2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何初步疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教B版必修2

第二章 平面解析幾何初步1直線與方程要點(diǎn)精析一、直線的傾斜角x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°，因此，直線的傾斜角的取值范圍為0°<180°.解讀(1)直線的傾斜角是分兩種情況定義的：第一種是與x軸相交的直線；第二種是與x軸平行或重合的直線這樣定義可以使平面內(nèi)任何一條直線都有唯一的傾斜角(2)從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)來看，當(dāng)直線與x軸相交時，直線的傾斜角是由x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)動到與直線重合時所轉(zhuǎn)過的角(3)不同的直線可以有相同的傾斜角(4)直線的傾斜角直觀地描述了直線相對x軸正方向的傾斜程度二、直線的斜率我們把直線ykxb中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率即ktan .經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為k.解讀(1)斜率坐標(biāo)公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān)，即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在公式中的前后順序可以同時顛倒(2)所有的直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率當(dāng)傾斜角是90°時，直線的斜率不存在，但并不是說該直線不存在，而此時直線垂直于x軸(3)斜率和傾斜角都是反映直線相對于x軸正向的傾斜程度的，通常情況下求斜率比求傾斜角方便(4)當(dāng)x1x2，y1y2時直線沒有斜率三、兩條直線平行的判定對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1l2k1k2.解讀(1)利用上述公式判定兩條直線平行的前提條件有兩個，一是兩條直線不重合，二是兩條直線的斜率都存在(2)當(dāng)兩條直線的斜率都不存在時，l1與l2的傾斜角都是90°，此時也有l(wèi)1l2.四、兩條直線垂直的判定如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于1；反之，如果它們的斜率之積等于1，那么它們互相垂直，即l1l2k1·k21.解讀(1)利用上述公式判定兩條直線垂直的前提條件是兩條直線都有斜率(2)兩條直線中，若一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則這兩條直線也垂直.2直線方程中的“缺陷”一、斜截式中斜率“缺陷”例1已知直線方程為3xmy60，求此直線的斜率與此直線在y軸上的截距錯解由3xmy60，得my3x6，即直線的斜截式方程為yx，得出此直線的斜率為，在y軸上的截距為.剖析忘記討論當(dāng)m0時，直線的斜率并不存在正解當(dāng)m0時，直線可化為x2，此時直線的斜率不存在，在y軸上的截距也不存在；當(dāng)m0時，可得my3x6，即直線的斜截式方程為yx，得出此直線的斜率為，在y軸上的截距為.評注在直線的斜截式方程ykxb中，非常直觀地表示了該直線的斜率為k，在y軸上的截距為b.研究直線的斜率與在y軸上的截距問題，需要將一般式方程轉(zhuǎn)化為直線的斜截式方程來處理但要注意當(dāng)y的系數(shù)含有參數(shù)時要分系數(shù)為0和系數(shù)不為0兩種情況進(jìn)行討論二、兩點(diǎn)式中分式“缺陷”例2已知直線l過點(diǎn)A(1,2)，B(a,3)，求直線l的方程錯解由兩點(diǎn)式，得直線l的方程為.剖析忽視了a1，即直線與x軸垂直的情況，若a1，則不成立正解當(dāng)a1時，直線l的方程為x1；當(dāng)a1時，直線l的方程為.綜上所述，知直線l的方程為x(a1)(y2)10.評注一般地，過P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)的直線方程，不能寫成，而應(yīng)寫成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0.三、截距式中截距“缺陷”例3求過點(diǎn)(2,4)且在坐標(biāo)軸上的截距之和為0的直線方程錯解設(shè)直線的方程為1.因?yàn)橹本€過點(diǎn)(2,4)，所以1.解得a2.故所求的直線方程為1，即xy20.剖析直線的截距式方程只適用于截距不為0和不平行于坐標(biāo)軸的情形，本題由截距式求解時沒有考慮截距為0的情形，導(dǎo)致漏解正解當(dāng)直線的截距均不為0時，同錯解；當(dāng)直線的截距均為0時，直線過原點(diǎn)，此時直線的斜率為k2，直線的方程為y2x，即2xy0.故所求的直線方程為2xy0或xy20評注事實(shí)上，當(dāng)題中出現(xiàn)“截距相等”、“截距的絕對值相等”、“截距互為相反數(shù)”、“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上的截距的m(m>0)倍”等條件時，若采用截距式求直線方程，都要考慮“截距為0”的情況四、一般式中系數(shù)“缺陷”例4如果直線(m1)x(m24m3)y(m1)0的斜率不存在，求m的值錯解因?yàn)橹本€的斜率不存在，所以m24m30.解得m3或m1.所以當(dāng)m3或m1時，直線的斜率不存在剖析由于方程AxByC0表示直線，本身隱含著(A，B不同時為0)這一條件當(dāng)m1時，方程(m1)x(m24m3)y(m1)0即為0·x0·y0，它不表示直線，應(yīng)舍去正解因?yàn)橹本€的斜率不存在，所以m24m30，且m10.解得m3.所以當(dāng)m3時，直線的斜率不存在評注方程AxByC0(A，B不同時為0)才叫做直線的一般式方程，才表示一條直線3掌握兩條直線的位置關(guān)系三個突破口在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)不同的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系，其中垂直是相交的特殊情況，要想很好地掌握兩條直線的位置關(guān)系，只需把握以下三種題型下面舉例說明題型一根據(jù)直線平行、垂直求參數(shù)值的問題給出兩直線的方程(方程的系數(shù)中含有參數(shù))，利用直線平行或垂直的判定或性質(zhì)求解參數(shù)的取值例1已知直線l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0.試求m為何值時，l1與l2：(1)平行；(2)垂直分析(1)由“兩直線axbyc0與mxnyd0平行且”或“兩直線平行，一次項(xiàng)系數(shù)之比相等，但不等于常數(shù)項(xiàng)之比”，通過解方程求出m的值；(2)由“兩直線axbyc0與mxnyd0垂直()·()1”即可求解解(1)若l1l2，則且，解得m1.所以當(dāng)m1時，l1l2.(2)若l1l2，則()·()1，解得m.所以當(dāng)m時，l1l2.評注如何用直線方程的系數(shù)來反映兩直線的位置關(guān)系是解題的切入點(diǎn)利用此法只需把直線方程化為一般式即可題型二有關(guān)直線相交的問題有關(guān)直線相交的問題一般有兩類：(1)有關(guān)直線交點(diǎn)的問題，主要是通過解兩直線方程組成的方程組，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，解決這種問題的關(guān)鍵是求出交點(diǎn)；(2)有關(guān)判斷兩直線是否相交的問題，只要用兩直線方程的一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系判斷兩直線不平行，即可判斷相交例2若直線5x4y2m10與直線2x3ym0的交點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍分析可通過解兩直線方程組成的方程組求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)由于交點(diǎn)在第四象限，所以交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0，縱坐標(biāo)小于0，進(jìn)而可求出m的取值范圍解根據(jù)題意，由可得這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，)因?yàn)榻稽c(diǎn)在第四象限，所以解得<m<2.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，2)評注本題考查直線交點(diǎn)的求法，又由于交點(diǎn)在第四象限，因此又考查了解不等式的能力題型三有關(guān)距離的問題在平面直角坐標(biāo)系中，與直線有關(guān)的距離問題主要有兩類：(1)點(diǎn)到直線的距離；(2)兩平行線間的距離這兩類距離可由相應(yīng)的距離公式求得：其中點(diǎn)P(x0，y0)到直線AxByC0的距離公式是d(應(yīng)用此公式時應(yīng)注意把直線方程化為一般式方程)；兩條平行直線l1：AxByC10與l2：AxByC20的距離為d(應(yīng)用此公式應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)把直線方程化為一般式方程；(2)使x，y的系數(shù)分別對應(yīng)相等)例3求兩平行線l1：2x3y80，l2：4x6y10的距離分析用上述平行線距離公式時，首先需要把兩直線方程中的x，y的系數(shù)化為分別對應(yīng)相等，然后用公式可求出距離解把l1：2x3y80變形為l1：4x6y160.利用公式，可得l1與l2的距離為d.4直線系方程的類型及應(yīng)用在求直線方程的時候，要利用兩直線的斜率關(guān)系，或利用兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，通過解方程的途徑來獲解而在一些有關(guān)平行或垂直的問題，或是過有關(guān)兩已知直線交點(diǎn)的問題中，利用相應(yīng)的直線系方程，能簡化解題過程，提高解題效率一、直線系方程的類型1平行直線系：與直線AxByC0平行的直線系方程為AxByC10(CC1)2垂直直線系：與直線AxByC0垂直的直線系方程為BxAyC10.3交點(diǎn)直線系：若直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20交于點(diǎn)P，則過交點(diǎn)P的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直線l2)4過定點(diǎn)P(a，b)的直線系方程可設(shè)為m(xa)(yb)0(m為參數(shù))二、直線系方程的應(yīng)用1平行或垂直的直線系方程的應(yīng)用例1已知正方形的中心為G(1,0)，一邊所在的直線方程為x3y50，求其他三邊所在的直線方程解正方形的中心G到已知邊的距離為d.設(shè)正方形與已知直線平行的一邊所在的直線方程為x3yc0，則d，解得c7或c5(舍去)故所求一邊的直線方程為x3y70.又由于正方形另兩邊所在的直線與已知直線垂直，故設(shè)另兩邊所在的直線方程為3xym0.則d，解得m19或m23.因此正方形另兩邊所在的直線方程為3xy90或3xy30.綜上所述，正方形其他三邊所在的直線方程分別為x3y70,3xy90,3xy30.評注利用平行或垂直的直線系，可免去求斜率的麻煩，直接套用公式即可在運(yùn)用直線系方程時，要注意通過圖形的幾何性質(zhì)，得出所設(shè)方程的參數(shù)2過交點(diǎn)的直線系方程的應(yīng)用例2在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)分別為A(0，a)，B(b，0)，C(c,0)，設(shè)P(0，p)在線段AO上(異于端點(diǎn))，設(shè)a，b，c，p均為非零實(shí)數(shù)，直線BP，CP分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，一同學(xué)已正確求得OE的方程為xy0，求直線OF的方程解由截距式可得直線AB：1，直線CP：1，點(diǎn)F為直線AB與直線CP的交點(diǎn)，故過F點(diǎn)的直線系方程可設(shè)為l：10.又直線l過原點(diǎn)(0,0)，代入方程得1，故所求直線OF的方程為xy0.評注本例通過設(shè)出過交點(diǎn)的直線系方程，簡化了求交點(diǎn)的煩瑣過程，大題小做，直觀簡潔3過定點(diǎn)的直線系方程的應(yīng)用例3已知直線(a2)y(3a1)x1，若直線不過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解直線方程化為(3xy)a(x2y1)0.由得即無論a為何實(shí)數(shù)，直線總過定點(diǎn)P.設(shè)直線的斜率為k，直線OP的斜率為kOP.由圖象可知，當(dāng)直線的斜率k滿足kkOP時，直線與y軸的交點(diǎn)不會在原點(diǎn)的上方，即直線不經(jīng)過第二象限故由kkOP，解得a(2，)又當(dāng)a2時滿足題意，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是2，)評注過定點(diǎn)的直線系的特征是直線方程中有一個參數(shù)本例通過直線過定點(diǎn)P，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，只考慮直線斜率滿足的條件將問題巧妙轉(zhuǎn)化解出5活用兩點(diǎn)間的距離公式已知兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則該兩點(diǎn)之間的距離可表示為|AB|.兩點(diǎn)間的距離公式是整個解析幾何中幾個最重要的公式之一，是平面解析幾何的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生產(chǎn)生活中都有著廣泛的應(yīng)用因此應(yīng)熟練掌握公式并且靈活運(yùn)用一、判斷三角形的形狀例1已知ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，1)，B(1,3)，C(3,0)求證：ABC是直角三角形分析求出每兩個點(diǎn)之間的距離，用勾股定理驗(yàn)證證明|AB|2，即|AB|2，|AB|220，同理|AC|25，|BC|225.|AB|2|AC|2|BC|2，ABC是以頂點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形評注在頂點(diǎn)坐標(biāo)已知的情況下欲判斷三角形是直角三角形，只需要求出邊長再用勾股定理驗(yàn)證即可二、求點(diǎn)的坐標(biāo)例2已知點(diǎn)A(3,4)，B(2，)，在x軸上找一點(diǎn)P使得|PA|PB|，并求出|PA|的值分析由于點(diǎn)P在x軸上，可設(shè)P(x,0)，再利用條件|PA|PB|即可解決解設(shè)P(x,0)，則有|PA|，|PB|.由|PA|PB|，可得，解得x，從而得P，且|PA|.評注應(yīng)熟練掌握在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的設(shè)法三、證明三點(diǎn)共線問題例3已知A(1，1)，B(3,3)，C(4,5)三點(diǎn)，求證：這三點(diǎn)在同一條直線上分析要證A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，可通過幾何方法進(jìn)行證明而在直角坐標(biāo)系中解決此類問題，可能會更簡單一些，只需證|AC|AB|BC|即可，要確定|AC|，|AB|，|BC|的長，只需利用兩點(diǎn)間的距離公式即可證明|AB|2，|BC|，|AC|3.|AB|BC|3，|AC|3，|AB|BC|AC|，即A，B，C三點(diǎn)共線評注在平面直角坐標(biāo)系中證明幾何問題時，應(yīng)注意圖形的特點(diǎn)，充分運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行運(yùn)算，從而解決問題四、證明平面幾何問題例4如果四邊形ABCD是長方形，則對任一點(diǎn)M，試用坐標(biāo)法證明：|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2.分析要想用坐標(biāo)法證明幾何問題，首先必須建立平面直角坐標(biāo)系，確定各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算在建立平面直角坐標(biāo)系時，要注意圖形的特點(diǎn)，使建系后點(diǎn)的坐標(biāo)表示盡量簡便證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M(x，y)，C(x1，y1)，則A(0,0)，B(x1,0)，D(0，y1)，|AM|，|BM|，|CM|，|DM|.|AM|2|CM|2x2y2(xx1)2(yy1)2，|BM|2|DM|2x2y2(xx1)2(yy1)2，|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2.即如果四邊形ABCD是長方形，則對任一點(diǎn)M，等式|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2都成立評注用坐標(biāo)法證明幾何問題時，首先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)量，然后用代數(shù)法進(jìn)行運(yùn)算，最后把代數(shù)運(yùn)算“翻譯”成幾何關(guān)系6圓的兩種方程的區(qū)別與聯(lián)系圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2；而二次方程x2y2DxEyF0，當(dāng)D2E24F>0時，表示圓心為，半徑r的圓，叫做圓的一般方程二者的相同點(diǎn)表現(xiàn)在：(1)二者的實(shí)質(zhì)相同，可以互相轉(zhuǎn)化；標(biāo)準(zhǔn)方程展開后就是一般方程，而一般方程經(jīng)過配方后就轉(zhuǎn)化為了標(biāo)準(zhǔn)方程掌握這一點(diǎn)對于更好地理解一般方程是很有幫助的(2)不論圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，都有三個字母(a、b、r或D、E、F)的值需要確定，因此需要三個獨(dú)立的條件利用待定系數(shù)法得到關(guān)于a、b、r(或D、E、F)的三個方程組成的方程組，解之得到待定系數(shù)的值標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的差別主要反映在以下兩點(diǎn)：一、二者確定圓的條件不同例1圓心P在直線yx上，且與直線x2y10相切的圓，截y軸所得的弦長|AB|2，求此圓的方程解圓心P在直線yx上，可設(shè)P的坐標(biāo)為(k，k)，設(shè)圓的方程為(xk)2(yk)2r2(r>0)作PQAB于Q，連接AP，在RtAPQ中，AQ1，APr，PQk，r.又r，整理得2k23k20，解得k2或k.當(dāng)k2時，圓的半徑為r，故圓的方程為(x2)2(y2)25.當(dāng)k時，圓的半徑為r，故圓的方程為22.因此所求圓的方程為(x2)2(y2)25或22.例2已知ABC的各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，求其外接圓的方程分析可利用待定系數(shù)法，設(shè)出圓的一般方程，根據(jù)所列條件求得系數(shù)，進(jìn)而得到方程解設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的圓的方程是x2y2DxEyF0，將A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)代入可得，解得D4，E2，F(xiàn)20，其外接圓的方程為x2y24x2y200.評注圓的標(biāo)準(zhǔn)方程側(cè)重于圓心坐標(biāo)和半徑，因此在題目條件中涉及到圓心坐標(biāo)時，多選用標(biāo)準(zhǔn)方程，而已知條件和圓心或半徑都無直接關(guān)系時，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).需要指出的是，應(yīng)用待定系數(shù)法，要盡可能少設(shè)變量，從而簡化計(jì)算另外對于已知圓上兩點(diǎn)或三點(diǎn)求圓的方程，通常情況下利用一般式更簡單二、二者的應(yīng)用方面不同例3若半徑為1的圓分別與y軸的正半軸和射線yx(x0)相切，求這個圓的方程分析利用“半徑為1的圓與y軸的正半軸相切”這一條件可以直接求得圓心的橫坐標(biāo)，這是本題方程求解的一個突破口解由題意知圓心的橫坐標(biāo)及半徑為1，設(shè)圓心縱坐標(biāo)為b，則圓的方程為(x1)2(yb)21，圓與射線yx(x0)相切，1，解得b，圓的方程為(x1)2(y)21.評注圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明顯帶有幾何的影子，圓心和半徑一目了然，因此結(jié)合初中平面幾何中的垂徑定理可以使問題的求解簡化；而圓的一般方程明顯表現(xiàn)出代數(shù)的形式與結(jié)構(gòu)，更適合方程理論的運(yùn)用7探究圓的切線探究1已知點(diǎn)M(x0，y0)是圓x2y2r2上一點(diǎn)，l是過點(diǎn)M的圓的切線，求直線l的方程解設(shè)點(diǎn)P(x，y)是切線l上的任意一點(diǎn)，則OMMP.kOM·kMP1，即·1.整理，得x0xy0yxy.xyr2，切線l的方程為x0xy0yr2.當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上時，可以驗(yàn)證上面方程同樣適用結(jié)論1過圓x2y2r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為x0xy0yr2.探究2求過圓C：(xa)2(yb)2r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線l的方程解設(shè)點(diǎn)P(x，y)是切線l上的任意一點(diǎn)，則CMMP.kCM·kMP1，即·1.整理，得(x0a)(xa)(y0b)(yb)(x0a)2(y0b)2.(x0a)2(y0b)2r2，切線l的方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.當(dāng)點(diǎn)M在直線xa和yb上時，可以驗(yàn)證上述方程同樣適用結(jié)論2過圓(xa)2(yb)2r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.探究3求過圓C：x2y2DxEyF0上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線l的方程解把圓C：x2y2DxEyF0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得22(D2E24F)由結(jié)論2可知切線l的方程為(x)(y)(D2E24F)整理，得x0xy0yD·E·F0.切線l的方程為x0xy0yD·E·F0.結(jié)論3過圓x2y2DxEyF0上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線l的方程為x0xy0yD·E·F0.8圓弦長的求法一、利用兩點(diǎn)間的距離公式若直線與圓相交的兩個交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長|AB|.例1求過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2y24y0所截得的弦長解設(shè)直線與圓相交時的兩個交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知直線的方程為yx.解方程組得或|AB| 2.評注解由直線方程與圓方程聯(lián)立的方程組得弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式求解這是一種最基本的方法，當(dāng)方程組比較容易解時常用此法二、利用勾股定理若弦心距為d，圓的半徑為r，則弦長|AB|2.例2求直線x2y0被圓x2y26x2y150所截得的弦長|AB|.解把圓x2y26x2y150化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y1)225，所以其圓心為(3,1)，半徑r5.因?yàn)閳A心(3,1)到直線x2y0的距離d，所以弦長|AB|24.三、利用弦長公式若直線l的斜率為k，與圓相交時的兩個交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長|AB|x1x2|.例3求直線2xy20被圓(x3)2y29所截得的弦長|AB|.解設(shè)直線與圓相交時的兩個交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y，整理，得5x214x40.則x1x2，x1x2.|AB|.評注通常設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)(不必求出，即設(shè)而不求)，聯(lián)立直線方程與圓方程消去y(或x)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可得解9圓與圓相交的三巧用圓與圓的位置關(guān)系主要有五種，即外離、相交、外切、內(nèi)切、內(nèi)含，圓與圓相交時的簡單應(yīng)用一般是用于求相交圓的公共弦所在的直線方程、公共弦的垂直平分線方程和通過圓與圓相交時求公切線的條數(shù)一、圓與圓相交，求公共弦所在的直線方程例1已知兩圓x2y210和(x1)2(y3)220相交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程是_分析求兩個圓的相交弦所在的直線問題，如果先求出這兩個圓的交點(diǎn)，然后再求出AB的直線方程，則運(yùn)算量大，而且易出錯，因此可通過將兩個圓方程的二次變量消去，得到二元一次方程即為所求解析兩圓方程作差，得x3y0.答案x3y0評注求兩圓的公共弦所在的直線方程，只需將兩圓作差即可二、圓與圓相交，求公共弦的垂直平分線方程例2圓x2y24x6y0和圓x2y26x0交于A，B兩點(diǎn)，則AB的垂直平分線的方程是_分析關(guān)于兩圓公共弦的垂直平分線方程問題，關(guān)鍵是要善于將AB的垂直平分線問題轉(zhuǎn)化為兩個圓的圓心連線所在的直線問題解析由平面幾何知識，知AB的垂直平分線就是兩圓的圓心連線，即求過(2，3)與(3,0)兩點(diǎn)的直線的方程可求得直線的方程為3xy90.答案3xy90評注通過將問題轉(zhuǎn)化，不但可簡化運(yùn)算的程序，而且有利于更好地掌握兩個圓的位置關(guān)系三、求圓與圓相交時公切線的條數(shù)問題例3已知圓A：(x1)2(y1)24，圓B：(x2)2(y2)29，則圓A和圓B的公切線有_條分析判斷兩個圓的公切線有多少條，關(guān)鍵是判斷兩個圓的位置關(guān)系，通過確定兩個圓的位置關(guān)系就可判斷兩個圓的公切線的條數(shù)解析因?yàn)閳A心距|AB|，R3，r2，且Rr325，Rr321，所以有Rr<|AB|<Rr，即兩圓相交所以兩圓的公切線有兩條答案2評注判斷兩個圓的位置關(guān)系時，除了考慮兩個圓的半徑之和與兩個圓的圓心距外，還要考慮兩個圓的半徑之差與兩個圓的圓心距10與圓有關(guān)的最值問題與圓有關(guān)的最值問題大致分為兩類：一類是運(yùn)用幾何特征及幾何手段先確定達(dá)到最值的位置，再計(jì)算；另一類是通過建立目標(biāo)函數(shù)后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題例1圓x2y24x4y100上的點(diǎn)到直線xy140的最大距離與最小距離的差為_分析利用數(shù)形結(jié)合法求出最大距離與最小距離后再作差解析由x2y24x4y100配方得(x2)2(y2)218，即圓心為C(2,2)，半徑r3，則圓心到直線的距離d5，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為dr8，最小距離為dr2，則圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差為826.答案6評注一般地，設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r(r<d)，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值、最小值分別為dr和dr.例2在RtABC中，C90°，AC8，BC6，P是ABC內(nèi)切圓上的動點(diǎn)，試求點(diǎn)P到ABC的三個頂點(diǎn)的距離的平方和的最大值與最小值分析以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)出定點(diǎn)和動點(diǎn)坐標(biāo)，建立函數(shù)關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理解以點(diǎn)C為原點(diǎn)，使A、B分別位于x軸、y軸的正半軸上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則ABC各頂點(diǎn)是A(8,0)，B(0,6)，C(0,0)，內(nèi)切圓半徑r2.內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)為(2,2)，內(nèi)切圓方程為(x2)2(y2)24.設(shè)P(x，y)是圓上的動點(diǎn)，則S|PA|2|PB|2|PC|2(x8)2y2x2(y6)2x2y23x23y216x12y1003(x2)2(y2)24x763×44x76884x.點(diǎn)P在內(nèi)切圓上，0x4，Smax88，Smin72.評注本題通過坐標(biāo)法將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了最值問題的一般解決思路，值得注意的是，求最值問題一定要結(jié)合函數(shù)的定義域來進(jìn)行11妙用對策簡解“圓”的問題在學(xué)習(xí)圓的知識時，往往會遇到一些綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大的問題，解決這類問題的關(guān)鍵是避開復(fù)雜運(yùn)算，減少運(yùn)算量現(xiàn)舉例介紹求解圓問題的三條妙用對策簡解一、合理選用方程要學(xué)會選擇合適的“圓的方程”，如果方程選擇得當(dāng)，運(yùn)算量就會減少，解法就簡捷如果問題中給出的圓心坐標(biāo)關(guān)系，或圓心的特殊位置或半徑大小時，選用標(biāo)準(zhǔn)方程；否則，選用一般方程例1求圓心在直線2xy30上，且過點(diǎn)A(5,2)，B(3，2)的圓的方程解設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2(r>0)因?yàn)閳A過點(diǎn)A(5,2)，B(3，2)，所以圓心一定在線段AB的垂直平分線上易得線段AB的垂直平分線方程為y(x4)又因?yàn)閳A心在直線2xy30上，所以由解得即圓心為(2,1)又圓的半徑r.所以圓的方程為(x2)2(y1)210.二、數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)求解直線與圓的位置關(guān)系問題時，為避免計(jì)算量過大，可以數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)求解比如，圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上；計(jì)算弦長時，可用半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形，涉及圓的切線時，要考慮過切點(diǎn)與切線垂直的半徑等例2已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2y24x12y240，若直線l過P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程. 解如圖所示，|AB|4，D是AB的中點(diǎn)，CDAB，|AD|2，|AC|4.在RtACD中，可得|CD|2.設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y5kx，即kxy50.由點(diǎn)C到直線AB的距離公式2，得k.此時直線l的方程為3x4y200.又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x0.所以所求直線的方程為x0或3x4y200.評注在直線與圓的位置關(guān)系中，直線與圓相交時研究與弦長有關(guān)的問題是一個重點(diǎn)內(nèi)容解決這類弦長問題時，注意運(yùn)用由半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形三、設(shè)而不求，整體代入對于圓的一些綜合問題，比如弦的中點(diǎn)問題，常運(yùn)用整體思想整體思想就是在處理問題時，利用問題中整體與部分的關(guān)系靈活運(yùn)用整體代入、整體運(yùn)算、整體消元(設(shè)而不求)、整體合并等方法，常可以簡化運(yùn)算過程，提高解題速度，并從中感受到整體思維的和諧美例3已知圓C：x2(y1)25，直線l：mxy1m0，設(shè)l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)當(dāng)直線l不垂直于x軸時，依題意，得x(y11)25，x(y21)25.由，可得(x1x2)(x1x2)(y1y22)(y1y2)所以.而直線恒過點(diǎn)(1,1)，所以.所以，即x2x(y1)20，即(x)2(y1)2.當(dāng)直線l垂直于x軸時，點(diǎn)M(1,1)也適合方程(x)2(y1)2.綜上所述，點(diǎn)M的軌跡方程是(x)2(y1)2.評注本題中設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，但求解過程中并不需要求出來，只是起到了橋梁的作用，簡化了解題過程這種設(shè)而不求，整體處理的技巧，常能起到減少運(yùn)算量、提高運(yùn)算效率的作用12“三注意”避免“三種錯”有關(guān)圓方程的求解一直是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，而其錯解問題一直困擾著同學(xué)們，常見的錯解主要有：“忽視隱含條件致錯”、“忽視多解過程致錯”、“忽視檢驗(yàn)結(jié)論致錯”三種下面就如何從三個角度避免錯解進(jìn)行例說，以助同學(xué)們一臂之力一、注意條件，避免忽視隱含條件致錯圓方程問題的破解關(guān)鍵是“圓心”和“半徑”，特別是對于圓的一般方程，一定要注意其隱含條件，即r，r>0，否則，易造成增解或漏解例1若過點(diǎn)A(4,2)可以作兩條直線與圓C：(x3m)2(y4m)225(m4)2相切，則點(diǎn)A在圓C的_(填“外部”、“內(nèi)部”、“上面”)，m的取值范圍是_錯解因?yàn)檫^點(diǎn)A與圓有兩條切線，可見點(diǎn)A必在圓的外部因?yàn)辄c(diǎn)A在圓的外部，則有(43m)2(24m)2>25(m4)2，因此有240m<380，解得m<.故填外部，m<.剖析此題的錯解在于忽視了圓方程的半徑一定要大于0的隱含條件應(yīng)注意條件25(m4)2>0.正解因?yàn)檫^點(diǎn)A與圓有兩條切線，可見點(diǎn)A必在圓的外部因?yàn)辄c(diǎn)A在圓的外部，則有(43m)2(24m)2>25(m4)2，因此有240m<380，解得m<.再結(jié)合圓的條件中半徑必須大于0，即有25(m4)2>0，所以m4，因此m的取值范圍是m<且m4.答案外部m<且m4二、注意過程，避免忽視多解過程致錯有關(guān)圓方程的問題在求解的過程中要特別注意增解的情況，因?yàn)闆Q定圓方程的條件一般是兩個：“圓心”、“半徑”，但符合條件的圓往往不止一個，因此要特別注意多解的產(chǎn)生例2圓心在x軸上，半徑等于5，且經(jīng)過原點(diǎn)的圓的方程是_錯解因?yàn)閳A心在x軸上，半徑等于5，且經(jīng)過原點(diǎn)，所以圓心為(5,0)因此圓的方程為(x5)2y225.剖析造成以上錯解的原因是在解題過程中忽視了多種情況的存在性正解因?yàn)閳A心在x軸上，半徑等于5，且經(jīng)過原點(diǎn)，所以圓心為(5,0)或(5,0)因此圓的方程有兩個，即(x5)2y225或(x5)2y225.答案(x5)2y225或(x5)2y225三、注意結(jié)論，避免忽視檢驗(yàn)結(jié)論致錯圓方程的求解，對于求得的結(jié)論要注意檢驗(yàn)，檢驗(yàn)時要以事實(shí)為依據(jù)，對于題中的條件至結(jié)論要進(jìn)行充分的挖掘，避免結(jié)論不嚴(yán)謹(jǐn)而出錯例3已知RtABC的斜邊為AB，點(diǎn)A(2,0)，B(4,0)，求點(diǎn)C滿足的方程錯解設(shè)C(x，y)，由于直角三角形斜邊上的中線長是斜邊長的一半，如圖，這樣直角三角形斜邊上的中點(diǎn)為M(1,0)，則半徑為3，即得所求圓的方程為(x1)2y29.剖析因?yàn)楹鲆暯Y(jié)論的檢驗(yàn)，沒有注意到點(diǎn)C是直角三角形的頂點(diǎn)，即C點(diǎn)不能在直線AB上，因此造成錯解正解設(shè)C(x，y)，由于直角三角形斜邊上的中點(diǎn)為M(1,0)，如圖所示，則半徑為3，即得圓的方程為(x1)2y29.但是頂點(diǎn)C不能在直線AB上，因此y0，也就是要除去兩個點(diǎn)，即(2,0)，(4,0)，因此C點(diǎn)滿足的方程為(x1)2y29(除去點(diǎn)(2,0)，(4,0)以上三種錯解均錯于細(xì)節(jié)之處，但造成的后果卻是嚴(yán)重的，因此對于圓方程的破解既要掌握一般的常規(guī)方法，又要注意圓方程求解時的三個重要方面：一是注意隱含條件；二是注意多種情況；三是注意對個別點(diǎn)、線等特殊位置的檢驗(yàn)只有掌握好這些細(xì)節(jié)問題才能順利破解有關(guān)圓方程的綜合問題13解析幾何中數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用一、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化例1已知點(diǎn)P(x，y)在圓O：x2y21上，求(x2)2(y3)2的最小值分析從(x2)2(y3)2的幾何意義展開思維，通過數(shù)形結(jié)合，輔之以臨界點(diǎn)來求解解如圖，設(shè)點(diǎn)M(2,3)，則(x2)2(y3)2表示|PM|2.因?yàn)閨MO|2(2)23213>1，所以點(diǎn)M在圓O外連接MO并延長，順次交圓O于D，E兩點(diǎn)，則|MD|PM|ME|，即|MO|r|PM|MO|r.所以|PM|的最小值為|MO|r1，即(x2)2(y3)2的最小值為(1)2142.評注本例從運(yùn)動變化的角度出發(fā)(讓點(diǎn)P在圓上運(yùn)動)，在運(yùn)動中尋覓最值取得的條件，從而使問題獲解二、方程思想通過觀察、分析、判斷將問題化歸為方程的問題，利用方程的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)問題與方程的互相轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問題的目的例2過已知點(diǎn)(3,0)的直線l與圓x2y2x6y30相交于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ(其中O為原點(diǎn))，求直線l的方程分析由條件OPOQ，若設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則·1.由P，Q在圓及直線上，可借助方程求解解設(shè)直線l的方程為xay30(a0)，則點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)的坐標(biāo)滿足方程組消去y，得x22x6·30，即x2x30.所以x1x2.由方程組消去x，得(3ay)2y2(3ay)6y30，即(a21)y2(7a6)y150.所以y1y2.因?yàn)镺POQ，所以·1，即x1x2y1y20.由，得0.整理，得a26a80.解得a2或a4.故直線l的方程為x2y30或x4y30.評注本題巧用根與系數(shù)的關(guān)系與方程思想，使問題得以順利解決三、轉(zhuǎn)化思想所謂轉(zhuǎn)化思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決問題的一種方法一般地，總是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題例3求圓(x2)2(y3)24上的點(diǎn)到直線xy20的最大距離與最小距離分析圓是一個對稱圖形，依其對稱性，圓上的點(diǎn)到直線的最大(小)距離為圓心到直線的距離加上(減去)半徑解由圓的方程(x2)2(y3)24易知其圓心坐標(biāo)為(2，3)，半徑r2.所以圓心(2，3)到直線xy20的距離為d.故圓(x2)2(y3)24上的點(diǎn)到直線xy20的最大距離為2，最小距離為2.評注凡是涉及與圓有關(guān)的距離問題，均可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題以上三例告訴我們，平面解析幾何初步相關(guān)問題中，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，合理且正確地運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想，對數(shù)學(xué)問題的有效解決意義重大因此在平時的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意這些數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，并及時加以體會和總結(jié)14空間點(diǎn)的對稱問題解決此類問題可以類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱問題，要掌握對稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解求對稱點(diǎn)的問題經(jīng)常借助“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”的說法如關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)就是縱坐標(biāo)不變，其余的兩個變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)；關(guān)于yOz平面的對稱點(diǎn)，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)例(1)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,1,4)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(2,1，4) B(2，1，4)C(2，1,4) D(2,1，4)(2)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,1,4)關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(2,1，4) B(2，1，4)C(2，1,4) D(2,1，4)(3)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,1,4)關(guān)于點(diǎn)M(2，1，4)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(0,0,0) B(2，1，4)C(6，3，12) D(2,3,12)解析(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的數(shù)不變，在y軸，z軸的數(shù)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2，1，4)(2)由于點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的數(shù)不變，在z軸的數(shù)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點(diǎn)P2(2,1，4)(3)設(shè)對稱點(diǎn)為P3，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，設(shè)P3(x，y，z)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x2×2(2)6，y2×(1)13，z2×(4)412，所以P3(6，3，12)答案(1)B(2)A(3)C評注解決此類問題的關(guān)鍵是明確關(guān)于各坐標(biāo)軸、各坐標(biāo)平面對稱的兩點(diǎn)，其點(diǎn)的坐標(biāo)的數(shù)的關(guān)系，可借助于圖形，也可直接借助記憶口訣“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”22