n10，綜上知：Tn規(guī)律方法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Snan2bn，通過(guò)配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法：當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. (1)在等差數(shù)列an中，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n項(xiàng)和，則使Sn達(dá)到最大值的n是()A21 B20 C19 D18(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n10(nN*)，則|a1|a2|a15|_.(1)B(2)130(1)因?yàn)閍1a3a53a3105，a2a4a63a499，所以a335，a433，所以d2，a139.由ana1(n1)d392(n1)412n0，解得n，所以當(dāng)n20時(shí)Sn達(dá)到最大值，故選B(2)由an2n10(nN*)知an是以8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an2n100得n5，所以n5時(shí)，an0，當(dāng)n5時(shí)，an0，所以|a1|a2|a15|(a1a2a3a4a5)(a6a15)S152S5130.1(2017·全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，S648，則an的公差為()A1 B2C4D8C設(shè)an的公差為d，則由得解得d4.故選C2(2015·全國(guó)卷)已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和，若S84S4，則a10()A B C10 D12B公差為1，S88a1×18a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.故選B3(2015·全國(guó)卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1a3a53，則S5()A5 B7 C9 D11Aa1a3a53a33a31，S55a35.4(2018·全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a17，S315.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)設(shè)an的公差為d，由題意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通項(xiàng)公式為an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以當(dāng)n4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為16.- 10 -