2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.3 函數(shù)的奇偶性 第1課時 函數(shù)的奇偶性學(xué)案 新人教B版必修第一冊

第1課時函數(shù)的奇偶性(教師獨具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的概念和奇偶函數(shù)圖像的特征.2.會根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念判斷和證明函數(shù)的奇偶性教學(xué)重點：函數(shù)奇偶性的概念，判斷函數(shù)奇偶性的方法教學(xué)難點：函數(shù)奇偶性的判斷.【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨具內(nèi)容)畢達(dá)哥拉斯曾說：“一切平面圖形中，最美的是圓形”那是因為圓在各個方向上都是對稱的，是一種極致的美可以這樣說，大自然便是用對稱來組織與生成的如我們?nèi)梭w則更是這種高度對稱的代表請大家再舉幾個對稱的例子(更好地激發(fā)學(xué)習(xí)熱情)由于函數(shù)是用來揭示自然界的奧秘的，因此有些函數(shù)便天然地具有這種對稱性我們還知道，對稱有軸對稱和中心對稱兩種，如果這個對稱軸變成了坐標(biāo)系中的y軸，對稱中心變成了原點，那么此時的函數(shù)具有哪些性質(zhì)呢？這些性質(zhì)是否一樣能給我們帶來美的享受呢？【知識導(dǎo)學(xué)】知識點一函數(shù)奇偶性的概念(1)偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有xD，且f(x)f(x)，則稱yf(x)為偶函數(shù)(2)奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有xD，且f(x)f(x)，則稱yf(x)為奇函數(shù)知識點二 奇偶函數(shù)的圖像特征(1)偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；反之，圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)(2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；反之，圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)【新知拓展】理解函數(shù)的奇偶性要注意的四點(1)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，只有對其定義域內(nèi)的每一個x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)，才能說f(x)是奇(或偶)函數(shù)(2)函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個必不可少的條件：定義域關(guān)于原點對稱，換言之，若所給函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)一定不具有奇偶性例如，函數(shù)yx2在區(qū)間(，)上是偶函數(shù)，但在區(qū)間1,2上卻無奇偶性可言(3)若奇函數(shù)在原點處有定義，則必有f(0)0.(4)若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既奇又偶的函數(shù)有且只有一類，即f(x)0，xD，D是關(guān)于原點對稱的非空實數(shù)集1判一判(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)奇、偶函數(shù)的定義域都關(guān)于原點對稱()(2)函數(shù)f(x)x2的圖像關(guān)于原點對稱()(3)對于定義在R上的函數(shù)f(x)，若f(1)f(1)，則函數(shù)f(x)一定是奇函數(shù)()(4)函數(shù)f(x)x3，x1,1)是奇函數(shù)()答案(1)(2)×(3)×(4)×2做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)_.(2)函數(shù)f(x)x在定義域R上是_函數(shù)(填“奇”或“偶”)(3)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，若f(2)4，則f(2)_.答案(1)0(2)奇(3)4題型一 函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)x42x2；(2)f(x)x3；(3)f(x)；(4)f(x)2|x|；(5)f(x)；(6)f(x)x3x2.解(1)因為f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且f(x)(x)42(x)2x42x2f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)(2)因為f(x)的定義域為(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱，且f(x)(x)3f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)(3)因為f(x)的定義域為1,1，是兩個具體數(shù)，但它關(guān)于原點對稱，又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，所以f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)(4)因為f(x)的定義域是R，關(guān)于原點對稱，且f(x)2|x|2|x|f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)(5)因為f(x)的定義域是x|x0，它不關(guān)于原點對稱，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)(6)因為f(x)x3x2的定義域是R，關(guān)于原點對稱，f(x)x3x2，所以f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)金版點睛判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷步驟如下：判斷函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點對稱若不對稱，則函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，若對稱，則進(jìn)行下一步驗證f(x)f(x)或f(x)f(x)下結(jié)論若f(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(x)f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，則f(x)為非奇非偶函數(shù)(2)圖像法若f(x)圖像關(guān)于原點對稱，則f(x)是奇函數(shù)若f(x)圖像關(guān)于y軸對稱，則f(x)是偶函數(shù)若f(x)圖像既關(guān)于原點對稱，又關(guān)于y軸對稱，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)若f(x)的圖像既不關(guān)于原點對稱，又不關(guān)于y軸對稱，則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(3)性質(zhì)法偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)x33x，x4,4)；(2)f(x)；(3)f(x)|x2|x2|；(4)f(x)·.解(1)因為函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點不對稱，即存在44,4)，而44,4)，所以，函數(shù)f(x)x33x，x4,4)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)因為函數(shù)的定義域為(，0)(0，)，定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，且對任意的x(x0)有f(x)f(x)，所以，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(3)函數(shù)的定義域為實數(shù)集R，定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，且對任意的xR，都有f(x)|x2|x2|x2|x2|(|x2|x2|)f(x)，所以，函數(shù)f(x)|x2|x2|是奇函數(shù)(4)函數(shù)的定義域為1，)，由于函數(shù)f(x)的定義域不關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，故函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).題型二 奇偶函數(shù)的圖像特征及應(yīng)用例2(1)如圖，給出奇函數(shù)yf(x)的局部圖像，試作出y軸右側(cè)的圖像并求出f(3)的值(2)如圖，給出偶函數(shù)yf(x)的局部圖像，試作出它在y軸右側(cè)的圖像，并比較f(1)與f(3)的大小解(1)奇函數(shù)yf(x)在y軸左側(cè)圖像上任一點P(x，f(x)關(guān)于原點的對稱點是P(x，f(x)下圖為補充后的圖像易知f(3)2.(2)偶函數(shù)yf(x)在y軸左側(cè)圖像上任一點P(x，f(x)關(guān)于y軸的對稱點是P(x，f(x)，如圖為補充后的圖像，易知f(1)>f(3)金版點睛用奇偶函數(shù)圖像的對稱性作圖給出奇函數(shù)(或偶函數(shù))在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的某個半平面上的圖像，要作出它在另一個半平面內(nèi)的圖像是依據(jù)奇、偶函數(shù)圖像的對稱性其過程是作出原圖像上幾個關(guān)鍵點(圖像的最高點、最低點等)關(guān)于原點或y軸的對稱點，然后按原圖像的特征用平滑曲線連接這些點，就作出了它在另外一個半平面內(nèi)的圖像奇函數(shù)yf(x)的局部圖像如圖，試作出該函數(shù)在y軸左側(cè)部分的圖像，并根據(jù)圖像寫出yf(x)(xR)的單調(diào)遞增區(qū)間解將奇函數(shù)yf(x)在y軸左側(cè)的圖像補充后如圖所示由圖像可知，函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，3)、(1,0)、(0,1)和(3，)1下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()Ay|x| By2xCy Dyx28答案C解析A，D中，函數(shù)均為偶函數(shù)，B中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而C中函數(shù)為奇函數(shù)2若函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是()Af(x)f(x)0Bf(x)f(x)2f(x)Cf(x)f(x)0D.1答案D解析f(x)為R上的奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)f(x)0，f(x)f(x)2f(x)，f(x)·f(x)f(x)20，A，B，C正確而D不一定成立，如f(x)x，則1(x0)，即當(dāng)x0時，無意義3已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于()A4 B3 C2 D1答案B解析由題意知f(1)g(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4.兩式相加，解得g(1)3.4偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上的圖像如圖，則函數(shù)f(x)的增區(qū)間為_答案1,0，1，)解析偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，補全圖像后可知函數(shù)f(x)的增區(qū)間為1,0，1，)5判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).解(1)xR，關(guān)于原點對稱，又f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，f(x)為偶函數(shù)(2)xR，關(guān)于原點對稱，又f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)為奇函數(shù)(3)f(x)的定義域為1,0)(0,1，關(guān)于原點對稱，又f(x)f(x)f(x)為奇函數(shù)8