2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第4節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例考綱傳真1.會作兩個相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.3.了解獨立性檢驗的基本思想、方法及其初步應(yīng)用.4.了解回歸分析的基本思想、方法及簡單應(yīng)用1相關(guān)性(1)線性相關(guān)若兩個變量x和y的散點圖中，所有點看上去都在一條直線附近波動，則稱變量間是線性相關(guān)的(2)非線性相關(guān)若所有點看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，則稱此相關(guān)為非線性相關(guān)的(3)不相關(guān)如果所有的點在散點圖中沒有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的2最小二乘估計(1)最小二乘法如果有n個點(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)可以用下面的表達式來刻畫這些點與直線yabx的接近程度：y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2.使得上式達到最小值的直線yabx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法(2)線性回歸方程方程ybxa是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的線性回歸方程，其中a，b是待定參數(shù)3回歸分析(1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中，(，)稱為樣本點的中心(3)相關(guān)系數(shù)rr；當(dāng)r>0時，稱兩個變量正相關(guān)當(dāng)r<0時，稱兩個變量負(fù)相關(guān)當(dāng)r0時，稱兩個變量線性不相關(guān)4獨立性檢驗若一個2×2列聯(lián)表為：BAB1B2總計A1ababA2cdcd總計acbdnabcd則統(tǒng)計量2為：2.(1)當(dāng)22.706時，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的；(2)當(dāng)2>2.706時，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(3)當(dāng)2>3.841時，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(4)當(dāng)2>6.635時，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)1線性回歸方程ybxa一定過樣本點的中心(，)2由回歸直線求出的數(shù)據(jù)是估算值，不是精確值基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系()(2)某同學(xué)研究賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x()之間的關(guān)系，得回歸方程y2.352x147.767，則氣溫為2時，一定可賣出143杯熱飲()(3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗()(4)若事件A，B關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的2的值越小()答案(1)(2)×(3)×(4)×2.(教材改編)為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測得某校男生150名中有80名近視，在140名女生中有70名近視在檢驗這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時，用下列哪種方法最有說服力()A回歸分析B均值與方差C獨立性檢驗D概率C“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨立性檢驗判斷3(教材改編)已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)3，3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()Ay0.4x2.3By2x2.4Cy2x9.5Dy0.3x4.4A因為變量x和y正相關(guān)，排除選項C，D又樣本中心(3,3.5) 在回歸直線上，排除B，選項A滿足4下面是2×2列聯(lián)表：則表中a，b的值分別為()y1y2合計x1a2173x2222547合計b46120A94,72B52,50C52,74D74,52Ca2173，a52.又a22b，b74.5某校為了研究學(xué)生的性別和對待某一活動的態(tài)度(支持和不支持兩種態(tài)度)的關(guān)系，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經(jīng)計算27.069，則所得到的統(tǒng)計學(xué)結(jié)論是：有多少的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”()附：P(2x0)0.1000.0500.0250.0100.001x02.7063.8415.0246.63510.828A0.1%B1% C99%D99.9%C因為7.069與附表中的6.635最接近，所以得到的統(tǒng)計學(xué)結(jié)論是：有10.0100.9999%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”相關(guān)關(guān)系的判斷1已知變量x和y滿足關(guān)系y0.1x1，變量y與z正相關(guān)下列結(jié)論中正確的是()Ax與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)Bx與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)Cx與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)Dx與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)C因為y0.1x1的斜率小于0，故x與y負(fù)相關(guān)因為y與z正相關(guān)，可設(shè)zbya，b0，則zbya0.1bxba，故x與z負(fù)相關(guān)2(2019·廣州模擬)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)的條形統(tǒng)計圖. 以下結(jié)論不正確的是()A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)D從2006年，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大，A選項正確； 2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多，B選項正確；雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來，整體呈遞減趨勢，C選項正確；自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D選項錯誤， 故選D3(2019·日照模擬)變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()參考公式：線性相關(guān)系數(shù)rAr2r10B0r2r1Cr20r1Dr1r2C由己知中的數(shù)據(jù)可知：第一組數(shù)據(jù)正相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)大于零，第二組數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)小于零，故選C規(guī)律方法判定兩個變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負(fù)相關(guān)(2)相關(guān)系數(shù)：r>0時，正相關(guān)；r0時，負(fù)相關(guān)(3)線性回歸方程中：b>0時，正相關(guān)；b<0時，負(fù)相關(guān)線性回歸分析及應(yīng)用【例1】(2018·全國卷)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，17)建立模型：y30.413.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，7)建立模型：y9917.5t.(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由解(1)利用模型，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y30.413.5×19226.1(億元)利用模型，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y9917.5×9256.5(億元)(2)利用模型得到的預(yù)測值更可靠理由如下：(i)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y30.413.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y9917.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠()從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠規(guī)律方法線性回歸分析問題的類型及解題方法(1)求線性回歸方程：利用公式，求出回歸系數(shù)b，a.待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點中心求系數(shù)(2)利用回歸方程進行預(yù)測：把回歸直線方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值(3)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)：決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)b. (2016·全國卷)如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖注：年份代碼17分別對應(yīng)年份20082014(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量附注：參考數(shù)據(jù)：yi9.32，tiyi40.17，0.55，2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r，回歸方程yabt中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b，ab.解(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得4， (ti)228，0.55， (ti)(yi)tiyiyi40.174×9.322.89，r0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系(2)由1.331及(1)得b0.103，ab1.3310.103×40.92.所以，y關(guān)于t的回歸方程為y0.920.10t.將2016年對應(yīng)的t9代入回歸方程得y0.920.10×91.82.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸獨立性檢驗及應(yīng)用【例2】(2017·全國卷)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較附：P(2x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828，2.解(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040)×50.62.因此，事件A的概率估計值為0.62.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量<50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466則215.705.由于15.7056.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法規(guī)律方法獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式2，計算2的值；(3)查表比較2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計判斷 (2019·合肥質(zhì)檢)某校在高一年級學(xué)生中，對自然科學(xué)類、社會科學(xué)類校本選修課程的選課意向進行調(diào)查現(xiàn)從高一年級學(xué)生中隨機抽取180名學(xué)生，其中男生105名；在這180名學(xué)生中選擇社會科學(xué)類的男生、女生均為45名(1)試問：從高一年級學(xué)生中隨機抽取1人，抽到男生的概率約為多少？(2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，完成下面的2×2列聯(lián)表并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)？選擇自然科學(xué)類選擇社會科學(xué)類合計男生女生合計附：2，其中nabcd.P(2x0)0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)從高一年級學(xué)生中隨機抽取1人，抽到男生的概率約為.(2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表如下：選擇自然科學(xué)類選擇社會科學(xué)類合計男生6045105女生304575合計9090180則25.142 95.024，所以能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān).(2018·全國卷)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：2，P(2x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828解(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高理由如下：()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高(以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)(2)由莖葉圖知m80.列聯(lián)表如下：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由于210>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異- 12 -